2018年高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第九篇 第8讲 曲线与方程

第8讲 曲线与方程 A级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.动点 P(x, y)满足 5 ?x-1?2+?y-2?2=|3x+4y-11|, 则点 P 的轨迹是 A.椭圆 C.抛物线 解析 B.双曲线 D.直线 ( ). 设定点 F(1,2),定直线 l:3x+4y-11=0,则|PF|= ?x-1?2+?y-2?2, |3x+4y-11| . 5 点 P 到直线 l 的距离 d= |PF| 由已知得 d =1, 但注意到点 F(1,2)恰在直线 l 上, 所以点 P 的轨迹是直线. 选 D. 答案 D 2. (2017· 榆林模拟)若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1, 则点 P 的轨迹为 A.圆 解析 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ( ). 依题意,点 P 到直线 x=-2 的距离等于它到点(2,0)的距离,故点 P 的 轨迹是抛物线. 答案 D 3.(2017· 临川模拟)设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为 圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹 方程为 4x2 4y2 A. 21 - 25 =1 4x2 4y2 C. 25 - 21 =1 4x2 4y2 B. 21 + 25 =1 4x2 4y2 D. 25 + 21 =1 ( ). 解析 M 为 AQ 垂直平分线上一点, 则|AM|=|MQ|, ∴|MC| +|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故 M 的轨迹为椭圆,∴ 5 21 a=2,c=1,则 b2=a2-c2= 4 , 4x2 4y2 ∴椭圆的标准方程为 25 + 21 =1. 答案 D 4.(2017· 烟台月考)已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2), Q 是线段 PM 延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( A.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 解析 B.2x-y-5=0 D.2x-y+5=0 ). 由题意知,M 为 PQ 中点,设 Q(x,y),则 P 为(-2-x,4-y),代入 2x-y+3=0,得 2x-y+5=0. 答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) ? a ? ?a ? 5. (2017· 泰州月考)在△ABC 中, A 为动点, B、 C 为定点, B?-2,0?, C? ,0?(a>0), ? ? ?2 ? 1 且满足条件 sin C-sin B=2sin A,则动点 A 的轨迹方程是________. 解析 |AB| |AC| 1 |BC| 由正弦定理,得 2R - 2R =2× 2R , 1 ∴|AB|-|AC|=2|BC|,且为双曲线右支. 答案 16x2 16y2 a2 - 3a2 =1(x>0 且 y≠0) 6. 如图,点 F(a,0)(a>0),点 P 在 y 轴上运动,M 在 x 轴 → → → → 上运动,N 为动点,且PM· PF=0,PM+PN=0,则点 N 的轨迹方程为________. 解析 由题意,知 PM⊥PF 且 P 为线段 MN 的中点, 连接 FN,延长 FP 至点 Q 使 P 恰为 QF 之中点;连接 QM,QN,则四边形 FNQM 为菱形,且点 Q 恒在直线 l:x=-a 上,故点 N 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,其方程为:y2=4ax. 答案 y2=4ax 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)已知长为 1+ 2的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动, → = 2PB → ,求点 P 的轨迹 C 的方程. P 是 AB 上一点,且AP 2 解 → = 2PB →, 设 A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),AP 2 → =(x-x ,y),PB → =(-x,y -y), 又AP 0 0 2 2 所以 x-x0=- 2 x,y= 2 (y0-y), ? 2? 得 x0=?1+ ?x,y0=(1+ 2)y. 2? ? 2 2 因为|AB|=1+ 2,即 x0 +y2 0=(1+ 2) , ?? 2? ? 所以??1+ ?x?2+[(1+ 2)y]2=(1+ 2)2, 2 ?? ? ? x2 化简得 2 +y2=1. x2 ∴点 P 的轨迹方程为 2 +y2=1. y2 8.(13 分)设椭圆方程为 x2+ 4 =1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,O 1 1? → =1(OA → +OB → ),点 N 的坐标为? ?2,2?,当直线 l 绕点 为坐标原点,点 P 满足OP 2 ? ? M 旋转时,求: (1)动点 P 的轨迹方程; → |的最大值,最小值. (2)|NP 解 (1)直线 l 过定点 M(0,1),当其斜率存在时设为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. y=kx+1, ? ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,A、B 的坐标满足方程组? 2 y2 x + 4 =1. ? ? 去 y 得(4+k2)x2+2kx-3=0. 则 Δ=4k2+12(4+k2)>0. -3 2k ∴x1+x2=- . 2,x1x2= 4+k 4+k2 消 P(x,y)是 AB 的中点, -k 1 ? x = ? x + x ? = , 1 2 ? 2 4+k2 则由? 1 1 4 y=2?y1+y2?=2?kx1+1+kx2+1?= ; ? 4+k2 ? 消去 k 得 4x2+y2-y=0. 当斜率 k 不存在时,AB 的中点是坐标原点,也满足这个方程,故 P 点的轨迹 方程为 4x2+y2-y=0. 1 1 ? 1? 1 (2)由(1)知 4x2+?y-2?2= ,∴- ≤x≤ 4 4 ? ? 4 2 ? 1?2 ? 1

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