(新人教A版)高三第一轮复习--平面向量专题


平面向量
(建议用时:90 分钟) 一、选择题
1.对于任意向量 a,b,c,下列命题中正确的是 A.|a· b|=|a||b| B.|a+b|=|a|+|b| C.|a· b|· c=a· (b· c) D.a· a=|a|
2

(

).

2.已知向量 a=(2,3),b=(k,1),若 a+2b 与 a-b 平行,则 k 的值是 A.-6 2 B.- 3 2 C. 3 D.14 ( D.2 ).

(

).

3.已知|a|=|b|=|a-2b|=1,则|a+2b|= A.9 B.3 C.1

4.已知平面向量 a=(-2,m),b=(1, 3),且(a-b)⊥b,则实数 m 的值为 A.-2 3 B.2 3 C.4 3 D.6 3 ).

(

).

5.已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角为( π A. 2 π B. 3 π C. 4 π D. 6

6.已知向量 a=(1,-cos θ),b=(1,2cos θ)且 a⊥b,则 cos 2θ 等于 A.-1 B.0 1 C. 2 D. 2 2

(

).

→ → → 7.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA+OB+OC= 0 ,则有 → → A.AO=2OD → → B.AO=OD → → C.AO=3OD → → D.2AO=OD

(

).

→ → → → → 8.平面上有四个互异点 A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.无法确定 (

).

→ → 9.在△ABC 中,G 是△ABC 的重心,AB,AC 的边长分别为 2,1,∠BAC=60° .则AG· BG= 8 A.- 9 10 B.- 9 5- 3 C. 9 5- 3 D.- 9

).

10.如图,AB 是圆 O 的直径,P 是圆弧 AB 上的点,M,N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6, → → MN=4,则PM· PN=( A.13 二、填空题 11.若 a=(1,-2),b=(x,1),且 a⊥b,则 x=________. 12.已知向量 a=(1,1),b=(2,0),则向量 a,b 的夹角为________. B.7 ). C.5 D.3

→ → 13.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠A=30° ,BC=1,D 为斜边 AB 的中点,则AB· CD=________. 14.已知向量|a|=|b|=|a+b|,则 a 与 a-b 的夹角为________. 三、解答题 15.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(2,1),A(1,0),B(cos θ,t). → → → → → (1)若 a∥AB,且|AB|= 5|OA|,求向量OB的坐标;(2)若 a∥AB,求 y=cos2θ-cos θ+t2 的最小值.

π 0, ?. 16.设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈? ? 2? (1)若|a|=|b|,求 x 的值;(2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值.

17.已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → (1)求GA+GB+GO; 1 1 → → → → (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证: + =3. m n

18.已知 f(x)=a· b,其中 a=(2cos x,- 3sin 2x),b=(cos x,1)(x∈R). (1)求 f(x)的周期和单调递减区间; → → (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,f(A)=-1,a= 7,AB· AC=3,求边长 b 和 c 的 值(b>c).

平面向量参考答案

2. C 解析 由题意得 a+2b=(2+2k,5),且 a-b=(2-k,2), 2 又因为 a+2b 和 a-b 平行,则 2(2+2k)-5(2-k)=0,解得 k= . 3 3. B 解析由|a|=|b|=|a-2b|=1,得 a2-4a· b+4b2=1,∴4a· b=4, ∴|a+2b|2=a2+4a· b+4b2=5+4=9,∴|a+2b|=3. 4. B 解析 因为(a-b)⊥b,所以(a-b)· b=a· b-b2=0,即-2+ 3m-4=0,解得 m=2 3. a· b 3 1 π 5. B 解析 a· (b-a)=a· b-a2=2,所以 a· b=3,所以 cos〈a,b〉= = = .所以〈a,b〉= . |a||b| 1×6 2 3 6. B 解析 a⊥b?a· b=0,即 1-2cos2θ=0,∴cos 2θ=0. → → → → → → → → → → → 7. B 解析 由 2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO,即OB+OC=2OD=2AO, → → 所以OD=AO,即 O 为 AD 的中点. → → → → → → → → → → → 8. B 解析 由(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,得[(DB-DA)+(DC-DA)]· (AB-AC)=0, → → → → → → → → 所以(AB+AC)· (AB-AC)=0.所以|AB|2-|AC|2=0,∴|AB|=|AC|,故△ABC 是等腰三角形. 9. A 解析 由 AB=2,AC=1,∠BAC=60° ,所以 BC= 3,∠ACB=90° ,将直角 三角形放入直角坐标系中, 如图所示, 则 A(0,1), B(- 3, 0), 所以重心 G?- 3 1? , , 3 3?

?

→ → → ? 3 2 → 2 3 1? 3 2 ? 2 3 1? 所以AG=?- ,- ?,BG=? ,所以AG· BG= - ,- ?· , =- 3? 3? ? 3 3? ? 3 ? 3 ,3? ? 3 8 . 9 → → → → → → → → 10.C 解析 连接 AP,BP.则PM=PA+AM,PN=PB+BN=PB-AM, → → → → → → → → → → → → →2 所以PM· PN=(PA+AM)· (PB-AM)=PA· PB-PA· AM+AM· PB-AM → → → → →2 → → →2 =-PA· AM+AM· PB-AM =AM· AB-AM =1×6-1=5. 11. 2 解析 由 a⊥b,得 a· b=x-2=0,∴x=2. π a· b 2 2 π 12. 解析 a=(1,1),b=(2,0),∴|a|= 2,|b|=2,∴cos〈a,b〉= = = ,∴〈a,b〉= . 4 |a||b| 2 2 2 4 → → → → → → → → → 13. -1 解析 AB· CD=AB· (AD-AC)=AB· AD-AB· AC=2×1-2× 3cos 30° =-1.

π 14. 解析 设 a 与 a-b 的夹角为 θ. 6 由|a|=|a+b|平方得:|a|2=2|a|2+2a· b,∴2a· b=-|a|2,∴|a-b|2=2|a|2-2a· b=2|a|2+ |a|2=3|a|2,∴|a-b|= 3|a|, 1 |a|2+ |a|2 2 a· ?a-b? |a| -a· b 3 π ∴cos θ= = = = ,∴θ= . 2 6 |a||a-b| |a||a-b| |a|· 3|a|
2

→ → 15.解 (1)∵AB=(cos θ-1,t),又 a∥AB,∴2t-cos θ+1=0.∴cos θ-1=2t.① → → 又∵|AB|= 5|OA|,∴(cos θ-1)2+t2=5.② 由①②得,5t2=5,∴t2=1.∴t=± 1. 当 t=1 时,cos θ=3(舍去),当 t=-1 时,cos θ=-1, → ∴B(-1,-1),∴OB=(-1,-1). cos θ-1 ?cos θ-1?2 5 2 3 6 1 5 1 cos2θ- cos θ?+ (2)由(1)可知 t= ,∴y=cos2θ-cos θ+ = cos θ- cos θ+ = ? 5 ? 4 2 4 4 2 4 4? 3 5 1 cos θ- ?2- , = ? 5? 5 4? 3 1 ∴当 cos θ= 时,ymin=- . 5 5 16.解 (1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2 x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,及|a|=|b|,得 4sin2 x=1. π? 1 π 又 x∈? ?0,2?,从而 sin x=2,所以 x=6. (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2 x= π? 1 3 1 1 sin 2x- cos 2x+ =sin? ?2x-6?+2, 2 2 2

π π π 3 0, ?时,sin?2x- ?取最大值 1.所以 f(x)的最大值为 . 当 x= ∈? 6? ? 3 ? 2? 2 → → → → → → → → → → 17.(1)解 ∵GA+GB=2GM,又 2GM=-GO,∴GA+GB+GO=-GO+GO=0. → 1 → 2→ 1 (2)证明 显然OM= (a+b).因为 G 是△ABO 的重心,所以OG= OM= (a+b). 2 3 3 → → → → 由 P,G,Q 三点共线,得PG∥GQ,所以,有且只有一个实数 λ,使PG=λGQ.

1 → → → 1 ? 1 而PG=OG-OP= (a+b)-ma=? ?3-m?a+3b, 3 1 1 1 → → → n- ?b, GQ=OQ-OG=nb- (a+b)=- a+? 3 3 ? 3? 1 ? 1 ? 1? ? ? 1 所以? ?3-m?a+3b=λ?-3a+?n-3?b?.

?3-m=-3λ, 又因为 a,b 不共线,所以? 1? 1 ?3=λ? ?n-3?,

1

1

1 1 消去 λ,整理得 3mn=m+n,故 + =3. m n

π? 18.解 (1)由题意知,f(x)=2cos2x- 3sin 2x=1+cos 2x- 3sin 2x=1+2cos? ?2x+3?, ∴f(x)的最小正周期 T=π,∵y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减, π π? π π π ∴令 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,得 kπ- ≤x≤kπ+ .∴f(x)的单调递减区间? ?kπ-6,kπ+3?,k∈Z. 3 6 3 π π 2A+ ?=-1,∴cos?2A+ ?=-1. (2)∵f(A)=1+2cos? 3? 3? ? ? π π 7π π π 又 <2A+ < ,∴2A+ =π.∴A= . 3 3 3 3 3 → → ∵AB· AC=3,即 bc=6,由余弦定理得 a2=b2+c2-

2bccos A=(b+c)2-3bc,7=(b+c)2-18,b+c=5,又 b>c,∴b=3,c=2.


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