高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数课时提升作业21_1

函数的极值与导数 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.下列说法正确的是 ( ) 60 分) A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小 C.函数 f(x)=|x|只有一个极小值 D.函数 y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值 【解析】选 C.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故 A,B,D 错误,C 正确,函数 f(x)=|x|只有一个极小值为 0. 2.(2015·惠州高二检测)函数 y=x -6x 的极大值为 ( A.4 2 3 ) D.-4 B.3 C.-3 【解析】选 A.y′=3x -6,令 y′>0,得 x> 或 x<3 ,令 y′<0,得),( <x< . ,+∞)上递增,在(. ) , )上递减, 所以函数 y=x -6x 在(-∞,所以当 x=- 时,函数取得极大值 4 2 3 【补偿训练】函数 f(x)=2-x -x 的极值情况是 ( A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值 【解析】选 D.f′ (x)=-2x-3x ,令 f′(x)=0 有 x=0 或 x=- .当 x<- 时,f′(x)<0;当- <x<0 时,f′(x)>0; 当 x>0 时,f′(x)<0,从而在 x=0 时,f(x)取得极大值,在 x=- 时,f(x)取得极小值. 3.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x) ( ) 2 -1- A.无极大值点、有四个极小值点 B.有一个极大值点、两个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 【解题指南】可依据极大值、极小值的定义判定. 【解析】选 C.设 f′(x)与 x 轴的 4 个交点,从左至右依次为 x1,x2,x3,x4, 当 x<x1 时,f′(x)>0,f(x)为增函数, 当 x1<x<x2 时,f′(x)<0,f(x)为减函数, 则 x=x1 为极大值点, 同理,x=x3 为极大值点,x=x2,x=x4 为极小值点. 【规律方法】给出图象研究函数性质问题的解题方法 (1)要分清给的是 f(x)的图象还是 f′(x)的图象. (2)若给的是 f(x)的图象,应先找出 f(x)的单调区间及极值点,若给的是 f′(x)的图象,应先找出 f′(x)的 正负区间及由正变负还是由负变正. (3)结合题目特点分析求解,可依据极大值、极小值的定义判定. 4.设 f(x)=x(ax +bx+c),其中 a≠0,并且在 x=1 或 x=-1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴上的是 ( A.(a,b) B.(a,c) 3 2 2 ) C.(b,c) D.(a+b,c) 【解析】选 A.因为 f(x)=ax +bx +cx, 所以 f′(x)=3ax +2bx+c. 又因为在 x=1 或 x=-1 处 f(x)有极值, 所 以 x=1 或 x=-1 是方程 3ax +2bx+c=0 的两根. 所以=0,b=0.所以点(a,b)一定在 x 轴上. 2 2 2 5.(2015· 沈阳高二检测)若函数 f(x)=x -2bx+3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是 ( A.(-∞,1) C.(0,1) B.(1,+∞) D. ) -2- 【解析】选 C.f′(x)=2x-2b=2(x-b),令 f′(x)=0,解得 x=b.由于函数 f(x)在区间(0,1)内有极小值,则有 0<b<1,当 0<x<b 时,f′(x)<0;当 b<x<1 时,f′(x)>0,符合题意.所以实数 b 的取值范围是(0,1). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·哈尔滨高二检测)已知函数 f(x)=ax +bx +c,其导数 f′(x)的图象如图所示,则函数的极小值是 ________. 3 2 【解 析】由图象可知,当 x<0 时,f′(x)<0, 当 0<x<2 时,f′(x)>0, 故 x=0 时函数 f(x)取极小值 f(0)=c. 答案:c 7.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,对此图象,有如下结论: ①在区间(-2,1)内 f(x) 是增函数; ②在区间(1,3)内 f(x)是减函数; ③x=2 时,f(x)取到极大值; ④在 x=3 时,f(x)取到极小值. 其中正确的是________(将你认为正确的序号填在横线上). 【解题指南】 给出了 y=f′(x)的图象,应观察图象找出使 f′(x)>0 与 f′(x)<0 的 x 的取值范围,并区分 f′ (x)的符号由正到负和由负到正,再进行判断. 【解析】由 f′(x)的图象可知在 上 f′(x)>0,f(x)单调递增,所以只有③正确. 答案:③ 8.(2015·陕西高考)函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为________. 【解析】依题意得 y′=e +xe , 令 y′=0,可得 x=-1,所以 y=- . 因此函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为 y=- . -3x x x x 和(2,4)上 f′(x)<0,f(x)单调递减,在 和(4,+∞) 答案:y=三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2015·银川高二检测)已知函数 f(x)=x - x -2x+c, (1)求函数 f(x)的极值. (2)求函数 f(x)的单调区间. 【解析】f′(x)=3x -x-2. (1)令 f′(x)=3x -x-2=0,即(3x+2)(x-1)=0, 所以 x=- 或 x=1. 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化情况如表, x f′(x) f(x) + 单增 1 单减 0 极小值 (1,+∞) + 单增 2 2 3 2 0 极大值 从表中可以

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