函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)


函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易 忽略定义域, 所以必须先考虑函数的定义域, 离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何 意义。 1. 奇偶性 奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系: ①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数; ②f(-x)-f(x)=0 为偶;f(x)+f(-x)=0 为奇; ③f(-x)÷f(x)=1 是偶;f(x)÷f(-x)=-1 为奇函数. (1)若定义域关于原点对称

(2)若定义域不关于原点对称 常用性质:

非奇非偶

例如: y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数

1. f ( x) ? 0 是既奇又偶函数;

2.奇函数若在 x ? 0 处有定义,则必有 f (0) ? 0 ; 3.偶函数满足 ; 4.奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称;

f ( x) ? f (?x) ? f ( x )

5. f ( x) ? 0 除外的所有函数的奇偶性满足: (1)奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 (2) 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数×偶函数=偶函数

6 . 任 何 函 数 f ( x) 可 以 写 成 一 个 奇 函 数 f ( x) ? f (? x) ? ( x) ? 2 的和。 2. 单调性 定义:函数 ① 总有 定义域为 A,区间 则称

? ( x) ?

f ( x) ? f (? x) 2 和一个偶函数

,若对任意



在区间 M 上单调递增

② 总有 则称 在区间 M 上单调递减 应用:(一)常用定义法来证明一个函数的单调性 一般步骤:(1)设值(2)作差(3)变形(4)定号(5)结论 (二) 求函数的单调区间 定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注:常用结论 (1) 奇函数在对称区间上的单调性相同 (2) 偶函数在对称区间上的单调性相反 (3) 复合函数单调性-------同增异减

1

3. 周期性 (1)一般地对于函数 ,若存在一个不为 0 的常数 T,使得 内一切值时 总有 ,那么 叫做周期函数,T 叫做周期,kT(T 的整数倍)也 是它的周期 (2) 如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数, 就把这个最小正数叫最小正周期。 注:常用结论 (1)若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f ( x) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期(自己证明) (2)若定义在 R 上的函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 (a ≠b),则 y = f (x)是周期函数,且 2| a-b|是其一个周期。(自己证明) (推论)若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? a ( a ? 0) 对称,则 f ( x) 是周 期函数, 2 a 是它的一个周期 (3) 若 f ( x ? a ) ? ? f ( x) ; f ( x ? a ) ? 2 a 是它的一个周期 4.对称性 一、函数自身的对称性 定理 1.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a-x) = 2b f(a-x)+f(a+x)=2b 证明:(必要性)设点 P(x ,y)是 y = f (x)图像上任一点, ∵点 P( x ,y)关于点 A (a ,b)的对称点 P(2a-x,2b-y)也在 y = f (x)图像上, ∴ 2b-y = f (2a-x) 即 y + f (2a-x)=2b 故 f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。 (充分性)设点 P(x0,y0)是 y = f (x)图像上任一点,则 y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a-x) =2b ∴f (x0) + f (2a-x0) =2b,即 2b-y0 = f (2a-x0) 。 故点 P(2a-x0,2b-y0)也在 y = f (x) 图像上, 而点 P 与点 P 关于点 A (a ,b)对称,充分性得证。 推论:函数 y = f (x)的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f (x) + f (-x) = 0 定理 2. 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是 f (a +x) = f (a-x) 即 f (x) = f (2a-x) (证明留给读者) 推论:函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f (x) = f (-x) 定理 3 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是 f (a +x) = f (a-x) 或 f (x) = f (2a-x) 定理 4.若函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 (a≠b),则 y

1 1 ; f ( x ? a) ? ? ;则 f ( x) 是周期函数, f ( x) f ( x)

2

= f (x)是周期函数,且 2| a-b|是其一个周期。 二.不同函数对称性 定理 5. 函数 y = f (a+x)与 y = f (b-x)的图像关于直线 x = (b-a)/2 成轴对称 定理 6. 互为反函数的两个函数关于直线 y=x 对称

【典型例题】
[例 1] 判断下列函数奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 解:(1) 且 ( 且 )

∴ 奇函数 (2) ,关于原点对称

∴ (3)

奇函数 ,关于原点对称 ∴ 既奇又偶

(4)考虑特殊情况验证: 偶 (5) 且 ,关于原点对称



无意义 ; ∴ 非奇非

∴ [例 2](1) (2)

为偶函数 , 为偶函数。 为何值时, 为奇函数;

为何值时,

3

答案:(1)

(恒等定理)
∴ (2) ∴ ∴ ∴ 巩固:已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围; 解析: (Ⅰ)简 解:取特殊值法
2 2

时,

奇函数

(恒等定理)

f ( x) ?

?2 x ? b 2 x ?1 ? a 是奇函数。

因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a ? 2 x ?1 即 a?2

1 1? 2 ? ? 2 ? a ? 2. a ?1 又由 f(1)= - f( 1)知 a ? 4 1 ? 2x 1 1 f ( x) ? ?? ? x x ?1 2?2 2 2 ? 1 ,易知 f ( x) 在 (??, ??) 上 (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 1?

-

为减函数 又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:
2 2

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0
2

等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) , 因 f ( x ) 为减函数,由上式推得:

t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .
1 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3 即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,从而判别式
2

[例 3] 求函数 (1) 解: 时,

的解析式 为 R 上奇函数, 时, ,



4

∴ (2) 解: 时, 为 R 上偶函数, 时,

∴ [例 4] 求下列函数的增区间 (1) (2) 答案:(1) (2)作图 , ∴

∴ [例 5]若 答案:分类讨论 (1)① 当 ② 当 在区间 在区间 ,求 取值范围。 ,符合题意

时,要在区间

,则有

∴ [例 6] 关系。 解:∵ , 为偶函数 ∴
5

为偶函数,试比较

的大小

则函数关于直线 x=2 对称 ∵ ∴ [例 7] 在(0,2)

(提示:看离对称轴的远近)
为偶函数, ,若 ,求 取值范围。

解:



[例 8] 求下列函数是否为周期函数 (1) (2) (3) (4) 答案: (1)令 ∴ T=2 周期函数 (2) ∴ T=4 周期函数 (3) (4) ∴ T=4 ,满足 ,满足 ,满足 ,满足 ∴ ∴

∴ T=8 [例 9] ,求当 答案: [例 10] 答案: 偶 ∴ ∴ ∴ 奇 ,偶函数, 奇函数,则 。 ,偶函数,周期函数,T=2, 时, 。 , ,则

6





巩固 例 1:定义在 R 上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且 f (5-x) = f (5+x),则 f (x) 一定是( ) (A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数 (C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数 解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x). ∴f (x)有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ,因此 f (x)是以 10 为其一个周期的周期函数, ∴x =0 即 y 轴也是 f (x)的对称轴,因此 f (x)还是一个偶函数。 故选(A)

例 2:设定义域为 R 的函数 y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且 f(x-1)和 g (x-2)函 数的图像关于直线 y = x 对称,若 g(5) = 1999,那么 f(4)=( )。 1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。

-1

解:∵y = f(x-1)和 y = g (x-2)函数的图像关于直线 y = x 对称, -1 -1 ∴y = g (x-2) 反函数是 y = f(x-1),而 y = g (x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴ f(x-1) = 2 + g(x), ∴有 f(5-1) = 2 + g(5)=2001 故 f(4) = 2001,应选(C) 例 3.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0 时, f (x) = -

-1

1 x,则 f (8.6 ) = _________ 2

解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数∴x = 0 是 y = f(x)对称轴; 又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。 故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数, ∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3

例 4. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)= -f(x),当 0≤x≤1 时, f (x) = x,则 f (7.5 ) = ( ) (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5 解:∵y = f (x)是定义在 R 上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心; 又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x),即 f (1+ x) = f (1-x), ∴直线 x = 1 是 y = f (x) 对称轴,故 y = f (x)是周期为 2 的周期函数。 ∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)

7

【作业】
1. 两位学生在思考一个开放题“满足 的点称为函数 的不动点,请你 构造一个分段函数, 使其具有无数个不动点, 这些不动点构成一个公比不为 1 的等比数列” 。 两位学生分别构造了一个函数( ):



② A. ①②都对

B. ①对②错

请你判断,正确的结论是( ) C. ①错②对 D. ①②都错 的图像关于( ) B. 原点对称 D. 关于 y 轴对称且关于直线 x=1 对称 在( )上是减函数,则 的取值范围是( D. )上存在 ,使 ,则 的取值范围是 )

2. 函数 与 A. y 轴对称 C. 直线 x=1 对称 3. 若函数 A. 4. 函数 ( ) A. B. B. C. 在(

C.



D.

5. 若 ,则它们的大小关系为( ) A. B. C. D. 6. 如图所示,点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动,设 M 是 CD 边的中点,则当点 P 沿着 A—B—C—M 运动时,以点 P 经过的路程 为自变量,三角形 APM 的面积函数的图像形状大 致是( )

7. 函数 A. 在(1, 减

( ) )内单调递增

B. 在(1,

)内单调递

8

C. 在( 减 8. 函数 ( )

)内单调递增 的定义域为[ ], 值域为

D. 在( , 其反函数为 , 则

)内单调递 的

A. 定义域为 B. 定义域为 C. 定义域为 D. 定义域为 9. 已知函数 的值是( A. C. )

,值域为 ,值域为 ,值域为 ,值域为 的图象是由函数 的图像平移而得到的,如图所示,则 B. D.

10. 已知 A. 11. 对任意 ( ) A. 12. 方程 A. 13. 若函数 则 A. ( ) B. B.

是偶函数,则 C.

图像的对称轴是( D. , 时,



,有

,则

C.

D. 的两个根均大于 1,则 的取值范围为( )

B.

C.

D. 的图像关于直线 对称,

的图像与函数

B.

C. D. 14. 把长为 12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积 之和的最小值是( )

9

A.

B.

C.

D.

15. 设 函 数 。 16. 函数 17. 已知函数 对任意 ( 在 都有 )上单调递减。 的定义域是 上有定义,

的反函数为

,且

,则

。 ,当且仅当 ,试证明:(1) 时 ,且

为奇函数;(2)

18. 设 (0,+∞)上是增函数。

是 R 上的偶函数,(1)求 的值;(2)证明:



19. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满足 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,当

x ? [0,2] 时 f ( x) ? 2x ? x 2 ⑴求证: f ( x) 是周期函数; ⑵当 x ? [2,4] 时,求 f ( x) 的解析式; ) ⑶计算: f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2005

10

一、函数的单调性 1.单调性的证明———定义法: 例 判断函数 f ( x) ? ? x 3 ( x ? R) 的单调性,并用定义证明。

练习:已知函数 f ( x) ? 1 ? ax2 ? 25(?5 ? x ? 0) ,点 (?2,?4) 在 f ( x) 的反函数图像上。 (1)求 f ( x) 的反函数 f
?1

( x) ;

(2)证明 f

?1

( x) 在定义域内是减函数

2.单调性的简单应用: 例 1(1)函数 y ? log0.1 (6 ? x ? 2x 2 ) 的单调增区间是________

(2)已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 是减函数,则 a 的取值范围是_________

练习:若函数 f ( x) ? logk ( x 2 ? kx ? 3) 在区间 ? ? ?, ? 上是减函数,则实数 k 的取值范围 2

? ?

k? ?

是____________________

高考真题:已知 f ( x) ? ? 是 ( )

?(3a ?1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围 ? loga x, x ? 1

11

(A) (0,1)

(B) (0, )

1 3

(C) [ , )

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

x 例 2 已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的图象关于直线 y ? x 对

1 [ ,2] g ( x ) ? f ( x )[ f ( x ) ? f ( 2 ) ? 1 ] y ? g ( x ) 称,记 .若 在区间 2 上是增函数,则实数 a 的
取值范围是( A. [2,??) ) B. (0,1) ? (1,2)
2

1 [ ,1) C. 2

1 (0, ] 2 D.

例 3 设函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a ? 1) ,给出下述命题: ① f ( x) 有最小值; ②当 a ? 0 时, f ( x) 的值域为 R ; ③当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 [2,??) 上有反函数;

④若 f ( x) 在区间 [2,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 a ? ?4 则其中正确的命题是_____________(要求:把正确命题的序号都填上) 例 4 函数 f ( x) 对任意的 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且当 x ? 0 时, ⑴求证: f ( x) 在 R 上是增函数;

f ( x) ? 1 ,

⑵若 f (3) ? 4 ,解不等式 f (a ? a ? 5) ? 2
2

二.函数的奇偶性: 例 1 设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (C) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 (A) f ( x) f (? x) 是奇函数 (D) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 (B)

f ( x) f (? x)

是奇函数

4 例 2 已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时,f ( x) ? x ? x , 则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? ________________________ .

f ( x) ? a ?
练习:已知函数

1 . 2 ? 1 ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________
x

12

x? y x, y ? (?1,1)有f ( x) ? f ( y ) ? f ( ), 1 ? xy 例 3 已知 f ( x) 在(-1,1)上有定义,且满足
证明: f ( x) 在(-1,1)上为奇函数;

例 4 若奇函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (2) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? _______

三.函数的周期性: 例 1 函数

f ? x?

f ? f ?5?? ?

对于任意实数 x 满足条件

f ? x ? 2? ?

1 f ? x?

,若

f ?1? ? ? 5 ,



_______________。 例 2 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,图象关于 x ? 1 对称,对任意 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ,且 f (1) ? a ? 0

1 x1 , x 2 ? [0, ] 2 ,有

1 1 f( ) f( ) 4 的值 ⑴求 2 ;

⑵证明: f ( x) 是周期函数;

3 3 f ( ? x) ? ? f ( ? x) 2 例 3 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对一切 x ? R ,恒有 2 ⑴求证: f ( x) 是周期函数;

⑵若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值。

13

例 4 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2 例 5 若存在常数 p ? 0 ,使得函数 f ( x) 满足 一个正周期为________

f ( px ) ? f ( px ?

p ) 2 ( x ? R ),则 f ( x) 的

f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,且 f (3 ) ? 0 , 例 6 已知定义在 R 上,最小正周期为 5 的函数 f ( x ) 满足
则在区间

? 0,10 ? 内,方程

f ( x) ? 0

的解的个数至少为_________个

例 7 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f (2 ? x ) ? f (2 ? x ) ,在区间[-2,0]上单调递减, 设 a ? f (?1.5), b ? f ( 2), c ? f (5) ,则 a , b, c 的大小顺序为_____________
2 例 8 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 3 f ( x)当x ? [0,2]时f ( x) ? x ? 2x ,则当

x ? [?4,?2]时, f ( x) 的最小值是_____________
例 9 已知函数 y ? f ( x) 是一个以 4 为最小正周期的奇函数,则 f (2) ? ( A.0 B.-4 C.4 D.不能确定 )

f ( x ? 2) ?
例 10 已知 f (x)是定义在实数集上的函数,且 f (2005)= _______________ .

1 ? f ( x) , 若f (1) ? 2 ? 3, 1 ? f ( x) 则

2] 时, 例 11 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 它的图象关于直线 x ? 2 对称, 已知 x ? [?2,
2 ? 2] 时, f ( x) ? ________ 函数 f ( x) ? ? x ? 1 ,则 x ? [?6,

例 12 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 为周期函数,最小正周期为 T,若函数 y ? f ( x) ,

x ? (0, T ) 时有反函数 y ? f ?1 ( x), x ? D ,则函数 y ? f ( x) , x ? (2T ,3T ) 的反函数为
( ) A. y ? f C. y ? f
?1 ?1

( x), x ? D B. y ? f ?1 ( x ? 2T ), x ? D

?1 ( x ? 2T ), x ? D D. y ? f ( x) ? 2T , x ? D . 例 13 已 知 f ( x ) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x)? l gx 设 6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 5 2 2 则 (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b

四.反函数: 例 1 已知函数 y ? e 的图象与函数
x

y ? f ? x?

A. C.

f ? 2x ? ? e ( x ? R)
2x

的图象关于直线 y ? x 对称,则 B. f (2 x) ? ln 2 ? ln x( x ? 0) D.

f ? 2x ? ? 2ex ( x ? R)

f ? 2x ? ? ln x ? ln 2( x ? 0)

14

1 ( ,1) 例 2 设函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f ( x) ,且 y ? f (2 x ? 1) 的图像过点 2 ,则 ?1 y ? f ( x) 的图像必过
?1

1 ( ,1) (A) 2

1 (1, ) (B) 2 (C) (1, 0) ? 2 x, x ? 0 ? 2 ? x , x ? 0 的反函数是 例 3 函数 y ? ? ? x ? ,x ? 0 ? 2 x, x ? 0 ? 2 ? ? x, x ? 0 y ? ? ? ? x , x ? 0 C. y ? A. y ? ? B
例 4 函数 y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是

(D) (0,1)

? x ,x ? 0 ? ? 2 x, x ? 0 ? 2 ? ? ?? ? x , x ? 0 D. y ? ?? ? x , x ? 0

(A)

(B)

(C)

(D)

15


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