【人教版】2020学年高二数学上学期期中试题 人教新目标版(1)

2020 学年度第一学期期中考试 高二数学
答题时间:120 分钟,满分:150 分 一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分)
? ? 1.若直线经过 A?1, 0?, B 4, 3 两点,则直线 AB 斜率为( )

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A. 3 3

B.1

C. 3

D. ? 3

2.若方程 x2 ? y2 ? x﹣y ? m2 ? 0 表示圆,则实数 m 的取值范围是( )

A. m ? 2 2

B. ? 2 ? m ? 2

2

2

C. m ? ? 2 2

D. m ? 2 2

3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形,则原来的图形是( ).

4.设 a ? R ,若直线 l1 : ax ? 2y ? 8 ? 0 与直线 l2 : x ? (a ?1) y ? 4 ? 0 平行,则 a 的值为( )

A. ?1

B. 1

C. ?2 或 ?1

D. 1或 ?2

5.在空间直角坐标系中,已知 P?1,0,0?, Q?3, ?2, 2? ,则 P、Q 两点间的距离 PQ ? ( )

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A. 2 3

B. 4

C. 2 5

D. 2 6

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6.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ).

A. 20π

B. 24π

C. 28π

D.32π

7.设 l, m 是两条不同的直线,?, ? 是两个不同的平面,给出下列条件,其中能够推出 l // m 的是( )

A. l //? , m ? ? ,? ? ?

B. l ? ? , m ? ? ,? // ?

C. l //? , m // ? ,? // ?

D. l //? , m // ? ,? ? ?

8.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2,AA1 ? 1,则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为
()

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A. 2 2

B. 2

3

3

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C. 2

D. 1

4

3

9.一条光线沿直线 2x﹣y ? 2 ? 0 入射到直线 x ? y﹣5 ? 0 后反射,则反射光线所在的直线方程为( )

A. 2x ? y﹣6 ? 0

B. x ? 2y﹣9 ? 0

C. x﹣y ? 3 ? 0

D. x﹣2y ? 7 ? 0

10.如图,PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于 A,B 的任意一点,则下列关系中不正确的是( )

A. PA⊥BC

B. BC⊥平面 PAC

C. AC⊥PB

D. PC⊥BC

11.直线 x cos? ? y ? m ? 0 的倾斜角的取值范围是( )

A.

?? ?? 4

,

3? 4

? ??

B.

???0,

? 4

? ??

C.

???0,

? 4

? ??

?

? 3? ?? 4

,?

? ??

D.

?? ?? 4

,

? 2

? ??

?

? ??

? 2

,

3? 4

? ??

12.在四棱锥 P﹣ABCD中,PD ? 底面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,AB ? 2BC,E 是 CD 上一点,若 AE ?

平面 PBD,则 CE 的值为( ) ED

A. 3 2

B. 5 2

C. 3

D. 4

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.圆心为 C(1,﹣2),半径长是 3 的圆的标准方程是 .

14.底面边长为 1,棱长为 2 的正三棱柱,各顶点均为在同一球面上,则该球的体积为



15.若圆 x2 ? y2 ? 4 与圆(x﹣t)2 ? y2 ? 1外切,则实数 t 的值为



16.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论:

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①直线 AM 与 CC1 是相交直线;

②直线 AM 与 BN 是平行直线;

③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线.

其中正确的结论为

(注:把你认为正确的结论的序号都填上).

三、解答题(本题共 6 道小题,总分 70 分)

17.(本小题满分 10 分)

(1)求经过点 A(3,2),B(﹣2,0)的直线方程. (2)求过点 P(﹣1,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程.

18.(本小题满分 12 分)
已知函数 y ? x2﹣4x ? 3 与 x 轴交于 M、N 两点,与 y 轴交于点 P,圆心为 C 的圆恰好经过 M、N、P 三点. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x﹣y ? n ? 0 交于 A、B 两点,且线段| AB |? 4,求 n 的值.

19.(本小题满分 12 分)
在平行六面体ABCD ? A1B1C1D1中,. 求证: (1)AB 平面A1B1C; (2)平面ABB1A1 ? 平面A1BC.
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20.过点(3,2)的直线 l 与 x 轴的正半轴, y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,当 ?ABC 的面积最小时,求直线 l 的方程及 ?ABC 面积.
21.已知矩形 ABCD的对角线交于点 P ?2, 0?,边 AB 所在直线的方程为 x-3y-6=0,点 ?-1,1? 在边 AD 所在
的直线上. (1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程;
(2)已知直线 l:(1-2k)x+(1+k) y-5+4k=0(k ? R),求证:直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆恒相交,并求出相 交的弦长最短时的直线 l 的方程.
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22.如图所示,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AD // BC, AB ? BC , AB ? AD ? 1, BC ? 2 , PB ? 平面 ABCD , PB ? 1 .
(1)求异面直线 PA 与 CD 所成角的大小; (2)(文科生做)求四棱锥 P - ABCD 的表面积; (3)(理科生做)求二面角 A ? PD ? B 的大小;
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2020 学年度第一学期期中考试 高二数学答案

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一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.A 2.B 3.A 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.D 10.C
二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分)

11.C 12.C

13.(x﹣1)2+(y+2)2=9

5 30? 14. 27

15.±3

16.③④

三、解答题(本题共 6 道小题,总分 70 分) 17.(10 分)

解:(1)∵ ∴直线方程为

, ,化为 2x﹣5y+4=0.

(2)当直线的截距为 0 时,直线方程为 y= x,即 y=﹣3x; 当直线的截距不为 0 时,可设直线方程为 x+y=m, 将 P(﹣1,3)代入可得 m=2, 因此所求直线方程为 x+y=2. 故所求直线方程为 3x+y=0,或 x+y﹣2=0.

18. (12 分) 解:(1)由题意与坐标轴交点为 M(3,0),N(1,0),P(0,3), 设圆的方程为:(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2

代入点,得



解得 a=2,b=2,r= , ∴圆的方程为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=5. (2)由题意|AB|=4:设圆心到直线距离为 d,





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即:



解得:



19. (12 分) 证明:(1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB∥A1B1. 因为 AB ? 平面 A1B1C,A1B1 ? 平面 A1B1C, 所以 AB∥平面 A1B1C.

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(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABB1A1 为平行四边形. 又因为 AA1=AB,所以四边形 ABB1A1 为菱形, 因此 AB1⊥A1B. 又因为 AB1⊥B1C1,BC∥B1C1, 所以 AB1⊥BC. 又因为 A1B∩BC=B,A1B ? 平面 A1BC,BC ? 平面 A1BC, 所以 AB1⊥平面 A1BC. 因为 AB1 ? 平面 ABB1A1, 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
20. (12 分)
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21. (12 分) 解:(1)∵lAB:x-3y-6=0 且 AD⊥AB,∴kAD=-3,点(-1,1)在边 AD 所在的直线上,
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22. (12 分) (1)取 BC 的中点 F,连接 AF 交 BD 于 E,连接 PF 在梯形 ABCD 中,AF∥CD,则∠FAP 为异面直线 PA 与 CD 所成角
在△PFA 中, AF ? 2,PF ? 2,PA ? 2

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则∠FAP= ? ,∴异面直线 PA 与 CD 所成角为 ? …

3

3

(2)(文科做)在梯形 ABCD 中,易求 CD= 2 ,BD= 2 ,PD= 3
∵BC=2 ∴CD⊥BD ∵PB⊥平面 ABCD ∴PB⊥CD ∴CD⊥平面 PCD

PA= 2

∴CD⊥PD

∴ S ?PCD ?

6 2

又∵DA//BC BC⊥AB PB⊥平面 ABCD
∴ ?PAD ,?PBA,?PCD 都为直角三角形

∴ S ?PAD ?

2 2

,S ?PAB

?

1 2

,S ?PBC

? 1,

∵ S 梯形ABCD =

3 2



∴四棱锥 P

? ABCD 的表面积为:

6
+
2

21 3
+ +1+ =
22 2

6 ? 2 ?6 2

(3)(理科做)连接 AF 交 BD 于 E,过 E 作 EG⊥PD 于 G,连接 AG

∵PB⊥平面 ABCD

∴平面 PBD⊥平面 ABCD……

在菱形 ABFD 中,AE⊥BD,则 AE⊥平面 PBD ∵BG⊥PD ∴AG⊥PD
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∴∠AGE 为二面角 A-PD-B 的平面角

在△AGE 中, AE ?

2 ,EG 2

?

6 6

,则 tan

?AGE

?

AE BG

?

3

所以 tan ?AGE

?

? ,故二面角 A-PD-B 的大小为 ? …

3

3

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