【人教版】2020学年高二数学上学期期中试题 人教 新目标 版

2020 学年高二数学上学期期中试题

※ -精 品 人教 试 卷- ※

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要 求)
1.已知直线 l:x+y-1=0,则 l 的倾斜角为( )

A.30° B.45° C.60° D.135° 2.某同学做一玩具,其三视图如图所示,他欲将该玩具全部
用铁皮包裹,则所需要铁皮的面积为( )

A. 5π

B.12π

C.16π

D.20π

(第 2 题图)

3.两条直线 l1:2x+y+c=0,l2:x-2y+1=0 的位置关系是( )

A.垂直 B.平行 C.重合 D.不能确定

4.点 P(1,-1)到直线 l: x ? y ? 4 ? 0 的距离是( )

A. 5

B. 6

C. 7

D. 2 2

5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,体对角线 BD1 和平面 ABCD 所成角的余弦值为(



A. 3 3

B. 6 3

C. 3 2

D. 6 2

6.已知直线(a-2)x+ay-1=0 与直线 2x+3y+5=0 平行,则 a 的值为( )

A.6

B.-6

4 C.5

4 D.-5

7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 上的点,F 为

CC1 上的点,则下列直线中一定与 EF 垂直的是 ( )

A.AC B.BD C.A1D1 D.A1A

8.圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2-6x+8y-24=0 的位置关系是( )

A.相交

B.相离 C.内切

D.外切

9.已知 α 、β 是平面,m、n 是直线,给出下列命题:

①若 m⊥α ,m? β ,则 α ⊥β ;

②若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β ;

③如果 m? α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交;

④若 α ∩β =m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α 且 n∥β .

其中真命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

(第 7 题图) D.3

10.(文科)已知直线 l:3x-4y+m=0 与圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 M、N 两点,若|MN|=2 3,则 m
的值是( )
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A.0 B.5 C.10

D.0 或 10

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(理科)已知直线 l:3x-4y+m=0 和圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0,且圆 C 上至少存在两点到直线 l 的距离

为 1,则 m 的取值范围是( )

A.(-17,13)

B.(-17,-7)

C.(-17,-7)∪(3,13)

D.[-17,-7]∪[3,13]

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.)

资 11. 以 点 C(2,-1) 为 圆 心 、 3 为 半 径 的 圆 的 标 准 方 程



.

12.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD= 2 3 , AA1=2,

则异面 DD1 和 BC1 所成角的大小是

.

(第 12 题图)

13.经过两条直线 x+y-3=0 和 x-2y+3=0 的交点,且与直线 2x+y-7=0 平行的直线方程是



14.点 D 为△ABC 所在平面外一点,E、F 分别为 DA 和 DC 上的点,G、H 分别为 BA 和 BC 上的点,且 EF 和 GH 相

交于点 M,则点 M 一定在直线

上.

15.若直线 l:y=x+m 和圆 C:x2+y2﹣2x﹣2y=0 只有一个公共点,则 m=

.

16.(文科)一个长方体的长、宽、高分别为 4、 11 、3,若它的各个顶点都在同一个球面上,则这个球的

体积是

.

(理科)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,且 SC⊥平面 ABC,若 SC=AB=AC=1,

∠BAC=120°,则球 O 的表面积为

.

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 52 分.解答应写出必要的文字说明或推理、演算过程)

17.(10 分)△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(0,0),B(0,6),C(4,8),求它的外接圆的方程.

18.(10 分)如图,BD 是空间四边形 ABCD 的一条对角线,平行四边形 EFGH 的各顶点 分别在边 AB、BC、CD、DA 上,求证:BD∥平面 EFGH.
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(第 18 题图)
19.(10 分)已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,4),端点 A 在圆 O: x2 ? y2 ? 4 上运动,求 AB 中点 M 的轨迹方程,
并指出它的轨迹是什么图形.
(第 19 题图)
20.(12 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PD=1, PA=PC= 2,
(1)求证:PD⊥平面 ABCD; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PBD; (3)(文科)求点 A 到平面 PBC 的距离; (理科)求二面角 P-AC-D 的正切值.
(第 20 题图)
21.(10 分)已知圆 C:(x ?1)2 ? y2 ? 16 ,直线 l : y ? mx ? 3 . (1)求证:对 m? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)设直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,若 OA⊥OB,求实数 m 的值.
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2018—2020 学年度第一学期期中试题参考答案 高二数学
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)

※ -精 品 人教 试 卷- ※

文科:DBADB ABCCD

理科:DBADB ABCCA

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)

11. ?x ? 2?2 ? ( y ? 1)2 ? 9 ;

12. 600 或 ? ; 13. 3

15. -2 或 2; 16. 文:36? ,理:5? .

2x+y-4=0;

14. AC

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 52 分,解答应写出必要的文字说明或推理、演算过程)

17.(10 分)

解:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则

?F ? 0 ??36 ? 6E ? 0 ??16 ? 64 ? 4D ? 8E ? 0

∴D=-8,E=-6,F=0,.........................5 分

∴△ABC 的外接圆的方程为 x2+y2-8x-6y=0..................................10 分

(其它方法酌情给分)

18.(10 分)

证明:∵四边形 EFGH 是平行四边形,

∴EH∥FG,

∵EH ? 平面 ABD,FG ? 平面 ABD,

∴FG∥平面 ABD,

∵FG ? 平面 CBD,平面 CBD∩平面 ABD=BD,

∴BD∥FG,

∵FG ? 平面 EFGH,BD ? 平面 EFGH,

∴BD∥平面 EFGH...............................................10 分

(其它方法酌情给分)

19.(10 分)

解:设 M(x,y),A(x0,y0)则

∵AB 中点是 M,

? ??

x

?

x0 ? 4 , 2

?

? ??

y

?

y0 ? 4 , 2

∴x0=2x-4,y0=2y-4,........4 分

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∵x02+y02=4,

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∴(2x-4)2+(2y-4)2=4, ∴(x-2)2+(y-2)2=1,

∴点 M 的轨迹以(2,2)为圆心 1 为半径的圆...............................10 分

20.(12 分)

(1)证明:∵PD=DC=1,PC= 2, ∴PD2+DC2=PC2, ∴PD⊥DC, 同理 PD⊥DA, ∵DC∩DA=D, ∴PD⊥平面 ABCD.....................................................4 分
(2)证明:由(1)知 PD⊥平面 ABCD, ∵AC ? 平面 ABCD, ∴PD⊥AC, 又∵底面是 ABCD 正方形, ∴BD⊥AC, 又∵BD∩PD=D, ∴AC⊥平面 PDB, 又∵AC ? 平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 PBD;.................................................................8 分
(3)(文科)解:∵底面是 ABCD 正方形, ∴AD∥BC,
又∵BC ? 平面 PBC,AD ? 平面 PBC,
∴AD∥平面 PBC, ∴点 A 到平面 PBC 的距离等于点 D 到平面 PBC 的距离. 取 PC 的中点 M,连接 DM,则 ∵PD=DC, ∴DM⊥PC, ∵PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD, ∴PD⊥BC, 又∵BC⊥CD,PD∩CD=D, ∴BC⊥平面 PCD, 又∵DM ? 平面 PCD, ∴BC⊥DM, 又∵PC∩BC=C, ∴DM⊥平面 PCB, ∴DM 即点 D 到平面 PBC 的距离, 又∵△PCD 是直角三角形,PC= 2,M 为 PA 中点,

∴DM= 2 ,即点 A 到平面 PBC 的距离为 2 ...................................................12

2

2

分 (理科)解:设 AC、BD 相交于点 O,连接 PO,则 由(2)知∴AC⊥平面 PDB,

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∵DO ? 平面 PDB,PO ? 平面 PDB, ∴AC⊥DO 且 AC⊥PO, ∴∠POD 就是二面角 P-AC-D 的平面角.
在 Rt△PDO 中,PD=1,DO= 2 , 2

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∴tan∠POD= 2 ,

∴二面角 P-AC-D 的正切值为 2 ........................................12 分

21.(10 分)
(1)证明:直线 l : y ? mx ? 3 恒过定点 P(0,3),

∵12 ? 32<16

∴点 P(0,3)在圆 C:(x ?1)2 ? y2 ? 16 内,

∴对 m? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点;.............................................4 分

(2)由(1)知,对 m? R 直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点,可设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则

? y ? mx ? 3, 由 (?? x ?1)2 ? y2

得,(m2 ? 16,

? 1)x2

? ( 2 3m

?1)x

?6

?

0,

所以

x1

?

x2

?

?

6m m2

?2 ?1



x1

?

x2

?

?

6 m2 ?1



∵OA⊥OB,

∴ x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ,

∴(m2 ? 1)x1x2 ? 3m( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0



?

6

?

3m(6m ? m2 ?1

2)

?

9

?

0

∴ ,

5m2

?

2m

?1

?

0





m ? 1 ? 6 ........................................................................................ 5
.....................10 分

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