江苏省常州市武进区2015届高三上学期期中考试数学(理)试题

江苏省常州市武进区 2015 届高三上学期期中考试 数学(理)试题
2014.11

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位置上) 1.已知全集 U ? R , A ? ?x x ? 0? , B ? ?x x ? 2? ,则集合 CU ? A B ? ? 2.函数 y ? sin ▲ .

?
2

x cos

?
2

x 的最小正周期是



. ▲ . ▲ 条件(填“充

3.已知向量 a ? (3x ?1,4) 与 b ? ?1,2? 共线,则实数 x 的值为

4. ?ABC 中,角 A , B 的对边分别为 a , b ,则“ A ? B ”是“ a ? b ”的 分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”). 5.已知 f (sin ? ? cos? ) ? sin 2? ,则 f ( ) 的值为
1 5



.

6.设曲线 f ? x ? ? ax ? ln ? x ? 1? 在点 ? 0,0 ? 处的切线方程为 y ? 2 x ,则实数 a 的 值为 ▲ . ▲ .

?? ? 1 ? 2? ? 7.已知 sin ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2? ? 的值是 ?6 ? 3 ? 3 ?

8. ?ABC 中, AB ? AC , BC 的边长为 2 ,则 BA ? BC 的值为



.

?? ? 9.若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的最小正值 4? ?
是 ▲ .
3x ? 2 ,则 2x ?1

10.若 f ? x ? ?

?1? f ? ?? ? 11 ?

?2? f ? ?? ? 11 ?

?3? f ? ?? ? 11 ?

? 10 ? ? f ? ?? ? 11 ?



.

11.函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (3) ? 0 ,且 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ,则不等式 f ( x) ≥ 0 的解 集是 ▲ .

12.如图,△ ABC 中,延长 CB 到 D ,使 BD ? BC ,当 E 点 D 在线段 AD 上移动时,若 AE ? ? AB ? ? AC ,则 t ? ? ? ? 的最大值是 ▲ .
E A C B

13. 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? x ? 2 ,x ? R .若方程 f ? x ? ? a x ? 2 ? 0 恰有 4 个互异的实数根, 则实数 a 的 取值范围为 ▲ . ▲ .

14.若函数 f ? x ? ? x2 ? ex ? ax 在 R 上存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围是

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 3a sin B ? b cos A ? 0 . ⑴ 求角 A 的大小; ⑵ 若 a ? 1 , b ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax3 ? 3x . ⑴ 求函数 f ? x ? 单调区间; ⑵ 若在区间 ?1,2? 上, f ? x ? ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围.[来源:学科网]

17.(本小题满分 14 分) 某实验室某一 天的温度 (单位: ?C )随时间 t (单位 : h )的 变化近似 满足函数 关系: ? ? f ? t ? ? 9 ? 3 cos t ? sin t , t ??0,24? .
12 12

⑴ 求实验室这一天里,温度降低的时间段; ⑵ 若要求实验室温度不高于 10 ?C ,则在哪段时间实验室需要降温?

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 OABC 是等腰梯形, A(6,0), C(1, 3) ,点 M 满足 1 OM ? OA ,点 P 在线段 BC 上运动(包括端点). 2 ⑴ 求 ?OCM 的余弦值; ⑵ 是否存在实数 ? ,使 (OA ? ?OP) ? CM ,若存在,求出满足条件的实数 ? 的取值范围,若 不存在,请说明理由.

y
C
P B

O

M

A

x

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? =x2 ? ? x ? 1? ? x ? a . ⑴ 若 a ? ?1 ,解方程 f ? x ? ? 1 ; ⑵ 若函数 f ? x ? 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; ⑶ 若函数 f ? x ? 在 ? 2,3? 上的最小值为 6,求实数 a 的值.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? a 有且只有一个零点,其中 a>0. ⑴ 求 a 的值; ⑵ 若对任意的 x ? ?1, ?? ? ,有 ? x ? 1? f ? x ? ? x2 ? 2x ? k ? 0 恒成立,求实数 k 的最小值; ⑶ 设 h ? x ? ? f ? x ? ? x ?1,对任意 x1 , x2 ? ? 0, ???? x1 ? x2 ? , x ?x x1 ? x2 证明:不等式 1 2 ? 恒成立. 2 h ? x1 ? ? h ? x2 ?

参考答案 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位置上) 1. {x|0<x<2} . 2. 2 . 3. 1 . 4.充要 5.﹣ 6. 7. 8. 9. 3 ﹣ 4 . . . . .

10. 15 . 11. {x|﹣3<x<0 或 x>3} . 12. 3 . 13. (0,1) . 14. (﹣∞,2ln2) . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解: (1)已知等式 asinB﹣bcosA=0,利用正弦定理化简得: sinAsinB﹣sinBcosA=0, ∵sinB≠0,∴tanA= ,

则 A=30°; 2 2 2 2 (2)由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 1=3+c ﹣3c, 解得:c=1 或 c=2, 当 c=1 时,S△ABC= bcsinA= × 当 c=2 时,S△ABC= bcsinA= × ×1× = ×2× = ; .

16. 解: (1)a=0 时,f(x)=﹣3x, ∴f(x)的单调减区间是 R; 当 a≠0 时, 3 ∵f(x)=ax ﹣3x,a≠0, ∴f′(x)=3ax2﹣3=3(ax2﹣1) , ∴当 a>0 时, 由 f′(x)>0 得:x> 由 f′(x)<0 得:﹣ 当 a<0 时,由 f′(x)>0 得: , 或 x<﹣ ,

由 f′(x)<0 得:x<

或 x>﹣

; ) , ( ,+∞) ;函数 f(x)的单调递

∴当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣ 减区间为(﹣ , ) , ) ; ,﹣

当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为( ) , (﹣ ,+∞) ;

) ,函数 f(x)的单调递减区间为(﹣∞,

(2)当 a≤0 时,由(1)可知,f(x)在区间[1,2]是减函数, 由 f(2)=4 得 , (不符合舍去) , ,

当 a>0 时,f′(x)=3ax2﹣3=0 的两根 x= ①当

,即 a≥1 时,f′(x )≥0 在区间[1,2]恒成立,f(x )在区间[1,2]是增函数,由 f

(1)≥4 得 a≥7; ②当 ,即 时 f′(x)≤0 在区间[1,2]恒成立 f(x)在区间[1,2]是减函数,f

(2)≥4,a ③当 1 所以 f(

(不符合舍去) ; ,即 时,f(x )在区间[1, ]是减函数,f(x)在区间[ ,2]是增函数;

)≥4 无解.

综上,a≥7. 17. 解: (1)f(t)=9﹣ ) ) , 2k ,解得 24k+2≤t≤24k+14,k 为整数, t,t∈[0,24) ,

则 f(t)=9﹣2( =9﹣2sin( 令 2k

由于 t∈[0,24) ,则 k=0,即得 2≤t≤14. 则有实验室这一天里,温度降低的时间段为[2,14]; (2)令 f(t)≤10,则 9﹣2sin( 即有 sin( 则﹣ ) , , )≤10,

解得 24k﹣6≤t≤24k+10,k 为整数, 由于 t∈[0,24) ,则得到 0≤t≤10 或 18≤t<24, 故在 10<t<18,实验室需要降温. 18. 解 :( 1 ) 由 题 意 可 得 , 故 cos∠OCM=cos< ( 2 ) 设 , >= , = 其 . 中 1≤t≤5 . 若 则 即 12﹣2λ t+3λ =0, 可得(2t﹣3)λ =12. 若 若 ,则 λ 不存在, ,则 , , , , , ,

∵t∈[1, )∪( ,5], 故 .

19. 解: (1)若 a=﹣1,则方程 f(x)=1 可化为 x2+(x﹣1)?|x+1|=0, 即 2x2﹣1=0(x≥﹣1)或 1=0(x<﹣1) , 故 x= 或 x=﹣ ; ,

(2)f(x)=x2+(x﹣1)?|x﹣a|= 则若使函数 f(x)在 R 上单调递增, 则 ,

则 a≥1; (3)若 a≥3,则 f(x)=(a+1)x﹣a,x∈[2,3], 则函数 f(x)在[2,3]上的最小值为 6,可化为 2(a+1)﹣a=6,则 a=4;

若 1≤a<3,则 f(x)在[2,3]上单调递增, 则 2(a+1)﹣a=6,则 a=4 无解, 若 a<1, <1,

则 f(x)=x2+(x﹣1)?|x﹣a|在[2,3]上单调递增, 则 2?22﹣(1+a)2+a=6, 解得,a=0. 综上所述,a=0 或 a=4. 20. 解: (1)f′(x)= ﹣1,

则函数 f(x)=lnx﹣x+a 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 则若使函数 f(x)=lnx﹣x+a 有且只有一个零点, 则 0﹣1+a=0,解得,a=1; (2) (x+1)f(x)+x2﹣2x+k>0 可化为 (x+1) (lnx﹣x+1)+x2﹣2x+k>0, 即 k>2x﹣xlnx﹣lnx﹣1 对任意的 x∈(1,+∞)恒成立, 令 g(x)=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1, 则 g′(x)=2﹣lnx﹣1﹣ = ,

令 m(x)=x﹣xlnx﹣1, 则 m′(x)=1﹣lnx﹣1=﹣lnx, ∵x∈(1,+∞) , ∴m′(x)=1﹣lnx﹣1=﹣lnx<0, 则 m(x)=x﹣xlnx﹣1<1﹣1ln1﹣1=0, 则 g′(x)<0, 则 g(x)在(1,+∞)上是减函数, 则 k>2x﹣xlnx﹣lnx﹣1 对任意的 x∈(1,+∞)恒成立可化为 k≥g(1)=2﹣0﹣0﹣1=1, 则 k 的最小值为 1; (3)证明:由题意,h(x)=f(x)+x﹣1=lnx, 则对任意 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) , 恒成立可化为,

对任意 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) , 不妨没 x1<x2,则 lnx1﹣lnx2<0, 则上式可化为(x1+x2) (lnx1﹣lnx2)﹣2(x1﹣x2)<0, 令 n(x)=(x1+x) (lnx1﹣lnx)﹣2(x1﹣x) , 则 n′(x)=(lnx1﹣lnx)﹣(x1+x) +2 =lnx1﹣lnx﹣ +1,

>0 恒成立;

n″(x)=﹣ +

=



∵则当 x∈(x1,+∞)时,n″(x)<0, 则 n′(x)在(x1,+∞)上是减函数, 则 n′(x)<n′(x1)=0, 则 n(x)在(x1,+∞)上是减函数, 则 n(x)<n(x1)=0, 则(x1+x2) (lnx1﹣lnx2)﹣2(x1﹣x2)<0, 故对任意 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) ,不等式 恒成立.


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