江苏省扬州中学2019届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)

扬州中学 2019 届高三年级十月质量检测
数学 18.10
一.填空题 1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4?,集合 P ? ? 1,2?, Q ? ?2,3?,则 P 2.命题“ ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是 3. 已知虚数 z 满足 2 z ? z ? 1 ? 6i ,则 | z | ? 4.“ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的 ▲ ▲ ▲ .条件.

?? Q ? =
U



.

. .

(从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选择填空) 5. 已 知 向 量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (10, k ), 当 A, B, C 三 点 共 线 时 , 实 数 k 的 值 为 ▲ ..

6. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, 若 a2 ? b2 ? 2bc,sin C ? 3sin B, 则 A ? _ ▲ ..

7. 设函数 f ( x) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x , 当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 , 则 f( 8. 已知 tan(? ? ? ) ? 1 , tan(? ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? 的值为 cos 2? ▲ .

23? )= 6



.

x . 9. 已 知 函 数 y ? f ( x? 2)的 图 象 关 于 直 线 x ? ?2 对 称 , 且 当 x ? (0,?? )时 , f ( x ) ? lo g 若 2

1 a ? f (?3), b ? f ( ), c ? f (2), 则 a, b, c 由大到小的顺序是 4
10. 若 函 数 g ( x) ? sin ? x ? cos(? x ?



.

?

6

)(? ? 0) 的 图 象 关 于 点 (2? , 0) 对 称 , 且 在 区 间
▲ .

? ? ?? 上是单调函数,则 ? 的值为 ? , ? ? 3 6? ?
11. 已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4, x ? 0, ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? ax ? 5 ? 0 恰有三个不同的实数解, 则满 x ? ?e ? 5, x ? 0.
▲ .

足条件的所有实数 a 的取值集合为

12. 已知点 O 在 ?ABC 所在平面内,且

AB ? 4, AO ? 3, (OA ? OB) AB ? 0, (OA ? OC) AC ? 0, 则 AB AC 取得最大值时线段 BC
的长度是 ▲ .

13. 在 ?ABC 中,若 tan A tan C ? tan A tan B ? 5tan B tan C, 则 sin A 的最大值为 ▲ .

14.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2x?1 可以表示为一个偶函数 g ( x) 与 一个奇函数 h( x) 之和,设 h( x) ? t , p(t ) ? g (2 x) ? 2mh( x) ? m 2 ? m

?1 (m ? R). 若方程 p( p(t )) ? 0 无实根,则实数 m 的取值范围是▲ .
二.解答题 15.已知命题 p : 指数函数 f ( x) ? (2a ? 6) x 在 R 上单调递减,命题 q : 关于 x
2 的方程 x 2 ? 3ax ?2a ? 1 ? 0 的两个实根均大于 3.若“ p 或 q ”为真,“ p 且

q ”为假,求实数 a 的取值范围.

2 16. 函数 f ( x) ? 6 cos

?x
2

? 3 sin ?x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高

点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 求 f ( x0 ? 1) 的值.

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) , 3 3 5

17. 已知向量 m ? (2, ?1), n ? (sin

A , cos( B ? C )), 角 A, B, C 为 ?ABC 的内角,其所对的边分别为 2

a, b, c.
(1)当 m.n 取得最大值时,求角 A 的大小; (2)在(1)成立的条件下,当 a ? 3 时,求 b 2 ? c 2 的 取值范围.

18. 为丰富农村业余文化生活, 决定在 A,B,N 三个村子的中间地带建造 文化中心.通过测量,发现三个村子分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 和以边 AB 的中心 M 为圆心,以 MC 长为半径的圆弧的中心 N 处, D 且 AB=8km,BC= 4 2 km.经协商,文化服务中心拟建在与 A,B 等距 离的 O 处,并建造三条道路 AO,BO,NO 与各村通达.若道路建设成本 AO,BO 段为每公里 2a 万元, NO 段为每公里 a 万元, 建设总费用为 w 万元. (1)若三条道路建设的费用相同,求该文化中心离 N 村的距离; (2)若建设总费用最少,求该文化中心离 N 村的距离.

N C O

A

M

B

19. 设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b 、 c ? R) . (1)若 f ( x ) 在 [?2, 2] 上不单调,求 b 的取值范围; (2)若 f ( x) ?| x | 对一切 x ? R 恒成立,求证: b 2 ? 1 ? 4c ;

2 x2 ? 3 1 x ? R f ( x ? ) ? 0 ) 的最大值为 1,求 b 、 c 满足的条件。 (3)若对一切 ,有 ,且 f ( 2 x x ?1

20. 已知函数 f ( x) ?

ae x ?x. x

(1)若函数 f ( x) 的图象在 (1, f (1)) 处的切线经过点 (0, ?1) ,求 a 的值; (2)是否存在负整数 a ,使函数 f ( x ) 的极大值为正值?若存在,求出所有负整数 a 的值;若不存 在,请说明理由; (3)设 a ? 0 ,求证:函数 f ( x ) 既有极大值,又有极小值.

理科加试题
? 3 3?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α =?1?,属于特征值 1 的一个 ? 1 ? ? ? c d? ?1? 3 ? ? 特征向量为 α2=? ?.求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?-2?
1.已知矩阵 A=?

BC 的中点,点 E 在棱 C1 D1 上, 2.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, AB ? 4, AD ? 2, AA 1 ? 2,F 是棱
且 D1 E ?

1 EC1 。求直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值的大小; 3
D1 A1 A D E B1 C B F C1

3. 某商场举办“迎新年摸球”活动,主办方准备了甲、乙两个箱子,其中甲箱中有四个球、乙箱中有 三个球(每个球的大小、形状完全相同),每一个箱子中只有一个红球,其余都是黑球.若摸中甲 箱中的红球,则可获奖金 m 元;若摸中乙箱中的红球,则可获奖金 n 元.活动规定:①参与者每个 箱子只能摸一次,一次摸一个球;②可选择先摸甲箱,也可先摸乙箱;③如果在第一个箱子中摸到 红球,则可继续在第二个箱子中摸球,否则活动终止. (1)如果参与者先在乙箱中摸球,求其恰好获得奖金 n 元的概率; (2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大,请你帮他设计摸箱子的顺序,并说明理由.

4. 已知 f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1) n ( n ? N ? ) , g ( x) 是关于 x 的 2 n 次多项式; (1)若 f ( x2 ) g ( x) ? g ( x3 ) 恒成立,求 g (1) 和 g (?1) 的值;并写出一个满足条件的 g ( x) 的表达式, 无需证明. ( 2 )求证:对于任意给定的正整数 n ,都存在与 x 无关的常数
2n? 1 2 2 n ? 2 f ( x) ? a0 (1? x2n )? a ? x ) ? a ? ) 1 (x 2 ( x? x

a0 , a1 , a2 , … , an ,使得

?

an?1 ( xn?1 ? xn?1 ) ?an xn .

扬州中学高三年级 10 月份阶段检测数学试卷答案
18.10 一.填空题 1. {1};2. ?x ? R, x 2 ? 2x ? 2 ? 0 ;3.

5 ;4.必要不充分;5.—2 或 11;6. ? . 7. 1 ; 3 2

8.1;9.b>a>c;10. 二.解答题

1 5 3 5 5 5? ? 或 . 11. ??e, ? ;14. m ? 2 。 , 2, ? ;12. 6 ;13. 3 6 7 ln 5 2 ? ?

?? ? 0 ? ?3a 7 5 ? 15.解:当 p 为真时, 0 ? 2a ? 6 ? 1 ,? 3 ? a ? ;当 q 为真时, ?? ? 3 ,解得: a ? . 2 2 ? 2 ? ? f (3) ? 0
7 ? 3? a ? ? ? 2, 由题意知 p 、 q 一真一假。 (1)当 p 真 q 假时, ? 解得 a ??; (2)当 p 假 q 真时, 5 ?a ? ? ? 2 7 ? a ? 或a ? 3 ? 5 7 ? 2 , 解得 ? a ? 3或a ? . ? 2 2 ?a> 5 ? ? 2
cos 2 ω x+ ? 3 3sin cos ? ? xx ??2 3(? 3 sin( ? 0) ?x ? 16. 解: (Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? 6=3cos 2
为 2

?x

?
3

) 又由于正三角形 ABC 的高

3 , 则 BC=4 所 以 , 函数 f ( x)的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即

2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

。 所 以 , 函数

f ( x)的值域为 [?2 3,2 3] 。
(Ⅱ) 因 为

f ( x0 ) ?

8 3 ,由 5

(Ⅰ)



f ( x0 ) ? 2 3sin (

?x0
4

?

?
3

)?

8 3 , 5

即sin (

?x0
4

?

?
3

)?

4 ?x 10 2 ? ? ? ,由 x0 ? ( ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 5 3 3 4 3 2 2

所以, 即cos(

?x0

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? , 4 3 5 5
?x0
4 ?

故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2 3[sin(

?x0

4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2
? 7 6 . 5

?

?

) cos

?

? cos(

?x0
4

?

?
3

) sin

?
4

17.解: (1)

,令 t ? sin

A , 2



原式

,当

,即



时,

取得最大值.

(2)当 径) 于是

时,



.由正弦定理得:

( 为

的外接圆半

.由

,得

, 于是



,所以

的范围是

.

18.解: (1)不妨设 ?ABO ? ? ,依题意, ? ? ?0, ? ,且 MC ? 4 3,

? ?? ? ,3 ?

4 , NO ? 4 3 ? 4 tan ? . cos ? 4 ? 2a ? (4 3 ? 4 tan ? )a 若三条道路建设的费用相同,则 cos ?
由 AO ? BO ? 所以 sin(

?
3

??) ?

? 2 。 , 所以 ? ? 12 2

由二倍角的正切公式得, tan ? ? tan

?
12

? 2 ? 3 ,即 NO ? 8 3 ? 8

答:该文化中心离 N 村的距离为 (8 3 ? 8)km. (2)总费用 ? ? 2 ?

4 2a ? ?? ? a(4 3 ? 4 tan? ),? ? ?0, ? cos? ? 3?

即? ?

8 2 ? 4 sin ? 8 2 sin ? ? 4 2 a ? 4 3a ,令 ? ? ? a ? 0, 得 sin ? ? 2 cos? 4 cos ? 2 2 3 2,? ?<0,当 <sin ? ? 时,? ?>0, 4 4 2

当 0 ? sin ? ? 所以当 sin ? ?

7 4 7 2 , NO ? 4 3 ? 时,? 有最小值,这时, tan? ? 7 7 4
4 7 )km. 7

答:该文化中心离 N 村的距离为 (4 3 ? 19. 解(1)由题意 ?2 ?

?b ? 2 ,??4 ? b ? 4 ; 2
2 ? ?(b ? 1) ? 4c ? 0 ,? b2 +1 ? 4c ; 2 ? ?(b ? 1) ? 4c ? 0

(2)须 x 2 ? bx ? c ? x 与 x 2 ? bx ? c ? ? x 同时成立,即 ? (3)因为 | x ?

1 |? 2 ,依题意,对一切满足 | x |? 2 的实数 x ,有 f ( x) ? 0 . x
2

① 当 f ( x) ? 0 有 实 根 时 , f ( x ) ? 0的 实 根 在 区 间 [? 2 , 2 ] 内 , 设 f ( x) ? x ? bx ? c , 所 以

? ? f ( ? 2 )? 0 ? 4 ? 2b ? c ? 0 ? 2 x2 ? 3 1 2 x2 ? 3 ? 4 ? 2 b ? c ? 0 ? 2 ? ? (2,3] f ( ) 的最大值 f ( 2 ) ? 0 ,即 ,又 ,于是, ? ? 2 2 2 x ? 1 x ? 1 x ? 1 ? ?4 ? b ? 4 ? b ? ? ?2 ? ? ? 2 ? 2

4 ? b?? ? 4 ? 2 b ? 3 b ? 8 ? 0 ? 5 ? ? 为 f (3) ? 1 ,即 9 ? 3b ? c ? 1,从而 c ? ?3b ? 8 .故 ? 4 ? 2b ? 3b ? 8 ? 0 ,即 ?b ? ?4 ,解得 ? ?4 ? b ? 4 ??4 ? b ? 4 ? ? ?
b ? ?4, c ? 4 .
2 2 ②当 f ( x) ? 0 无实根时, ? ? b ? 4c ? 0 ,由二次函数性质知, f ( x) ? x ? bx ? c 在 (2,3] 上的最

大值只能在区间的端点处取得, 所以, 当 f (2) ? f (3) 时, f (

2 x2 ? 3 2 x2 ? 3 ) f ( ) 无最大值. 于是, x2 ? 1 x2 ? 1 2 x2 ? 3 )的 x2 ? 1

? c ,所以,b ? ?5 .又 f ( 存在最大值的充要条件是 f (2) ? f (3) , 即 4 ?2 b? c ? 9? 3 b

最大值为 f (3) ? 1 ,即 9 ? 3b ? c ? 1 ,从而 c ? ?3b ? 8 .由 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,得 b2 ? 12b ? 32 ? 0 , 即 ?8 ? b ? ?4 .所以 b 、 c 满足的条件为 3b ? c ? 8 ? 0 且 ?5 ? b ? ?4 .综上: 3b ? c ? 8 ? 0 且

?5 ? b ? ?4.
aex ( x ? 1) ? x2 ∴ f '(1) ? 1 , f (1) ? ae ? 1 x2 ∴函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? (ae ? 1) ? x ? 1 ,又直线过点 (0, ?1)
20.解: (1)∵ f '( x) ? ∴ ?1 ? (ae ? 1) ? ?1 ,解得: a ? ? (2)若 a ? 0 , f '( x) ?
1 e

………2 分

aex ( x ? 1) ? x2 , x2 当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 恒成立,函数在 (??,0) 上无极值;
当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 恒成立,函数在 (0,1) 上无极值;
? x0 ? 1 ? 方法(一)在 (1, ??) 上,若 f ( x) 在 x0 处取得符合条件的极大值 f ( x0 ) ,则 ? f ( x0 ) ? 0 ,5 分 ? f '( x ) ? 0 0 ?

? ? (1 ) ? x0 ? 1 x0 ? x2 x ? ae ? x0 ? 0 (2) 则? ,由(3)得:ae x0 ? ? 0 ,代入(2)得: ? 0 ? x0 ? 0 ,结合(1) x0 ? 1 x0 ? 1 ? x0 ? ae x0 ( x ? 1) ? x 2 0 0 ? ? 0 (3) 2 x ? 0 ?

可解得: x0 ? 2 ,再由 f ( x0 ) ? 设 h( x) ? ?

x2 ae x0 ? x0 ? 0 得: a ? ? x00 , e x0

x2 x( x ? 2) ,则 h '( x) ? ,当 x ? 2 时, h '( x) ? 0 ,即 h( x) 是增函数, x ex e 4 所以 a ? h( x0 ) ? h(2) ? ? 2 , e
又 a ? 0 ,故当极大值为正数时, a ? (?
4 ,0) ,从而不存在负整数 a 满足条件. ………8 分 e2

方法(二)在 x ? (1, +?) 时,令 H ( x) ? ae x ( x ? 1) ? x 2 ,则 H '( x) ? (ae x ? 2) x

∵ x ? (1, +?) ∴ e x ? (e, +?) ∴ ae x ? 2 ? 0 ∴ H '( x) ? 0

∵ a 为负整数

∴ a ? ?1

∴ ae x ? ae ? ?e

∴ H ( x) 在 (1, ??) 上单调减 …5 分

又 H (1) ? 1 ? 0 , H (2) ? ae2 ? 4 ? ?e2 ? 4 ? 0 ∴ ?x0 ? (1, 2) ,使得 H ( x0 ) ? 0 且 1 ? x ? x0 时, H ( x) ? 0 ,即 f '( x) ? 0 ; x ? x0 时, H ( x) ? 0 ,即 f '( x) ? 0 ; ∴ f ( x) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ) ?
ae x0 ? x0 x0

(*)

又 H ( x0 ) ? ae x0 ( x0 ? 1) ? x02 ? 0 ∴ ∴不存在负整数 a 满足条件.

x x x ( x ? 2) ae x0 ?0 ? ? 0 代入(*)得: f ( x0 ) ? ? 0 ? x0 ? 0 0 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 x0 ? 1

………8 分

(3)设 g ( x) ? ae x (x ? 1) ? x 2 ,则 g '( x) ? x(ae x ? 2) , 因为 a ? 0 ,所以,当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递增;当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 故 g ( x) 至多两个零点. 又 g (0) ? ?a ? 0 , g (1) ? 1 ? 0 ,所以存在 x1 ? (0,1) ,使 g ( x1 ) ? 0 再由 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增知, 当 x ? (0, x1 ) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ?
g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; x2 g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; x2

当 x ? ( x1, ? ?) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ? 所以函数 f ( x) 在 x1 处取得极小值. 当 x ? 0 时, e x ? 1 ,且 x ? 1 ? 0 ,

………12 分

所以 g ( x) ? ae x ( x ? 1) ? x2 ? a( x ? 1) ? x2 ? x2 ? ax ? a , 函数 y ? x2 ? ax ? a 是关于 x 的二次函数,必存在负实数 t ,使 g (t ) ? 0 ,又 g (0) ? ?a ? 0 , 故在 (t ,0) 上存在 x 2 ,使 g ( x2 ) ? 0 , 再由 g ( x) 在 (??, 0) 上单调递减知, 当 x ? (??,x2 ) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ? 当 x ? ( x2 , 0) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ?
g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; x2

g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; x2

所以函数 f ( x) 在 x 2 处取得极大值. 综上,函数 f ( x ) 既有极大值,又有极小值. ………16 分

理科加试答案 ?1? ? 1. 解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?可得,? ?1? ? ? 3 ? ? 3 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α2=? ?,可得? ? c ?-2?
?c=2, ? 3 2. 解得? 即 A=? ? 2 ?d=4.

3 c 3? d?

?

?1? ? ? ?=6? ?,即 c+d=6; d ? ?1? ?1? ? 3 ? ? 3 ? ? ?=? ?,即 3c-2d=- ?-2? ?-2?

3? ?1?

? 3 -2? . ?, A 的逆矩阵是? 4? 1 1? - ? 3 2?
3? , ( 0, E 0, 2), F ( 0 , 1, 2 ),

2

1

2. 解 : 分 别 以 DA, DC, DD1 为 x, y , z 轴 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz , 则

A( 2 , 0 , 0C ), ( 0, 4D , 10 ) ,

(1, 4 , 0 )

所 以 D1 A ? (2,0,?2), D1C ? (0,4,?2) .

EF ? (1,3, ?2) , 设 平 面 D1 AC 的 一 个 法 向 量 为

? ? x ? z, ?n ? D1 A ? 0, 解得 ? 取 y ? 1 ,则 n ? (2,1,2) ,因为 | EF |? 14 ,| n |? 3 , n ? ( x, y, z ) ,由 ? z ? 2 y , ? ? ?n ? D1C ? 0,
EF ? n ? 1 ,所以 cos? EF, n? ?
EF ? n | EF | | n | ?

1 14 ? 3

?

14 因为 cos? EF, n? ? 0 ,所以 ? EF, n? 是 42 ,
14 . 42

锐角, 是直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的余角, 所以直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值为 3. 解:(1)设参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元为事件 M .

则 P( M ) ? ?

1 3 1 ? 3 4 4

即参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元的概率为
…………4 分

1 . 4

(2)参与者摸球的顺序有两种,分别讨论如下: ①先在甲箱中摸球,参与者获奖金 x 可取 0, m, m + n

3 1 2 1 1 1 1 , P(x = m) = ? , P(x = m + n) = ? 4 4 3 6 4 3 12 3 1 1 m n Ex = 0? m? ( m + n) ? + …………6 分 4 6 12 4 12 ②先在乙箱中摸球,参与者获奖金 h 可取 0, n, m + n
则 P(x = 0) =

则 P(? ? 0) ? , P(? ? n) ? ? ? , P(? ? m ? n) ? ? ?

2 3

1 3 3 4

1 4

1 1 3 4

1 12

Eh = 0?

2 1 1 n? ( m + n) ? 3 4 12 2m - 3n Ex - Eh = 12

m n + 12 3

……8 分

当 当

m 3 ? 时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金期望值较大; n 2

m 3 = 时,两种顺序参与者获奖金期望值相等; n 2 m 3 当 < 时,先在乙箱中摸球,再在甲箱中摸球,参与者获奖金期望值较大. n 2
答:当

m 3 m 3 ? 时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金期望值较大;当 = n 2 n 2

4. 解: (1)令 x ? 1 ,则 f (1) g (1) ? g (1) ,即 g (1) ? [ f (1) ?1] ? 0 ,
因为 f (1) ?1 ? 3n ?1 ? 0 ,所以 g (1) ? 0 ;
2 3 令 x ? ?1 ,则 f ? ?(?1) ? ? g (?1) ? g ? ?( ?1) ? ? ,即 f (1) g (?1) ? g (?1) ,

因 为 g (? 1 ? ) f

因 ] 为 0f (1) ?1 ? 3n ?1 ? 0 , 所 以 g (? 1 [? (? 1 ), 1 ?)

; 0 例 如

g ( x) ? ( x2 ?1)n (n ? N? ) .
(2)当 n ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? x ,故存在常数 a0 ? 1 , a1 ? 1 ,
2 2

使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2 ) ? a1x . 假设当 n ? k ( k ? N )时,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, ak ,
?

使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2k ) ? a1 ( x ? x2k ?1 ) ? a2 ( x2 ? x2k ?2 ) ?

? ak ?1 ( xk ?1 ? xk ?1 ) ? ak xk ,即 ? ak ?1 ( xk ?1 ? xk ?1 ) ? ak xk .

( x2 ? x ?1)k ? a0 (1 ? x2k ) ? a1 ( x ? x2k ?1 ) ? a2 ( x2 ? x2k ?2 ) ?
则当 n ? k ? 1 时,

f ( x) ? ( x2 ? x ? 1)k ?1 ? ( x2 ? x ? 1) ? ( x2 ? x ? 1)k
2k 2 k ?1 ? ( x 2 ? x ? 1) ? ? ? a0 (1 ? x ) ? a1 ( x ? x ) ?

? ak ?1 ( x k ?1 ? x k ?1 ) ? ak x k ? ?

? (a0 ? a1x ?

? ak ?1xk ?1 ? ak xk ? ak ?1xk ?1 ?

? a1x2k ?1 ? a0 x2k )

?(a0 x ? a1x2 ? ?(a0 x2 ? a1x3 ?

? ak ?1xk ? ak xk ?1 ? ak ?1xk ?2 ? ? ak ?1xk ?1 ? ak xk ?2 ? ak ?1xk ?3 ?

? a1x2k ? a0 x2k ?1 ) ? a1x2k ?1 ? a0 x2k ?2 ) ? (ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?3 ) xk ?1 ? ?

? a0 ? (a1 ? a0 ) x ? (a2 ? a1 ? a0 ) x2 ? (a3 ? a2 ? a1 ) x3 ?

?(ak ? ak ?1 ? ak ?2 ) xk ? (2ak ?1 ? ak ) xk ?1 ? (ak ? ak ?1 ? ak ?2 ) xk ?2 ? ?(a3 ? a2 ? a1 ) x2k ?1 ? (a2 ? a1 ? a0 ) x2k ? (a1 ? a0 ) x2k ?1 ? a0 x2k ?2 ? a0 ( x ? x2k ?2 ) ? (a1 ? a0 )( x ? x2k ?1 ) ? (a2 ? a1 ? a0 )( x2 ? x2k ) ? ?(ak ? ak ?1 ? ak ?2 )( xk ? xk ?2 ) ? (2ak ?1 ? ak ) xk ?1 ;

令 a0 ' ? a0 , a1 ' ? a0 ? a1 , am ' ? am?2 ? am?1 ? am ( 2 ? m ? k ) , ak ?1 ' ? 2ak ?1 ? ak ; 故存在与 x 无关的常数 a0 ' , a1 ' , a2 ' ,…, ak ' , ak ?1 ' ;使得

f ( x) ? a0 '(1 ? x2k ?2 ) ? a1 '( x ? x2k ?1 ) ? a2 '( x2 ? x2k ) ?

? ak '( xk ? xk ?2 ) ? ak ?1 ' xk ?1 .

综上所述,对于任意给定的正整数 n ,都存在与 x 无关的常数 a0 , a1 , a2 ,…, an , 使得 f ( x) ? a0 (1 ? x2n ) ? a1 ( x ? x2n?1 ) ? a2 ( x2 ? x2n?2 ) ?

? an?1 ( xn?1 ? xn?1 ) ? an xn .
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