2015-2016学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(理科)(a卷)解析版

2015-2016 学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(理科) (A 卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题各有四个选择支,仅有一 个选择支正确.请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑. 1. (5 分) (2016 春?东莞市期末)复数 z=i +i 的实部与虚部分别是( ) A.﹣1,1 B.1,﹣1 C.1,1 D.﹣1,﹣1 2. (5 分) (2016 春?东莞市期末)对具有线性相关关系的两个变量 y 与 x 进行回归分析,得 到一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2)…(xn,yn) ,则下列说法中不正确的是( ) A.若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 =0.52x+ ,则 y 与 x 具有正相关关系 B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C.在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适 2 2 D.用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小说明拟合效果越好 3. (5 分) (2016 春?东莞市期末)向量的运算常常与实数运算进行类比,下列类比推理中结 论正确的是( ) A.“若 ac=bc(c≠0) ,则 a=b”类比推出“若 ? = ? ( ≠ ) ,则 = ” B.“在实数中有(a+b)c=ac+bc”类比推出“在向量中( + )? = ? + ? ” C.“在实数中有(ab)c=a(bc)”类比推出“在向量中( ? )? = ?( ? )” D.“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”类比推出“若 ? =0,则 = 或 = ” 4. (5 分) (2014?潮安县校级模拟) 用反证法证明命题: “已知 a, b 为实数, 则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ) 2 A.方程 x +ax+b=0 没有实根 2 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 2 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 5. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(5,9) ,若 p(ξ>c+2) =p(ξ<c﹣2) ,则 c 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知具有线性相关关系的变量 y 与 x 之间的一组数据: x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 5 若由最小二乘法原理得到回归方程 = x+0.5;可估计当 x=6 时 y 的值为( )
2 2

A.7.5 B.8.5 C.9.5 D.10.5 7. (5 分) (2016 春?东莞市期末)若弹簧所受的力 x>1 与伸缩的距离按胡克定律 F=kl(k 为弹性系数)计算,且 10N 的压力能使弹簧压缩 10cm;为在弹性限度内将弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 8cm 处,则克服弹力所做的功为( )

A.0.28J B.0.12J C.0.26J D.0.32J 8. (5 分) (2016 春?东莞市期末)若(3x+ ) (n∈N )的展开式中各项系数的和为 P, 所有二项式系数的和为 S,若 P+S=272,则函数 f(x)=(3x+ ) 在(0,+∞)上的最小 值为( ) A.144 B.256 C.24 D.64 9. (5 分) (2016 春?东莞市期末)若 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相,则任何两个 学生都互不相邻的概率为( ) A. B. C. D.
n n *

10. (5 分) (2016 春?东莞市期末)经检测有一批产品合格率为 ,现从这批产品中任取 10 件,设取得合格产品的件数为 ξ,则 P(ξ=k)取得最大值时 k 的值为( A.6 B.7 C.8 D.9 11. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知函数 f(x)= 处的切线与 f(x)的图象有三个公共点,则 b 的取值范围是( ) A.[﹣8,﹣4+2 ) B. (﹣4﹣2 ,﹣4+2 ) C. (﹣4+2 ,8] 2 ,﹣8] 12. (5 分) (2016 春?东莞市期末)设函数 f(x)= f(x0)>1,则 a 的取值范围是( A. (1,2] B. (1, ] ) ] D. (1,2) )

在点(1,2)

D. (﹣4﹣

﹣ax+a,若存在唯一的整数 x0,使得

C. (1,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置 上. 13. (5 分) (2016 春?东莞市期末)用 0,2,4,8 这四个数字能组成 个没有重复数 字的四位数. 3 14. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知函数 f(x)=3x﹣x ,当 x=a 时 f(x)取得极大值 为 b,则 a﹣b 的值为 . 15. (5 分) (2016 春?东莞市期末)设 f(x)=
2 m+4

,若 f(f(1) )=8

则(x ﹣ )

展开式中常数项为



16. (5 分) (2016 春?东莞市期末)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画 点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数: 将三角形数 1,3,6,10,…记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列{bn},可以推测: (1)b5= ; (2)b2n﹣1= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2016 春?东莞市期末)复数 z=(1﹣i)a ﹣3a+2+i(a∈R) , (1)若 z= ,求|z|; (2)若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限,求 a 的范围. 18. (12 分) (2016 春?东莞市期末)某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上 通”满意度情况进行调查.随机选择小学和中学各 50 所学校进行调查,调查情况如表: ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 评分等级 ☆ 2 7 9 20 12 小学 x y 18 12 8 中学 (备注:“☆”表示评分等级的星级,如“☆☆☆”表示 3 星级. ) (1)从评分等级为 1 星级的学校中随机选取两所学校,恰有一所学校是中学的概率为 , 求整数 x,y 的值; (2)规定:评分等级在 4 星级及以上(含 4 星级)为满意,其它星级为不满意.完成下列 2×2 列联表并帮助教育局判断: 能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为使用“微课掌 上通”满意度与学校类型有关系? 学校类型 满意 不满意 总计 50 小学 50 中学 100 总计 注意:请将答案填入答题卡中的表格. 19. (12 分) (2016 春?东莞市期末)“莞马”活动中的 α 机器人一度成为新闻热点,为检测其 质量,从一生产流水线上抽取 20 件该产品,其中合格产品有 15 件,不合格的产品有 5 件. (1)现从这 20 件产品中任意抽取 2 件,记不合格的产品数为 X,求 X 的分布列及数学期 望; (2)用频率估计概率,现从流水线中任意抽取三个机器人,记 ξ 为合格机器人与不合格机 器人的件数差的绝对值,求 ξ 的分布列及数学期望. 2 20. (12 分) (2016 春?东莞市期末)已知 f(x)=lnx+ax ﹣ax+5,a∈R. (1)若函数 f(x)在 x=1 处有极值,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,求实数 a 的取值范围. 21. (12 分) (2016 春?东莞市期末)已知 f(x)=ln(x+1)﹣ (1)求证:a≤1 且 x≥0 时,f(x)≥0 恒成立; (2)设正项数列{an}满足 a1=1,an=ln(an﹣1+1) (n≥2) ,求证: ≤an≤
x 2 2

(a∈R) .

(n∈N ) .

*

22. (12 分) (2016 春?东莞市期末)设 f(x)=e ﹣ax ,g(x)=kx+1(a∈R,k∈R) ,e 为 自然对数的底数. (1)若 a=1 时,直线 y=g(x)与曲线 y=f′(x)相切(f′(x)为 f(x)的导函数) ,求 k 的 值;

(2)设 h(x)=f(x)﹣g(x) ,若 h(1)=0,且函数 h(x)在(0,1)内有零点,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年广东省东莞市高二 (下) 期末数学试卷 (理 科) (A 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题各有四个选择支,仅有一 个选择支正确.请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑. 2 1. (5 分) (2016 春?东莞市期末)复数 z=i +i 的实部与虚部分别是( ) A.﹣1,1 B.1,﹣1 C.1,1 D.﹣1,﹣1 【分析】利用复数的幂运算以及复数的基本概念求解即可. 【解答】解:复数 z=i +i=﹣1+i. 复数的实部与虚部分别是:﹣1;1. 故选:A. 【点评】本题考查复数的基本概念,考查计算能力. 2. (5 分) (2016 春?东莞市期末)对具有线性相关关系的两个变量 y 与 x 进行回归分析,得 到一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2)…(xn,yn) ,则下列说法中不正确的是( ) A.若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 =0.52x+ ,则 y 与 x 具有正相关关系 B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C.在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适 2 2 D.用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小说明拟合效果越好 【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数,残差平方和和相关系数,只 有残差平方和越小越好,其他的都是越大越好. 【解答】解:若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 =0.52x+ ,b=0.52>0,则 y 与 x 具有正相关关系,正确; 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好,正确; 可用残差图判断模型的拟合效果, 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中, 说明这样的模 型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高.故正确; 2 相关指数 R 取值越大,说明残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故不正确. 故选:D. 【点评】 本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法, 要想知道两个变量之间的有关或无关 的精确的可信程度,只有利用独立性检验的有关计算,才能做出判断.属于基础题. 3. (5 分) (2016 春?东莞市期末)向量的运算常常与实数运算进行类比,下列类比推理中结 论正确的是( ) A.“若 ac=bc(c≠0) ,则 a=b”类比推出“若 ? = ? ( ≠ ) ,则 = ” B.“在实数中有(a+b)c=ac+bc”类比推出“在向量中( + )? = ? + ? ” C.“在实数中有(ab)c=a(bc)”类比推出“在向量中( ? )? = ?( ? )”
2

D.“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”类比推出“若 ? =0,则 = 或 = ” 【分析】对四个选项,利用向量的数量积的定义与性质,分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:由条件,得出( ﹣ )? =0, ∴( ﹣ )与 垂直,则 = ,不一定成立,故 A 不正确; 向量的乘法满足分配律,故 B 正确; 在向量中( ? )? 与 共线, ?( ? )与 共线,故 C 不正确; 若 ? =0,则 ⊥ , = 或 = 不一定成立,故 D 不正确. 故选:B. 【点评】类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 4. (5 分) (2014?潮安县校级模拟) 用反证法证明命题: “已知 a, b 为实数, 则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ) 2 A.方程 x +ax+b=0 没有实根 2 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 2 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 【分析】直接利用命题的否定写出假设即可. 【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定, ∴用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 2 是:方程 x +ax+b=0 没有实根. 故选:A. 【点评】本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查. 5. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(5,9) ,若 p(ξ>c+2) =p(ξ<c﹣2) ,则 c 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【分析】随机变量 ξ 服从正态分布 N(5,9) ,得到曲线关于 x=5 对称,根据 P(ξ>c+2) =P(ξ<c﹣2) ,结合曲线的对称性得到点 c+2 与点 c﹣2 关于点 5 对称的,从而解出常数 c 的值得到结果. 【解答】解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(5,9) , ∴曲线关于 x=5 对称, ∵P(ξ>c+2)=P(ξ<c﹣2) , ∴c+2+c﹣2=10, ∴c=5, 故选:B. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础 题.
2 2

6. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知具有线性相关关系的变量 y 与 x 之间的一组数据: x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 5 若由最小二乘法原理得到回归方程 = x+0.5;可估计当 x=6 时 y 的值为( )

A.7.5 B.8.5 C.9.5 D.10.5 【分析】求出横标和纵标的平均数,写出样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程,得 到关于 b 的方程,解方程即可.求出 b,从而估计当 x=6 时 y 的值. 【解答】解:∵ =3, =5, ∴这组数据的样本中心点是(3,5) 把样本中心点代入回归直线方程 = x+0.5 ∴5=3 +0.5, ∴ =1.5, 当 x=6 时 y=9+0.5=9.5. 故选:C. 【点评】本题考查线性回归方程,解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点,这是求解 线性回归方程的步骤之一. 7. (5 分) (2016 春?东莞市期末)若弹簧所受的力 x>1 与伸缩的距离按胡克定律 F=kl(k 为弹性系数)计算,且 10N 的压力能使弹簧压缩 10cm;为在弹性限度内将弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 8cm 处,则克服弹力所做的功为( ) A.0.28J B.0.12J C.0.26J D.0.32J 【分析】先求出 F(x)的表达式,再根据定积分的物理意义即可求出. 【解答】解:∵F=10N,x=10cm=0.1m ∴k=100, ∴W=∫ 100xdx=50x |
2

=0.32J,

故选:D. 【点评】本题考查了定积分在物理中的应用,根据条件先求出 k 的值是解决本题的关键. 8. (5 分) (2016 春?东莞市期末)若(3x+ ) (n∈N )的展开式中各项系数的和为 P, 所有二项式系数的和为 S,若 P+S=272,则函数 f(x)=(3x+ ) 在(0,+∞)上的最小 值为( ) A.144 B.256 C.24 D.64 【分析】由题意求得 S 和 P 的值,根据 P+S=272 求得 n 的值,再利用基本不等式求得函数 f(x)的最小值. n n 【解答】解:由题意可得 P=4 ,S=2 , n n n ∴P+S=4 +2 =272,解得 2 =16, ∴n=4,
n n *

在(0,+∞)上, 函数 f(x)=(3x+ ) =(3x+ ) ≥
n n 4

=144,当且仅当 x=

时,等号成立,

故函数 f(x)=(3x+ ) 在(0,+∞)上的最小值为 144, 故选:A. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,注意各项系数和与各项的二 项式系数和的区别,基本不等式的应用,属于基础题. 9. (5 分) (2016 春?东莞市期末)若 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相,则任何两个 学生都互不相邻的概率为( ) A. B. C. D.

【分析】先求出基本事件总数,再求出两位男生不相邻包含的基本事件个数,由此能求出两 位男生不相邻的概率. 【解答】解:3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相, 基本事件总数 n=A6 =720, 3 3 任何两个学生都互不相邻包含的基本事件个数 m=A3 A4 =144, ∴任何两个学生都互不相邻的概率 P= = .
6

故选:C. 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公 式的合理运用.

10. (5 分) (2016 春?东莞市期末)经检测有一批产品合格率为 ,现从这批产品中任取 10 件,设取得合格产品的件数为 ξ,则 P(ξ=k)取得最大值时 k 的值为( A.6 B.7 C.8 D.9 【分析】随机变量 ξ~B(10, ) ,P(ξ=k)= )

,由式子的意义知:

概率最大也就是 ξ 最可能的取值.这和期望的意义接近,由此能求出 p(ξ=k)取最大值时 k 的值. 【解答】解:由题意,随机变量 ξ~B(10, ) , ∴P(ξ=k)= ,

由式子的意义知:概率最大也就是 ξ 最可能的取值.这和期望的意义接近. ∵Eξ=10× =7.5, ∴k=7 或 8 可能是极值, P(ξ=7)= P(ξ=8)= = = ,

∴P(ξ=k)取最大值时 k 的值是 7. 故选:B. 【点评】本题考查二项分布的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行 等价转化.

11. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知函数 f(x)=

在点(1,2)

处的切线与 f(x)的图象有三个公共点,则 b 的取值范围是( ) A.[﹣8,﹣4+2 ) B. (﹣4﹣2 ,﹣4+2 ) C. (﹣4+2 ,8] D. (﹣4﹣ 2 ,﹣8] 【分析】先利用导数研究在点(1,2)处的切线方程,然后作出函数图象,随着 b 减小时, 半圆向下移动,当点 A(﹣4,b)落在切线上时,在点(1,2)处的切线与 f(x)的图象 有三个公共点,直到半圆与直线相切前,切线 f(x)的图象都有三个公共点,只需求出零 界位置的值即可. 2 【解答】解:当 x>0 时,f(x)=x +1, 则 f′(x)=2x, ∴f′(1)=2×1=2, 则在点(1,2)处的切线方程为 y=2x, 当 x≤0 时,y=f(x)=
2 2

+b,

即(x+2) +(y﹣b) =4(y≥b) 作出函数图象如右图 随着 b 减小时,半圆向下移动,当点 A(﹣4,b)落在切线上时,在点(1,2)处的切线与 f(x)的图象有三个公共点,即 b=2×(﹣4)=﹣8, 再向下移动,直到半圆与直线相切前,切线 f(x)的图象有三个公共点,相切时与 f(x) 的图象有两个交点 即 =2,解得 b=﹣4﹣2 <﹣8

∴b 的取值范围是(﹣4﹣2 故选:D.

,﹣8].

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数图象,同时考查了数 形结合的数学思想和分析问题的能力,属于难题. 12. (5 分) (2016 春?东莞市期末)设函数 f(x)= f(x0)>1,则 a 的取值范围是( A. (1,2] B. (1, ] ) ] D. (1,2) ﹣ax+a,若存在唯一的整数 x0,使得

C. (1,

【分析】把存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)>1,转化为存在唯一的整数 x0,使得 ,即 .令 g(x)= ,h(x)=ax﹣a+1,求得分析 g

(x)的单调性,作 g(x)= 则答案可求. 【解答】解:f(x)=

,h(x)=ax﹣a+1 的图象,数形结合得到



﹣ax+a,若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)>1,

即存在唯一的整数 x0,使得

,也就是存在唯一的整数 x0,使得



令 g(x)=

,h(x)=ax﹣a+1,

∵g′(x)= ∴g(x)=

, 在(﹣∞,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,

又∵h(x)=ax﹣a+1 是恒过点(1,1)的直线, ∴作 g(x)= ,h(x)=ax﹣a+1 的图象如下,



,即 1



故选:B. 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查根的存在性及根的个数判断,体现了数 形结合的解题思想方法,是压轴题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置 上. 13. (5 分) (2016 春?东莞市期末)用 0,2,4,8 这四个数字能组成 18 个没有重复数字 的四位数. 【分析】特殊元素优先安排,0 不能在首位,先排 0,再排其它,根据分步计数原理可得. 【解答】解:因为首位不能为 0,从 2,4,8 中选一个排在首位有 3 种方法, 3 其它位置任意排,故有 3A3 =18 个, 故答案为:18. 【点评】本题考查了简单的分步计数原理,属于基础题. 14. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知函数 f(x)=3x﹣x ,当 x=a 时 f(x)取得极大值 为 b,则 a﹣b 的值为 ﹣1 . 2 【分析】求导数得到 f′(x)=3﹣3x ,根据二次函数符号的判断便可判断导函数的符号,从 而得出函数 f(x)的极大值点和极大值,从而求出 a﹣b 的值. 2 【解答】解:f′(x)=3﹣3x ; ∴x<﹣1 时,f′(x)<0,﹣1<x<1 时,f′(x)>0,x>1 时,f′(x)<0; ∴x=1 时,f(x)取得极大值 2; 即 a=1,b=2; ∴a﹣b=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】考查基本初等函数的求导公式,二次函数符号的判断,熟悉二次函数的图象,以及 函数极大值的定义及求法.
3

15. (5 分) (2016 春?东莞市期末)设 f(x)=
2 m+4

,若 f(f(1) )=8

则(x ﹣ )

展开式中常数项为 15 .

【分析】利用分段函数的意义可得 f(1) ,再利用微积分基本定理解得 m.再利用二项式定 理的通项公式即可得出. 【解答】解:∵f(1)=ln1=0, ∴f(f(1) )=f(0)=0+ ∴m =8,解得 m=2. 的展开式的通项公式:Tr+1= 令 12﹣3r=0,解得 r=4. =(﹣1)
r 3

3t dt=

2

=m ﹣0,

3

x

12﹣3r



∴(x ﹣ )

2

m+4

展开式中常数项=

=

=15.

故答案为:15. 【点评】本题考查了分段函数的性质、二项式定理及展开式的通项公式、微积分基本定理, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 16. (5 分) (2016 春?东莞市期末)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画 点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数: 将三角形数 1,3,6,10,…记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列{bn},可以推测: (1)b5= 105 ; (2)b2n﹣1= .

【分析】 (1)由题设条件及图可得出 an+1=an+(n+1) ,由此递推式可以得出数列{an}的通项 为,an= n(n+1) ,由此可列举出三角形数 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66, 78,91,105,120,… ,从而可归纳出可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个,即每五个数分为一组,则该组 的后两个数可被 5 整除,由此规律即可求出 b5; (2)由(1)中的结论即可得出 b2n﹣1═ (5n﹣1) (5n﹣1+1) . 【解答】解: (1)由题设条件可以归纳出 an+1=an+(n+1) , 故 an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1=n+(n﹣1)+…+2+1= n(n+1) 由此知,三角数依次为 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,… 由此知可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个, 即每五个数分为一组, 则该组的后两个 数可被 5 整除, ∴b5=105; (2)由于 2n﹣1 是奇数,由(I)知,第 2n﹣1 个被 5 整除的数出现在第 n 组倒数第二个, 故它是数列{an}中的第 n×5﹣1=5n﹣1 项, 所以 b2n﹣1═ (5n﹣1) (5n﹣1+1)= 故答案为:105; . .

【点评】本题考查数列的递推关系,数列的表示及归纳推理,解题的关键是由题设得出相邻 两个三角形数的递推关系,由此列举出三角形数,得出结论“被 5 整除的三角形数每五个数 中出现两个,即每五个数分为一组,则该组的后两个数可被 5 整除”,本题综合性强,有一 定的探究性,是高考的重点题型,解答时要注意总结其中的规律. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (10 分) (2016 春?东莞市期末)复数 z=(1﹣i)a ﹣3a+2+i(a∈R) , (1)若 z= ,求|z|; (2)若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限,求 a 的范围. 【分析】 (1)根据 z= ,确定方程即可求|z|; (2)利用复数的几何意义,即可得到结论. 2 2 2 【解答】解 z=(1﹣i)a ﹣3a+2+i=a ﹣3a+2+(1﹣a )i, 2 (1)由 知,1﹣a =0,故 a=±1. 当 a=1 时,z=0; 当 a=﹣1 时,z=6. (2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于 0, 即 ,

2





所以﹣1<a<1. 【点评】本题主要考查复数的几何意义,以及复数的有关概念,比较基础. 18. (12 分) (2016 春?东莞市期末)某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上 通”满意度情况进行调查.随机选择小学和中学各 50 所学校进行调查,调查情况如表: ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 评分等级 ☆ 2 7 9 20 12 小学 x y 18 12 8 中学 (备注:“☆”表示评分等级的星级,如“☆☆☆”表示 3 星级. ) (1)从评分等级为 1 星级的学校中随机选取两所学校,恰有一所学校是中学的概率为 , 求整数 x,y 的值; (2)规定:评分等级在 4 星级及以上(含 4 星级)为满意,其它星级为不满意.完成下列 2×2 列联表并帮助教育局判断: 能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为使用“微课掌 上通”满意度与学校类型有关系? 学校类型 满意 不满意 总计 50 小学 50 中学 100 总计 注意:请将答案填入答题卡中的表格. 【分析】 (1)由古典概型公式,分别求得评分等级为 1 星级的学校中随机选取两所学校总事 件个数 m 及恰有一所学校是中学的事件个数 n,P= = ,代入即可求得 x 和 y 的值; (2)根据所给数据,可得 2×2 列联表,求出 K ,与临界值比较,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为使用满意与学校类型有关系. 【解答】解: (1)因为从 1 星级的 2+x 的学校中随机选取 2 所学校, 共有 = 种结果,…(1 分) ;
2

其中恰有 1 所学校是中学的共有 故 = .

种结果,…(2 分) ;

解得:x=3,…(3 分) ; 所以 y=50﹣3﹣18﹣12﹣8=9…(4 分) ; (2)完成列 2×2 列联表: 学校类型 满意 不满意 总计 32 18 50 小学 20 30 50 中学 52 48 100 总计 …(7 分) ; 经计算 K 的观测值:K =
2 2

≈5.769>3.841 …(11 分) ;

所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为使用满意与学校类型有关系.…(12 分) ; 【点评】本题考查古典概型概率公式,列联表,独立性检验的方法等知识,考查了学生处理 数据和运算求解的能力,属于中档题. 19. (12 分) (2016 春?东莞市期末)“莞马”活动中的 α 机器人一度成为新闻热点,为检测其 质量,从一生产流水线上抽取 20 件该产品,其中合格产品有 15 件,不合格的产品有 5 件. (1)现从这 20 件产品中任意抽取 2 件,记不合格的产品数为 X,求 X 的分布列及数学期 望; (2)用频率估计概率,现从流水线中任意抽取三个机器人,记 ξ 为合格机器人与不合格机 器人的件数差的绝对值,求 ξ 的分布列及数学期望. 【分析】 (1)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,求出相应的概率,可求 X 的分布列及数 学期望; (2)合格机器人的件数可能是 0,1,2,3,相应的不合格机器人的件数为 3,2,1,0.所 以 ξ 的可能取值为 1,3,求出相应的概率,可求 ξ 的分布列及数学期望. 【解答】解: (1)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2 …(1 分) ; P(X=0)= = ,

P(X=1)=

=



P(X=2)=

=



所以随机变量 X 的分布列为: X 0 1 P

2

…(5 分) ; ∴E(X)=0× +1× +2× = .…(6 分) ;

(2)合格机器人的件数可能是 0,1,2,3,相应的不合格机器人的件数为 3,2,1,0. 所以 ξ 的可能取值为 1, 3 … (8 分) ; 由题意知: P(ξ=3)= 所以随机变量 ξ 的分布列为: ξ 1 3 P …(11 分) ; ∴ …(12 分) ; + = …(9 分) ; …(10 分) ;

【点评】本题考查随机变量的分布列及数学期望,考查学生的计算能力,确定变量的取值与 相应的概率是关键. 20. (12 分) (2016 春?东莞市期末)已知 f(x)=lnx+ax ﹣ax+5,a∈R. (1)若函数 f(x)在 x=1 处有极值,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)求导数得到 ,根据 f(x)在 x=1 处有极值便可得到 f′(1)
2 2

=0,从而可求出 a 的值,并可验证该值成立; (2)根据 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增便可得出 f′(x)≥0 恒成立,进而得出 2ax ﹣ax+1≥0 在(0,+∞)上恒成立,这样讨论 a 的值:a<0,a=0,和 a>0 这三种情况,对 每种情况验证是否满足条件,从而求出实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , ∵f(x)在 x=1 处有极值,∴f′(1)=1+2a﹣a=0; 解得:a=﹣1; 此时 ; ;

当 0<x<1 时 f′(x)>0,当 x>1 时 f′(x)<0,符合题意; ∴实数 a 的值为﹣1; (2)∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; ∴ 即 2ax ﹣ax+1≥0 在(0,+∞)恒成立; 当 a<0 时,显然不符合题意; 当 a=0 时,1≥0 恒成立,符合题意;
2

在(0,+∞)恒成立;

当 a>0 时,要使 需 ,解得 0<a≤8;

恒成立;

综上可知实数 a 的取值范围是[0,8]. 【点评】 考查基本初等函数导数的求法, 函数极值的定义, 函数在极值点处导数的取值情况, 函数的单调性和函数导数符号的关系,要熟悉二次函数的图象.

21. (12 分) (2016 春?东莞市期末)已知 f(x)=ln(x+1)﹣ (1)求证:a≤1 且 x≥0 时,f(x)≥0 恒成立;

(a∈R) .

(2)设正项数列{an}满足 a1=1,an=ln(an﹣1+1) (n≥2) ,求证: ≤an≤ 【分析】 (1)求出函数的导数,得到函数的单调性,从而证出结论; (2)a=1 时, 在[0,+∞)内恒成立,

(n∈N ) .

*

在[0,3)内恒成立,

由 a1=1 及 an=ln(an﹣1+1) (n≥2)知 0<an≤1,根据数学归纳法证明即可. 【解答】证明: (1) 当 a≤1,x≥0 时,f'(x)≥0 恒成立 此时函数 f(x)在(0,+∞)内单调递增 所以 f(x)≥f(0)=0,得证 (2)由(1)可知 a=1 时, 同理可证: …(1 分) ; …(2 分) ; …(3 分) ; …(4 分) ; 在[0,+∞)内恒成立 在[0,3)内恒成立 …(6 分) ; …(7 分) ;

由 a1=1 及 an=ln(an﹣1+1) (n≥2)知 0<an≤1…(8 分) 下面用数学归纳法证明: 当 n=1 时, 设当 n=k 时结论成立,即 ,结论成立 …(9 分) ;

那么当 n=k+1 时,

…(10 分)

…(11 分)

即当 n=k+1 时有
*

,结论成立,

由此可知对任意 n∈N 结论都成立,原不等式得证.…(12 分)

【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及不等式的证明,数学归纳法的 应用,是一道综合题. 22. (12 分) (2016 春?东莞市期末)设 f(x)=e ﹣ax ,g(x)=kx+1(a∈R,k∈R) ,e 为 自然对数的底数. (1)若 a=1 时,直线 y=g(x)与曲线 y=f′(x)相切(f′(x)为 f(x)的导函数) ,求 k 的 值; (2)设 h(x)=f(x)﹣g(x) ,若 h(1)=0,且函数 h(x)在(0,1)内有零点,求 a 的取值范围. 【分析】 (1)求出函数的导数,求得切线的斜率和切点,由切线的方程,解得 k 的值; (2)利用等价转换,若函数 h(x)在区间(0,1)内有零点,则函数 h(x)在区间(0,1) 内至少有三个单调区间,所以 h′(x)在(0,1)上应有两个不同的零点. 【解答】解: (1)a=1 时,f(x)=e ﹣x ,f'(x)=e ﹣2x…(1 分) 设曲线 y=f'(x)与直线 y=g(x)的切点为(x0,kx0+1) ∵切点在曲线 y=f'(x)上,∴ 又 f''(x)=e ﹣2,由导数的几何意义知: 由此解得 x0
x x x 2 x x 2

…(2 分) …(3 分) …(4 分)
x


x

+1=0

设 t(x)=xe ﹣e +1,则 t′(x)=xe , x 当 x>0 时,t′(x)=xe >0,t(x)递增; x 当 x<0 时,t′(x)=xe <0,t(x)递减; ∴t(x)≥t(0)=0, ∴x0=0 ∴k=﹣1.…(6 分) x 2 (2)h(x)=e ﹣ax ﹣kx﹣1 由 h(1)=0 得:k=e﹣a﹣1 又 h(0)=0,且函数 h(x)在区间(0,1)内有零点, ∴函数 h(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间, 即 h′(x)=0 在区间(0,1)内至少有两个实根,…(7 分) x x h′(x)=e ﹣2ax﹣k,h''(x)=e ﹣2a ∵x∈(0,1) , x ∴e ∈(1,e) 当
x

…(5 分)

时,h''(x)=e ﹣2a>0,函数 h'(x)在区间(0,1)单调递增,

方程 h'(x)=0 在区间(0,1)内至多一个实根,不符合题意. 当 时,h''(x)=e ﹣2a<0,函数 h'(x)在区间(0,1)单调递减,
x

方程 h'(x)=0 在区间(0,1)内至多一个实根,不符合题意.…(8 分) 当 <a< 时,令 h''(x)<0 得:0<x<ln(2a) ,令 h''(x)>0 得:x>ln(2a) , 即函数 h'(x)在区间(0,ln(2a) )内单调递减,在区间(ln(2a) ,+∞)内单调递增 ∴h'(x)min=h'(ln(2a) )=2a﹣2aln(2a)﹣k=3a﹣2aln(2a)﹣e+1…(9 分)

记 H(x)= x﹣xlnx﹣e+1 其中 1<x<e,则



令 H'(x)>0 得:1<x< ,令 H'(x)<0 得: <x<e, ∴函数 H(x)在(1, )内单调递增,在( ,e)内单调递减 ∴H(x)max=H( )= ﹣ ln ﹣e+1= +1﹣e

…(10 分)

故 H(x)<0,也即 h'(x)min<0 ∵函数 h(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间, ∴ 即 解得:e﹣2<a<1 符合 <a<

综上可知,实数 a 的取值范围是(e﹣2,1)…(12 分) 【点评】本题考查了,利用导数求函数的单调区间,分类讨论思想,等价转换思想,函数的 零点等知识点.是一道导数的综合题,难度较大.


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