2019新版高中数学人教A版选修1-1习题:第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.2 含解析

最新中小学教案、试题、试卷 2.1.2 椭圆的简单几何性质(二) 课时过关· 能力提升 基础巩固 1.椭圆 25 + 4 = 1 的两个焦点为1, 2, 过点2 的直线交椭圆于, 两点. 若|| = 8, 则|1| + |1|的值为( ) 2 2 A.10 C.16 B.12 D.18 解析: ∵|AB|+|AF1|+|BF1|=4a, ∴|AF1|+|BF1|=4× 5-8=12. 答案:B 2.已知直线 l:x+y-3=0,椭圆 A.相交 C.相离 B.相切 D.相切或相交 2 4 2 4 + 2 = 1, 则直线与椭圆的位置关系是( ) 解析: 将 y=3-x 代入 + 2 = 1, 得5x2-24x+32=0. Δ=(-24)2-4× 5× 32=576-640=-64<0,方程无解.故直线 l 与椭圆相离. 答案:C 3.直线 y=x+1 被椭圆 4 + 2 = 1 所截得的弦的中点坐标是( A. 2 5 , 3 3 2 1 2 2 ) B. 4 7 , 3 3 13 17 C. - 3 , 3 D. - 2 , 2 解析: 设 A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,中点 M(x0,y0), = + 1, 由 2 2 得3x2+4x-2=0. + = 1 , 4 2 x0= 1 +2 2 = 2 × - 3 = ? 3, 1 1 4 2 y0=x0+1= 3, 最新中小学教案、试题、试卷 1 最新中小学教案、试题、试卷 故中点坐标为 - 3 , 3 . 答案:C 4.直线 y=kx-k+1 与椭圆 9 + 4 = 1 的位置关系是( A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定 2 2 2 1 ) 解析: y=kx-k+1=k(x-1)+1, 所以直线过点(1,1). 又因为点(1,1)在椭圆内,所以直线与椭圆相交. 答案:A 5.若点(x,y)在椭圆 4x2+y2=4 上,则 A.1 C.? 2 3 的最小值为( -2 ) B.-1 3D. 以上都不对 答案:C 6.已知中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为 4 的椭圆与直线 x+ 3 + 4 = 0 有且仅有一个交点, 则椭圆的长轴长为( A.3 2或 4 2B. 2 6或 2 7 C.2 5或 2 7D. 5或 7 解析: 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m≠n,且 m,n>0),与直线方程 x+ 3 + 4 = 0 联立, 消去 x,得(3m+n)y2+8 3 + 16 ? 1 = 0, 由 Δ=0,得 3m+n=16mn, 即 又 c=2,即 1 1 ? ) 3 1 + = 16. ① = ±4, ② = 1, 或 1 1 = 5 , = = 7 , 3 1 由①②联立得 故椭圆的长轴长为 2 7或 2 5. 答案:C 7.若直线 y=x+2 与椭圆 + 3 = 1 有两个公共点, 则的取值范围是 2 2 . 最新中小学教案、试题、试卷 2 最新中小学教案、试题、试卷 2 2 + = 1, 解析:由 3 = + 2, 得(m+3)x2+4mx+m=0. ∵直线与椭圆有两个公共点, ∴Δ=(4m)2-4m(m+3)=16m2-4m2-12m =12m2-12m>0,解得 m>1 或 m<0. 又 m>0,且 m≠3,∴m>1,且 m≠3. 答案:(1,3)∪(3,+∞) 8.若直线 3x-y-2=0 截焦点为 (0,± 5 2)的椭圆所得弦中点的横坐标是 2 , 则该椭圆的标准方程是 解析: 设椭圆的标准方程为 2 + 2 2 2 2 2 1 . = 1( > > 0), 2 2 由 + 2 2 = 1, 3--2 = 0, ∴a2=3b2. 联立得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0,x1+x2= 12 2 +9 = 1, ① ② 又由焦点为(0,± 5 2)知,a2-b2=50. 由①②,得 a2=75,b2=25. 故所求椭圆方程为 25 + 75 = 1. 答案:25 + 75 = 1 9.椭圆 ax2+by2=1(a>0,b>0,且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点,C 是 AB 的中点,若 |AB|=2 2, 直线的斜率为 2 , 求椭圆的方程. 解: 由直线方程和椭圆方程联立,得 2 + 2 = 1, 则(a+b)x2-2bx+b-1=0. + = 1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= (1 + 2 )[(1 + 2 )2 -41 2 ] 2 2 2 2 2 = 2· ∵|AB|=2 2, 42 -4( + )(-1) ( + )2 . 最新中小学教案、试题、试卷 3 最新中小学教案、试题、试卷 ∴ 设 C(x,y),则 x= 1 +2 2 + - = 1. ① + = + , = 1 ? = +. 2 2 ∵直线 OC 的斜率为 2 , ∴ = 2 . 代入①得 a= 3 , = 3 . ∴椭圆方程为 3 + 3 = 1. 10. 2 22 1 2 如图,椭圆 E: 2 2 + 2 2 = 1( > > 0)经过点(0, ?1), 且离心率为 2 . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的 斜率之和为 2. (1) 解: 由题设知 = 2 , = 1, 结合 a2=b2+c2,解得 a= 2. 所以椭圆的方程为 2 + 2 = 1. (2) 证明 由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k≠2),代入 2 + 2 = 1, 得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 由已知 Δ>0

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