【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件:第二章 随机变量及其分3、2-1-2-2


第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

1.加深对离散型随机变量分布列的理解和应用. 2.对超几何分布要熟记公式,正确运用. 3.通过实例体会分布列在描述随机现象中的意义和作
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用,由具体到抽象的探究方法,体验模型化思想.

第二章 随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

本节重点:离散型随机变量分布列的概念、性质.两 点分布、超几何分布的应用. 本节难点:综合运用排列、组合、概率的知识求实际
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问题中的概率分布.

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[ 例 1]

①从 4 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加数学竞
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赛,其中所选女生人数; ②先后抛掷红、蓝两个骰子得到的点数;

③一批节能灯的寿命;
④ 任 抽 取 一 瓶 500ml 的 饮 料 , 其 实 际 量与 规 定 量的 差. 其中是离散型随机变量的是 A.①② B.①③ C.①④ D.①②④

第二章 随机变量及其分布

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[答案] A
[分析] 由题目可获取以下主要信息: ①给出四个不同的变量; ②判断是否为离散型随机变量. 解答本题可先分析四个命题的选项是否是随机变量,
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再根据离散型随机变量的概念作出判断.

第二章 随机变量及其分布

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[解析]

①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出

来的,是离散型随机变量,而③中的结果不能一一列出, ④中数值是一个确定值,故不是离散型随机变量. [ 点评 ] 看一个变量是否为离散型随机变量,首先看 它是否是随机变量,其次看可能取值是否能一一列出,也
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就是说变量的取值若是有限的,或者是可以列举出来的,
就可以视为离散型随机变量,否则就不是离散型随机变 量.

第二章 随机变量及其分布

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[例2] 已知随机变量ξ所有可能取的值是1、2、?、n, 且取这些值的概率依次是k、2k、?、nk,求常数k的值.
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[ 解析]

根据离散型随机变量分布列的性质,得 k+ 2k

k(1+n)n 2 +?+nk=1,所以 =1,即 k= . 2 n(1+n)

[点评] 利用离散型随机变量分布列的性质,不仅可 以帮助我们检查写出的分布列是否有误(即看它的概率是否 均为非负数且其概率和是否等于1);而且还可以帮助我们

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求出分布列中的某些参数.

第二章 随机变量及其分布

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[例3] 盒中有16个白球和4个黑球,从中任意取出3个, 设ξ表示其中黑球的个数,求出ξ的分布列.(精确到0.001)
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(选修2-3)

[分析]

显然这是一个超几何分布的例子.

m n -m CM CN-M N=20, M=4, n=3.利用 P(ξ=m)= Cn 求出概率值, N

则分布列可得.

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第二章 随机变量及其分布

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[ 解析 ]

3 C0 C 4 16 ξ 可能取的值为 0、1 、2 、3, P(ξ =0)= C3 20

2 2 1 C1 C C 4 16 4C16 ≈0.491 , P(ξ = 1) = 3 ≈0.421 , P(ξ = 2) = 3 ≈0.084 , C20 C20 0 C3 C 4 16 P(ξ=3)= 3 ≈0.004. C20

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∴ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

0.491 0.421 0.084 0.004

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[点评]

(1)超几何分布模型的特征是“有较明显的两部

分组成”.如“男生,女生”;“正品,次品”;“优,劣” 等. (2)在计算超几何分布模型的分布列时,我们可以直接代
k n -k CM CN-M 入公式 P(X=k)= Cn (k=0,1,2,?,m,其中 m=min{M, N
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n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*),从而简化了解题过程.

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[例4] 某班有学生45人,其中O型血的有10人 ,A型 血的有12人,B型血的有8人,AB型血的有15人,现抽1人, 其血型是一个随机变量X,(1)X的可能取值是什么?(2)X的
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分布列是什么?

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[解析] (1)将四种血型编号:O、A、B、AB 型的编号分 别为 1、2、3、4,则 X 的可能取值为 1、2、3、4.
1 C1 C12 C1 10 8 (2)当 X=1、2、3、4 时,P1=C1 ,P2=C1 ,P3=C1 , 45 45 45
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C1 15 P4=C1 ,故其分布列为 45 X P 1 2 9 2 4 15 3 8 45 4 1 3

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[点评] 将随机试验的结果用实数值来表示是研究随
机变量的分布列时常用的方法.
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[例5]

(2010·高二唐山检测)在一次购物活动中,假设
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某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等 奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖,某

顾客从此10张中任取2张,求:
(1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列.

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[分析]

由题目可获取以下主要信息: ①给出奖券的获奖

价值;②任取 2 张奖券. 解答本题可先利用对立事件求出顾客中奖的概率,再分 析 X 的所有可能取值,明确 X 取各个值的事件,利用组合及 m 公式 P= n 进行计算求解.
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[解析]

2 C0 C 15 2 4 6 (1)P=1- C2 =1-45=3, 10

2 即顾客中奖的概率为 . 3 (2)X 的所有可能值为 0,10,20,50,60.
0 2 1 1 C4 C6 1 C3 C6 2 P(X=0)= C2 =3,P(X=10)= C2 =5, 10 10 2 1 C3 1 C1 2 1C6 P(X=20)=C2 =15,P(X=50)= C2 =15, 10 10 1 1 C1 C3 1 P(X=60)= C2 =15,故 X 的分布列为: 10

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X P

0 1 3

10 2 5

20 1 15

50 2 15

60 1 15
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[点评] 本题以超几何分布为背景,主要考查了概率
的计算,离散型随机变量分布列的求法及解决实际问题的 能力.
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(选修2-3)

一、选择题
1.下列变量中,不是随机变量的是( A.一射击手射击一次的环数 B.水在100℃时会沸腾 C.抛掷两枚骰子,所得点数之和
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)

D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数
[答案] B [ 解析 ] 由随机变量定义可知,它是随机试验的结果, 是不确定的,故选B.

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2.下列随机变量中是离散型随机变量的是(
其中所含白粉笔的支数ξ,所含红粉笔的支数η;

)

①盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔,从中任意取出3支, ②从 4 张已编号 (1 号~ 4 号 ) 的卡片中任意取出 2 张,被 取出的卡号数之和ξ;
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③离开天安门的距离η;

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④袋中有大小完全相同的红球 5个,白球4个,从袋中
任意取出一个球,若取出的球是白球,则过程结束;若取 出的球是红球,则将此红球放回袋中,然后重新从袋中任 意取出一球,直至取出的球是白球,此规定下的取球次数ξ. A.①② B.①②③
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C.①②④
[答案] C

D.②③④

[解析]

?2 ?2? ?2? ? 27 ? 2 3? ? ? ? ? ∵m?3+ 3 + 3 ?=1,∴m=38. ? ? ? ? ? ?

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3.设随机变量 ξ 的分布为 m 的值为

?2? P(ξ=k)=m?3?k,k=1,2,3,则 ? ?
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( 17 A.18 27 B.38 17 C.19 27 D.19

)

[答案] B

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(选修2-3)

二、填空题
4.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代 表,则至少有1名女生当选的概率为________.
8 [答案] 15
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(选修2-3)

5.袋中有6个红球,4个白球,从袋中任取4个球,求
至少有2个白球的概率是________.
23 [答案] 42
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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[解析]

设取出的白球个数为离散型随机变量 X, 则X的

所有可能取值为 0,1,2,3,4,则 P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+
2 2 3 1 4 0 C4 C6 C4 C6 C4 C6 90+24+1 115 23 P(X = 4) = C4 + C4 + C4 = = 210 = 42 . 故至少 210 10 10 10
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23 有 2 个白球的概率为42.

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