海林高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1导数与单调性导学案新人教A版选修1_1

3.3.1 导数在研究函数中的应用 【课标学习目标】 1.结合实例, 借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系; 能利用导数研究函数的 单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明一些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) [目标解读] 1.重点是利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间. 2.难点是利用导数证明一些简单不等式. 【情境引入】 中国是世界上人口最多的发展中国家.人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国 现阶段的基本国情, 统筹解决人口问题始终是中国实现经济发展、 社会进步和可持续发展面 临的重大而紧迫的战略任务. 从 20 世纪 70 年代以来, 中国政府坚持不懈地在全国范围推行 计划生育基本国策,鼓励晚婚晚育,提倡一对夫妻生育一个孩子,依照法律法规合理安排生 育第二个子女.经过 30 年的努力,有效地控制了人口过快增长,实现了人口再生产类型由 高出生率、 低死亡率、 高自然增长率向低出生率、 低死亡率、 低自然增长率的历史性转变. 研 究人口增长问题需要用到导数, 从下图可以看出中国人口每增长 2 亿人所经历的时间越来越 短.函数的单调性与导数有怎样的关系呢? 提示:导数的符号决定函数的单调性. 【新知探究】 1.在某个区间(a,b)内,如果________,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 ________,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减. 2.利用导数判别函数的单调性的法则如下: 如果函数 y=f(x)在 x 的某个开区间内,总有 f′(x)>0,则 f(x)在这个区间上________; 如果函数 y=f(x)在 x 的某个开区间内,总有 f′(x)<0,则 f(x)在这个区间上________. 1 【题型探究】 题型一 判断函数的单调性 【例 1】讨论下列函数的单调性: (1)f(x)=a -a (a>0 且 a≠1); 【解析】(1)函数的定义域为 R. x -x (2)f(x)= bx 2 x -1 (-1<x<1,b≠0). f′(x)=axlna-a-x·lna·(-x)′=lna(ax+a-x). 当 a>1 时,lna>0,a +a >0,∴f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 当 0<a<1 时,lna<0,a +a >0,∴f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. (2)∵此函数为奇函数,且在(-1,1)上连续,∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性. 当 0<x<1 时, x -x x -x f′(x)=b · =- x x2- -x x2- x2- 2 b x2+ x2- 2 . 若 b>0,则 f′(x)<0,函数在(0,1)上是减函数; 若 b<0,则 f′(x)>0,函数在(0,1)上是增函数. 又函数 f(x)是奇函数,而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性, ∴当 b>0 时,函数 f(x)在(-1,1)上是减函数. 当 b<0 时,函数 f(x)在(-1,1)上是增函数. 【评析】在判断含参函数的单调性时,不仅要考虑到参数的取值范围,而且要结 合函数的定义域来确定 f′(x)的符号,否则会产生错误判断,分类讨论必须给予足够的重 视,真正发挥数学解题思维在联系知识与能力中的作用,从而提高计算能力. 变式训练 1 已知 f(x)= ax-1 (a>0 且 a≠1).讨论 f(x)的单调性. ax+1 2a lna . ax+ 2 x [解析] 函数的定义域为 R,f′(x)= 当 a>1 时,lna>0,f′(x)>0; 当 0<a<1 时,lna<0,f′(x)<0, ∴a>1 时,f(x)在 R 上单调递增, 0<a<1 时,f(x)在 R 上单调递减. 题型二 求函数的单调区间 2 【例 2】求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x +3x; (2)f(x)= 2x-x .(3)f(x)=3x -2lnx. 【解析】(1)∵f(x)=x +3x, ∴f′(x)=3x +3=3(x +1)>0, ∴f(x)=x +3x 在 x∈R 上单调递增. (2)要使函数 y= 2x-x 有意义,必须 2x-x ≥0,即 0≤x≤2. ∴函数的定义域为[0,2]. 2 2 3 2 2 3 3 2 2 f′(x)=( 2x-x2)′ 1 1 1-x 2 2 = (2x-x ) 2 ·(2x-x )′= . 2 2 2x-x 令 f′(x)>0,则 ?1-x>0. ? 即? 2 ? ?2x-x >0 1-x 2x-x 2 >0, ? 0<x<1. 【评析】求单调区间应先考虑函数定义域.另外,单调区间不可写成并集的形式. 题型三 函数单调性的综合应用 【例 3】已知函数 f(x)=x -ax-1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)证明:f(x)=x -ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方. 【分析】本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合 运用数学知识解决问题的能力. 2 3 3 【解析】(1)由已知得 f′(x)=3x -a. ∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数, 2 ∴f′(x)=3x -a≥0 在 R 上恒成立. 2 ∵3x ≥0,∴a≤0. 2 又 a=0 时,f′(x)=3x ≥0(只有 x=0 时,f′(x)=0), 3 ∴此时 f(x)=x -1 在 R 上仍为单调递增函数, ∴a≤0. (2)证明:∵f(-1)=a-2<a, 3 ∴f(x)的图象不可能总在直线 y=a 上方. 【评析】f′(x)>0(或 f′(x)<0)仅是 f(x)在某区间上单调的充分条件.本题应 用 f(x)在(a,b)上单调的充要条

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