人教B版高中数学选修(2-3)-2.4对μ和σ的认识

对 ? 和? 的认识 正态分布密度曲线的函数表达式为 ??,? (x) ? 1 ? ( x?? )2 e 2? 2 , x ? (?∞,? ∞) ,式 2π? 中的实数 ?、? (? ? 0) 是两个参数。 1. ?,? 的具体意义 简单地说,μ 就是数学期望。如图 1,它恰好是曲线最高点的横坐标,直线 x ? ? 就是曲线的对称轴,可见 μ 决定了正态分布密度曲线的位置。随机变量 X 的大部 分的值都集中在 μ 的附近,从曲线的图形可以直观地看出随机变量的这个特征。 在实际生产中,对产品所规定的标准常常就是参数 μ。如:一个车间要生产 一批直径为 20mm 的轴,其中规定的直径 20mm 就是 μ,工人生产时总是努力要 让产品符合规定的标准,因此直径 X 出现在 20mm 附近的概率最大。 参数? ,表示随机变量 X 偏离平均值 μ 的程度,即“标准差”。从图 2 可以清 楚地看出,? 的大小反映了 X 的分散程度.当 μ 一定时,? 越大,曲线越“矮胖”, X 的取值越分散,远离 μ 的值出现的概率就越大;反之,当? 越小,曲线越“瘦 高”,X 在 μ 的附近出现的可能性越大.可见,? 决定了正态分布密度曲线的形状。 2. ? 和? 确定正态分布 当 ? 和? 固定后,正态分布也就完全确定了,记为 N(?,? 2 ) 。如果随机变量 X 服从正态分布 N(?,? 2 ) ,则随机变量 X 与 ? 的 差的绝对值超过 3? (即 X ? ? ? 3? )的概率是极 小的,它不会超过 0.3% 。也就是说,有 99.7% 以上 的可能, X 会落在区间 (? ? 3?,? ? 3? ) 以内。如图 3,它表明曲线在区间 (? ? 3?,? ? 3? ) 上的曲边梯形的面积(图中阴影部分)占曲 线与横轴围成的总面积(等于 1)的 99.7% 以上。这个结论通常称为“ 3? 原则”。 例如:某批袋装大米的质量服从正态分布 N(10,0.01)(单位:kg)即数学期望 ? ?10kg ,标准差? ? 0.1 kg。那一定可以判定,这批袋装大米有 99.7% 以上质量落 在10 ? 3?0.1? 9.7 kg 到10 ? 3?0.1?10.3kg 之间。

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