【优选整合】人教A版高中数学 选修2-1 2.1曲线与方程 课件 (共37张PPT)_图文

第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 下图为卫星绕月球飞行示意图,据图回答下面问 题:假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月 球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值 2a,视月球为球体,半径为R,你能写出一个轨迹的方 程吗? 【探究】 曲线的方程与方程的曲线 问题 1 :在直角坐标系中,平分第一、三象限的直 线和方程x-y=0有什么关系? (1)在直线上任找一点 M ( x 0 则 , y 0 ), 是方程x-y=0的解; ?y?0 (2)如果 ( x 0 , y 0 ) 是 x 的解,那么 x 0 ? y 0, 即 ( x 0 , y 0) y O x-y=0 M ( x0 , y0 ) 以 ( x 0 , y 0 )为 坐 标 的 点 在 直 线 上 . x 问题2:方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 表示如图的圆, 2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 图象上的点M与此方程 , 有什么关系? (1)圆上任一点 M ( x 0 , y 0 )的 坐 标 是 方 程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 的解. (2)若 ( x 0 , y0 )是方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2的解,则以( x 0 , y0 ) 为坐标的点在以( a , b )为圆心, 以 r为半径的圆上 . 0 y ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . · M ( x0 , y0 ) x 通过探究可知,在直角坐标系建立以后,平面内 的点与数对(x,y)建立了一一对应关系.点的运动形 成曲线C,与之对应的实数对的变化就形成了方程 f(x,y)=0. 点 按某种规律运动 曲线C 几何对象 坐标(x,y) x,y制约关系 代数表示 方程f(x,y)=0 曲线的方程与方程的曲线 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点 的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二 元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做 方程的曲线. 问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解, 能否说f(x,y)=0是曲线C的方程? 解:不能,还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标 的点是不是都在曲线上,如,以原点为圆心,以2为 半径的圆上半部分和方程 x 2 ? y 2 ? 4 . 【总结提升】 要紧扣定义 由曲线的方程的定义可知,如果曲线C的方程为 f(x,y)=0,那么点 P0 ( x 0 , y 0 ) 在曲线C上的充分必要 条件是 f ( x 0 , y 0 ) ? 0 . 问题4:曲线的方程与方程的曲线有什么区别? 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念, “曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系;而 “方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两 者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系,使方 程成为曲线(几何图形)的代数表示,从而将研究曲 线的性质转化到讨论相应方程的问题上. 类型一:曲线的方程与方程的曲线的判定 【典例1】(1)下面所给的方程是图中曲线的方程的是 ( ) (2)方程 ? x ? y ? 1? x ? y ? 3 ? 0 表示的曲线 是 ( ) B.两条射线 A.两条互相垂直的直线 C.一条直线和一条射线 D.一个点(2,-1) 【解析】(1)选D.A不是,因为x2+y2=1表示以原点为圆心,半径为1 的圆,以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点,如 2 的2 ( ,? ) 2 2 坐标适合方程x2+y2=1,但不在所给曲线上;B不是,理由同上,如 点(-1,1)适合x2-y2=0,但不在所给曲线上;C不是,因为曲线上 的点的坐标都不是方程的解,如(-1,-1)在所给曲线上,但不适合 方程lgx+lgy=1. 1? 0 (2)选C.根据题意得 ? x ? y ?或 x-y-3=0 ,由 ? ?x ? y ? 3 ? 0 故方程表示直线x-y-3=0和直线x+y-1=0上自点(2,-1)向右下方的 射线. ? y ? 1 ? 0 (2,-1), ? x得交点为 ? ?x ? y ? 3 ? 0 2.排除法的应用 判断曲线是否为方程的曲线,方程是否为曲线的方程的方法时,主要 利用排除法,用特例来检验两个条件是否满足,即 (1)从点的坐标角度:若点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C 上,则f(x0,y0)=0;或若f(x0,y0)≠0,则M(x0,y0)不在方程f(x, y)=0表示的曲线C上. (2)从方程的解的角度:若f(x0,y0)=0,则M(x0,y0)在方程f(x, y)=0所表示的曲线C上;或若M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲 线C上,则f(x0,y0)≠0. 类型二:曲线与方程关系的应用 【典例2】证明以原点为圆心,半径为3的圆的方程是x2+y2=9. 【解析】(1)设M(x1,y1)是圆上任意一点,则点M到原点的距离为3, 2 所以 (x1 ? 0)2 ? (y1 即 x212 ? 0) ?+y 3, 1 =9,所以圆上的点的坐标都是方 程x2+y2=9的解. (2)设点N的坐标(x2,y2)是方程x2+y2=9的解,则x22+y22=9,即 到原点的距离为3,所以点N在以原点 (x 2 ? 0)2 ? (y2所以点 ? 0)2 ? N 3, 为圆心,以3为半径的圆上,由(1)(2)可知,以原点为圆心,半径为3 的圆的方程是x2+y2=9. 【延伸探究】 1.(变换条件)本例条件改为:求以原点为圆心,半径为3的圆的上半 圆的方程. 【解析】上半圆上点的坐

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