[K12学习]2018版高中数学 小问题集中营 专题5.4 深化点 正确的找直线与平面所成角和二面角

K12 学习教育资源 问题 4 深化点 正确的找直线与平面所成角和二面角 一、问题的提出 在必修二的学习中会遇到直线与平面所成角和求二面角时要根据定义把角找正确,找直线和平面所成 角时,注意在找斜线在平面内的射影时,不能只说斜线在平面内的射影是哪条线,还要进而证明其正确性, 才能说明某个角就是斜线与平面所成的角.找二面角时要过棱上一点在两个半平面做垂线. 二、问题的探源 求斜线与平面所成角的策略(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平 面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便 于计算. (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直 角三角形中计算. 解决二面角问题的策略,清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特 殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为:一作,即先作出二面角的平面角;二证,即说明所作角 是二面角的平面角;三求,即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”. 注意算二种角必要的三个步骤都是,一做,二证、三算. 三、问题的佐证: 考向一:直线与平面所成的角 例一、 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 平面 PDC , AD BC , PD ? PB , AD ?1, BC ? 3, CD ? 4, PD ? 2. (1)求证: PD ? 平面 PBC ; (2)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析;(2) 5 5 【解析】试题分析:(1)由 AD ? 平面 PDC ,得 AD ? PD ,由 BC / / AD ,得 PD ?BC ,再由 PD ? PB , 得到 PD ? 平面 PBC ;(2)过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F ,连结 PF ,则 DF 与平面 PBC 所成的 角等于 AB 与平面 PBC 所成的角,由 PD ? 平面 PBC ,得到 ?DFP为直线 DF 和平面 PBC 所成的角, K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 由此能求出直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. 所以,直线 AB 与平面 PBC 所成的角的正弦值为 5 5 【对应训练】已知线段 AB 的长等于它在平面 α 内射影长的 2 倍,则 AB 所在直线与平面 α 所成的角为正 六棱锥底面边长为 2,体积为 4 3 ,则侧棱与底面所成的角为( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】∵正六棱锥的底面边长为 2,所以底面积 S= 6 ? 3 ? 4 ? 6 3 ,因为体积为 4 3 ,则棱锥的高 4 h ? 2 ,底面顶点到底面中心的距离为 2,所以侧棱与底面所成的角为 45° 故选 B 例 2、 如图,在几何体中,四边形 ABCD 为菱形,对角线 AC 与 BD 的交点为 O ,四边形 DCEF 为梯形, EF / /DC, FD ? FB . (Ⅰ)若 DC ? 2EF ,求证: OE / / 平面 ADF ; K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 (Ⅱ)求证:平面 AFC ? 平面 ABCD; (Ⅲ)若 AB ? FB ? 2 , AF ? 3 , ?BCD ? 60? ,求 AF 与平面 ABCD 所成角. 【答案】(I)证明见解析;(II)证明见解析;(III) 30? . 【解析】试题分析:(1)取 AD 的中点 G ,连接 OG, FG ,证明 OGFE 为平行四边形,可得 OE / /FG , 利用线面平行的判定定理即可证明 OE / / 平面 ADF ;(2)先证明 OC ? BD , OF ? BD ,可证明 BD ? 平面 AFC ,从而可证明平面 AFC ? 平面 ABCD ;(3)做 FH ? AC 于 H , ?FAH 为 AF 与平面 ABCD 所 成角,根据余弦定理及等腰三角形性质即可求 AF 与平面 ABCD 所成角. 试题解析:(Ⅰ)证明:取 AD 的中点 G ,连接 OG , FG . ∵对角线 AC 与 BD 的交点为 O , ∴ OG / /DC,OG ? 1 DC , 2 ∵ EF / /DC, DC ? 2EF ,∴ OG / /EF,OG ? EF ,∴ OGEF 为平行四边形, ∴ OE / /FG , ∵ FG ? 平面 ADF , OE ? 平面 ADF , ∴ OE / / 平面 ADF ; (Ⅱ)证明:∵四边形 ABCD 为菱形, ∴ OC ? BD , ∵ FD ? FB , O 是 BD 的中点, ∴ OF ? BD , ∵ OF ?OC ? O , ∴ BD ? 平面 AFC , ∵ BD ? 平面 ABCD, ∴平面 AFC ? 平面 ABCD; (Ⅲ) K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 作 FH ? AC 于 H . ∵平面 AFC ? 平面 ABCD,∴ FH ?平面 ABCD , ∴ ?FAH 为 AF 与平面 ABCD 所成角, 由题意, ?BCD 为正三角形, OA ? 3, BD ? AB ? 2 , ∵ FD ? FB ? 2 , ∴ ?FBD 为正三角形,∴ OF ? 3 . ?AOF 中,由余弦定理可得 cos?AOF ? 3 ? 3 ? 9 ? ? 1 , 2? 3? 3 2 ∴ ?AOF ?120? , ∴ ?FAH ? ?AOF ? 30? , ∴ AF 与平面 ABCD所成角 30? . 【通法】求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线, 注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算. (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 考向

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