2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义学案苏教版

3.3
学习目标

复数的几何意义

1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一

一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.理解向量加法、减法的几何意义,能用几何意 义解决一些简单问题.

知识点一 复平面 思考 实数可用数轴上的点来表示,平面向量可以用坐标表示,类比一下,复数怎样来表示 呢? 答案 任何一个复数 z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面 直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 梳理 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴 上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 知识点二 复数的几何意义 1.复数与点、向量间的对应关系

2.复数的模 → → 复数 z=a+bi(a,b∈R),对应的向量为OZ,则向量OZ的模叫做复数 z=a+bi 的模(或绝对 值),记作|z|或|a+bi|.由模的定义可知:|z|=|a+bi|= a +b . 知识点三 复数加、减法的几何意义 思考 1 复数与复平面内的向量一一对应,你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的 几何意义吗? —→ —→ —→ —→ 答案 如图,设 OZ1 , OZ2 分别与复数 a+bi,c+di 对应,且 OZ1 , OZ2 不共线,
2 2

—→ —→ 则 OZ1 =(a,b), OZ2 =(c,d), —→ —→ 由平面向量的坐标运算,得 OZ1 + OZ2 =(a+c,b+d), —→ —→ 所以 OZ1 + OZ2 与复数(a+c)+(b+d)i 对应,复数的加法可以按照向量的加法来进行. 思考 2 怎样作出与复数 z1-z2 对应的向量? 答案 z1-z2 可以看作 z1+(-z2). 因为复数的加法可以按照向量的加法来进行. 所以可以按 照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1-z2 对应的向量(如图).

—→ —→ —→ 图中 OZ1 对应复数 z1, OZ2 对应复数 z2,则 Z2Z1 对应复数 z1-z2. 梳理 (1)复数加减法的几何意义 复数加法的 几何意义 —→ —→ 复数 z1+z2 是以 OZ1 ,OZ2 为邻边的平行四边形的对 → 角线OZ所对应的复数 —→ —→ 复数 z1-z2 是从向量 OZ2 的终点指向向量 OZ1 的终 —→ 点的向量 Z2Z1 所对应的复数

复数减法的 几何意义

(2)设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则|z1-z2|= ?a-c? +?b-d? ,即两个复数
2 2

的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.

1.原点是实轴和虚轴的交点.( √ ) 2.在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( √ ) 3.在复平面内,虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数.( × ) 4.复数的模一定是正实数.( × )

类型一 复数的几何意义 例 1 实数 x 分别取什么值时,复数 z=(x +x-6)+(x -2x-15)i 对应的点 Z 在: (1)第三象限; (2)直线 x-y-3=0 上. 解 因为 x 是实数,所以 x +x-6,x -2x-15 也是实数.
? ?x +x-6<0, (1)当实数 x 满足? 2 ?x -2x-15<0, ?
2 2 2 2 2

即当-3<x<2 时,点 Z 在第三象限. (2)z=x +x-6+(x -2x-15)i 对应点的坐标为 Z(x +x-6,x -2x-15), 当实数 x 满足(x +x-6)-(x -2x-15)-3=0, 即当 x=-2 时,点 Z 在直线 x-y-3=0 上. 引申探究 若本例中的条件不变,其对应的点在: (1)虚轴上;(2)第四象限. 解 (1)当实数 x 满足 x +x-6=0, 即当 x=-3 或 2 时,点 Z 在虚轴上.
?x +x-6>0, ? (2)当实数 x 满足? 2 ?x -2x-15<0, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

即当 2<x<5 时,点 Z 在第四象限. 反思与感悟 按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对 应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置 判断复数实部、虚部的取值. 跟踪训练 1 求当实数 m 为何值时,复数 z=(m -8m+15)+(m +3m-28)i 在复平面内的对 应点分别满足下列条件: (1)位于第四象限; (2)位于 x 轴的负半轴上? 解
? ?m -8m+15>0, (1)由题意,知? 2 ?m +3m-28<0, ?
2 2 2

?m<3或m>5, ? 解得? ?-7<m<4. ?

即-7<m<3. 故当-7<m<3 时,复数 z 的对应点位于第四象限.
?m -8m+15<0, ? (2)由题意,知? 2 ?m +3m-28=0,② ?
2



由②得 m=-7 或 m=4. 因为 m=-7 不适合不等式①,m=4 适合不等式①, 所以 m=4. 故当 m=4 时,复数 z 的对应点位于 x 轴的负半轴上.

类型二 复数模及其几何意义的应用 1 3 例 2 已知复数 z1= 3-i 及 z2=- + i. 2 2 (1)求|z1|及|z2|的值; (2)设 z∈C,满足|z2|≤|z|≤|z1|的点 z 的集合是什么图形? 解 (1)|z1|=| 3-i|= ? 3? +?-1? =2,
2 2

3 ? ? 1 |z2|=?- + i?= ? 2 2 ?

?-1?2+? 3?2=1. ? 2? ? ? ? ? ?2?

(2)由(1)知 1≤|z|≤2, 因为不等式|z|≥1 的解集是圆|z|=1 上和该圆外部所有点组成的集 合,不等式 |z|≤2 的解集是圆 |z| = 2 上和该圆内部所有点组成的集合,所以满足条件 1≤|z|≤2 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 1 和 2 为半径的两圆所夹的圆环,并包括圆 环的边界,如图所示.

反思与感悟 (1)在计算复数的模时, 应先找出复数的实部和虚部, 然后再利用模的公式进行 计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小. (2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离. 跟踪训练 2 设 z 为复数,且|z|=|z+1|=1,求|z-1|的值. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 解 设 z=a+bi(a,b∈R). ∵z+1=(a+1)+bi,且|z|=|z+1|=1, ∴?

? a2+b2=1, ? ?a+1?2+b2=1,
2 2

?a +b =1, ? 即? 2 2 ? ??a+1? +b =1,

2

2

? ?a +b =1, 即? 2 2 ?a +b +2a=0, ?

1 ? ?a=-2, 解得? 3 ? ?b =4,
2 2 2

∴|z-1|=|(a+bi)-1|= ?a-1? +b =

?-1-1?2+3= 3. ? 2 ? 4 ? ?

类型三 复数加、减法的几何意义 例 3 如图所示,平行四边形 OABC 的顶点 O,A,C 分别对应的复数为 0,3+2i,-2+4i.

→ → → 求:(1)AO表示的复数;(2)CA表示的复数;(3)OB表示的复数. 解 因为 A,C 对应的复数分别为 3+2i,-2+4i, → → 由复数的几何意义,知OA与OC表示的复数分别为 3+2i,-2+4i. → → → (1)因为AO=-OA,所以AO表示的复数为-3-2i. → → → (2)因为CA=OA-OC, → 所以CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. → → → (3)OB=OA+OC, → 所以OB表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. 反思与感悟 (1)常用技巧 ①形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. ②数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中. (2)常见结论:在复平面内,z1,z2 对应的点分别为 A,B,z1+z2 对应的点为 C,O 为坐标原 点,则 ①四边形 OACB 为平行四边形. ②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形 OACB 为矩形. ③若|z1|=|z2|,则四边形 OACB 为菱形. ④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形 OACB 为正方形. → → → 跟踪训练 3 (1)已知复平面内的平面向量OA,AB表示的复数分别是-2+i,3+2i,则|OB|= ________. (2)若 z1=2+i,z2=3+ai,复数 z2-z1 所对应的点在第四象限上,则实数 a 的取值范围是 __________. 答案 (1) 10 (2)(-∞,1)

→ → → 解析 (1)∵OB=OA+AB, → ∴OB表示的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i,

→ 2 2 ∴|OB|= 1 +3 = 10. (2)z2-z1=1+(a-1)i, 由题意知 a-1<0,即 a<1.

→ → 1.若OZ=(0,-3),则OZ对应的复数为________. 答案 -3i → 解析 OZ=(0,-3), ∴Z(0,-3),复数 z=0+(-3)i=-3i. 2.在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 mi 的点在直线 y=x 上,则实数 m=________. 答案 9 解析 ∵z=(m-3)+2 mi 表示的点在直线 y=x 上, ∴m-3=2 m,解得 m=9. 3 . 已 知 3 - 4i = x + yi(x , y∈R) , 则 |1 - 5i| , |x - yi| , |y + 2i| 的 大 小 关 系 为 ________________. 答案 |1-5i|>|x-yi|>|y+2i| 解析 ∵3-4i=x+yi, ∴x=3,y=-4. 则|1-5i|= 26,|x-yi|=|3+4i|=5, |y+2i|=|-4+2i|=2 5, ∴|1-5i|>|x-yi|>|y+2i|. 4.设 z1=3-4i,z2=-2+3i,则 z1-z2 在复平面内对应的点位于第________象限. 答案 四 解析 ∵z1-z2=5-7i, ∴z1-z2 在复平面内对应的点为(5,-7),其位于第四象限. 5.设平行四边形 ABCD 在复平面内,A 为原点,B,D 两点对应的复数分别是 3+2i 和 2-4i, 则点 C 对应的复数是__________. 答案 5-2i

?5 ? 解析 设 AC 与 BD 的交点为 E,则 E 点坐标为? ,-1?,设点 C 坐标为(x,y),则 x=5,y ?2 ?
=-2,故点 C 对应的复数为 5-2i.

1.复数模的几何意义 复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决, 而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径. (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi). → (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)的对应向量OZ是以原点 O 为起点的,否则就谈不上一一对应,因 → 为复平面上与OZ相等的向量有无数个. 2.复数的模 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a +b . (2)从几何意义上理解,表示点 Z 和原点间的距离,类比向量的模可进一步引申:|z1-z2|表 示点 Z1 和点 Z2 之间的距离.
2 2

一、填空题 → 1.复数 z=3+4i 对应的向量OZ的坐标是________. 答案 (3,4) → 解析 复数 z=3+4i 对应的向量OZ的坐标是(3,4). 2.已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是 ________. 答案 (-3,1) 解析 由题意得?
? ?m+3>0, ?m-1<0, ?

解得-3<m<1.
2

3.已知 a 为实数,若复数 z=(a -3a-4)+(a-4)i 为纯虚数,则复数 a-ai 在复平面内对 应的点位于第________象限. 答案 二 解析 若复数 z=(a -3a-4)+(a-4)i 是纯虚数,
? ?a -3a-4=0, 则? ?a-4≠0, ?
2 2

得?

? ?a=4或a=-1, ?a≠4, ?

得 a=-1,

则复数 a-ai=-1+i 对应的点的坐标为(-1,1),位于第二象限.

→ 4.在复平面内,O 是原点,向量OA对应的复数是 3+i,点 A 关于虚轴的对称点为 B,则向量 →

OB对应的复数是________.
答案 -3+i → → 解析 向量OA对应的复数是 3+i, 即 A(3,1), 点 A 关于虚轴的对称点为 B(-3,1), 则向量OB 对应的复数是-3+i. 5.若复数 z=1+ai(i 是虚数单位)的模不大于 2,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 [- 3, 3] 解析 复数 z=1+ai(i 是虚数单位)的模不大于 2, 即 1+a ≤4,即 a ≤3,可得 a∈[- 3, 3]. 6.已知复数 z=a+ 3i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数 z= ________. 答案 -1+ 3i 解析 因为 z 在复平面内对应的点位于第二象限, 所以 a<0,由|z|=2 知, a +? 3? =2,解得 a=±1,
2 2 2 2

故 a=-1,所以 z=-1+ 3i. 7.若复数 z1=1-i,z2=3-5i,则复平面上与 z1,z2 对应的点 Z1 与 Z2 的距离为________. 答案 2 5 解析 z1=1-i 对应的点为 Z1(1,-1),z2=3-5i 对应的点为 Z2(3,-5),由两点间距离 公式,得 Z1Z2= ?3-1? +?-5+1? =2 5.
2 2

8.若 a,b∈R,则复数(a -4a+5)+(-b +2b-6)i 所对应的点一定落在第________象限. 答案 四 解析 复数对应点的坐标为 (a -4a+5,-b +2b-6),∵a -4a+5=(a-2) +1>0,-b
2 2 2 2 2 2

2

2

+2b-6=-(b-1) -5<0,∴复数对应点的坐标在第四象限. 9.若复数 z=(m+1)-(m-3)i 在复平面内对应的点在第一或第三象限,则实数 m 的取值范 围是____________. 答案 (-1,3) 解析 若 z=(m+1)-(m-3)i 在复平面内对应的点在第一或第三象限,则(m+1)[-(m-

3)]>0, 即(m+1)(m-3)<0,解得-1<m<3. ∴实数 m 的取值范围是(-1,3).

→ → → 10 .在复平面内, AO 对应的复数是 2 + i , CO 对应的复数是- 1 - 3i ,则 CA 对应的复数为 ________. 答案 -3-4i → 解析 由复数的几何意义知AO=(2,1), → → ∴OA=(-2,-1),又CO=(-1,-3), → → → ∴CA=CO+OA=(-1,-3)+(-2,-1)=(-3,-4), → ∴CA对应的复数为-3-4i. 11 . 复 数 z = (a - 2) + (a + 1)i , a∈R 对 应 的 点位 于 第 二 象 限, 则 |z| 的取 值 范 围 是 ____________. 答案 ?

?3 2 ? ,3? ? 2 ?

解析 复数 z=(a-2)+(a+1)i 对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限, 所以?
? ?a-2<0, ?a+1>0, ?

解得-1<a<2.
2 2

由条件得|z|= ?a-2? +?a+1? = 2a -2a+5 = 1? 9 ? 2 2?a -a+ ?+ 4? 2 ?
2



? 1?2 9 2?a- ? + , ? 2? 2 ?3 2 ? ,3?. ? 2 ?

因为-1<a<2. 所以|z|∈?

二、解答题 12.若复数 z=(m +m-2)+(4m -8m+3)i(m∈R)的共轭复数 z 对应的点在第一象限,求实 数 m 的取值范围. 解 由题意得 z =(m +m-2)-(4m -8m+3)i, z 对应的点位于第一象限,
?m +m-2>0, ? 所以有? 2 ?-?4m -8m+3?>0, ?
2 2 2 2 2

?m +m-2>0, ? 所以? 2 ?4m -8m+3<0, ?

2

m<-2或m>1, ? ? 所以?1 3 <m< , ? ?2 2

3 ? 3? 即 1<m< ,故所求实数 m 的取值范围为?1, ?. 2 ? 2?

13.已知 ABCD 是复平面内的平行四边形,且 A,B,C 三点对应的复数分别是 1+3i,-i,2 +i,求点 D 对应的复数. 解 方法一 设 D 点对应的复数为 x+yi(x,y∈R), 则 D(x,y),又由已知 A(1,3),B(0,-1),C(2,1),

?3 ? ?x y-1?. ∴AC 的中点为? ,2?,BD 的中点为? , ? 2 ? ?2 ? ?2
∵平行四边形对角线互相平分, 3 x ? ?2=2, ∴? y-1 ? ? 2= 2 , ∴?
?x=3, ? ? ?y=5.

即点 D 对应的复数为 3+5i. 方法二 设 D 点对应的复数为 x+yi (x,y∈R). → 则AD对应的复数为(x+yi)-(1+3i) =(x-1)+(y-3)i, → ∵BC对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i, → → AD=BC, ∴(x-1)+(y-3)i=2+2i. ∴?
?x-1=2, ? ? ?y-3=2,

∴?

?x=3, ? ? ?y=5.

即点 D 对应的复数为 3+5i. 三、探究与拓展 14. 若复数 z 满足|z-i|≤ 2(i 为虚数单位), 则 z 在复平面所对应的图形的面积为________. 答案 2π 解析 设 z=x+yi(x,y∈R), 则 z-i=x+yi-i=x+(y-1)i, ∴|z-i|= x +?y-1? ,
2 2

由|z-i|≤ 2知 x +?y-1? ≤ 2,x +(y-1) ≤2.
2 2 2 2

∴复数 z 对应的点(x,y)构成以(0,1)为圆心, 2为半径的圆面(含边界), ∴所求图形的面积 S=2π .

15.在复平面内 A,B,C 三点对应的复数分别为 1,2+i,-1+2i. → → → (1)求AB,BC,AC对应的复数; (2)判断△ABC 的形状; (3)求△ABC 的面积. → 解 (1)AB对应的复数为 zB-zA=(2+i)-1=1+i; → →

BC对应的复数为 zC-zB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i; AC对应的复数为 zC-zA=(-1+2i)-1=-2+2i.
→ → → (2)由(1)知|AB|=|1+i|= 2,|BC|=|-3+i|= 10,|AC|=|-2+2i|=2 2, → 2 → 2 → 2 ∴|AB| +|AC| =|BC| . 故△ABC 为直角三角形. 1 → 1 → (3)S△ABC= |AB|·|AC|= × 2×2 2=2. 2 2


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