高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第13讲导数与函数的极值最值及实际应用课件理北师大版_图文

第二章 基本初等函数、导数及其应用 第13讲 导数与函数的极值、最值及实 际应用 1.函数的极值 函数 y= f(x)在点 x= a 的函数值 f(a)比它在点 x= a 附近其他 点的函数值都小, f′ (a)= 0;而且在点 x= a 附近的左侧 f′(x)<0 , f′(x)>0 , ________ 右侧 ________ 则点 a 叫做函数 y= f(x)的极小值 点, f(a)叫做函数 y= f(x)的极小值. 函数 y= f(x)在点 x= b 的函数值 f(b)比它在点 x= b 附近其他 点的函数值都大, f′ (b)= 0;而且在点 x= b 附近的左侧 f′(x)>0 , f′(x)<0 , ________ 右侧 ________ 则点 b 叫做函数 y= f(x)的极大值 点, f(b)叫做函数 y= f(x)的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为 极值. 2.函数的最值 (1)在闭区间 [a, b]上连续的函数 f(x)在[a, b]上必有最大值 与最小值. f(a) (2)若函数 f(x)在 [a, b]上单调递增,则 ________为函数的最 f(b) 小值, ________ 为函数的最大值;若函数 f(x)在[a, b]上单 f(a) 为函数的最大值,________ f(b) 为函数的最 调递减,则 ________ 小值. 1.辨明两个易误点 (1)求函数极值时,误把导数为 0 的点作为极值点; (2)易混极值与最值, 注意函数最值是个“整体”概念, 而极 值是个“局部”概念. 2.明确两个条件 一是 f′(x)>0 在(a,b)上成立,是 f(x)在(a,b)上递增的充分 不必要条件. 二是对于可导函数 f(x),f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有 极值的必要不充分条件. 1.(选修 22 P61 例 3 改编)函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图像如图所示,则函数 f(x)( C ) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 解析:设 f′(x)的图象与 x 轴的 4 个交点从左至右依次为 x1、 x2 、 x3、 x4 . 当 x<x1 时,f′ (x)>0,f(x)为增函数, 当 x1 <x<x2 时,f′ (x)<0, f(x)为减函数,则 x= x1 为极大值 点,同理, x= x3 为极大值点, x= x2, x= x4 为极小值点, 故选 C. x 2.设函数 f(x)= xe ,则( D ) A. x= 1 为 f(x)的极大值点 B. x= 1 为 f(x)的极小值点 C. x=- 1 为 f(x)的极大值点 D. x=- 1 为 f(x)的极小值点 解析:求导得 f′(x)=e x+ xe x=e x(x+ 1),令 f′(x)=e x (x+ 1) = 0,解得 x=- 1,易知 x=- 1 是函数 f(x)的极小值点,所 以选 D. 3.函数 y= ln x- x 在 x∈ (0,e]上的最大值为 ( C ) A.e C.- 1 1- x 1 又 y′= - 1= , x x 令 y′=0 得 x= 1, 当 x∈(0, 1)时, y′ >0,函数单调递增; 当 x∈(1, e)时, y′ <0,函数单调递减. 当 x=1 时,函数取得最大值- 1. B. 1 D.-e 解析:函数 y= ln x- x 的定义域为 (0,+∞ ), 4.(选修22 P71复习题四A组T2(1)改编)函数y=2x3-2x2在 8 区间[-1,2]上的最大值是________ . 解析: y′= 6x2- 4x,令 y′= 0, 2 得 x=0 或 x= . 3 2? 8 ? 因为 f(- 1)=- 4, f(0)= 0, f? ?=- , f(2)= 8. 3 27 所以最大值为 8. 5.已知x=3是函数f(x)=aln x+x2-10x的一个极值点,则 12 实数a=________. a a 解析:f′(x)= +2x-10,由 f′(3)= +6-10=0,得 a= x 3 12,经检验满足条件. 考点一 函数的极值问题(高频考点) 函数的极值是每年高考的热点,一般为中高档题,三种题型 都有,高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度: (1)知图判断函数极值的情况; (2)已知函数解析式求极值; (3)已知函数极值求参数值. 设函数 f(x)=ax3-2x2+x+c(a≥0). (1)当 a=1,且函数图象过点(0,1)时,求函数的极小值; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,求 a 的取值范围. [解] f′(x)=3ax2-4x+1. (1)函数图像过点(0,1)时, 有 f(0)=c=1. 当 a=1 时,f′(x)=3x2-4x+1,令 f′(x)>0, 1 解得 x< ,或 x>1; 3 1 令 f′(x)<0,解得 <x<1. 3 1? 1 ? ? ? 所以函数 f(x)在?-∞,3?和(1, +∞)上是递增的; 在?3,1?上 是递减的,极小值是 f(1)=13-2× 12+1+1=1. (2)若 f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,则 f(x)在(-∞,+∞)上 是单调函数, 即 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立. ①当 a=0 时,f′(x)=-4x+1,显然不满足条件; ②当 a>0 时,f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立的充要条件是 Δ=(- 4)2-4× 3a× 1≤0, 4 即 16-12a≤0,解得 a≥ . 3 4 ? 综上,a 的取值范围为?3,+∞? ?. 运用导数求可导函数 y=f(x)的极值的步骤 (1)先求函数的定义域,再求函数 y=f(x)的导数 f

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