高中数学第三章三角恒等变形21 同角三角函数的基本关系练习 北师大版

21 同角三角函数的基本关系

时间:45 分钟 满分:80 分

班级________ 姓名________ 分数________

一、选择题:(每小题 5 分,共 5×6=30 分)

1.已知 cosα =-153,且 α 为第三象限角,求 tanα (

)

A.1123

B.-1132

C.152

D.-152

答案:C

5 解析:因为 cosα =-13,所以 sinα =±

1-cos2α

12 =±13,

又因为 α 为第三象限角,所以 sinα <0, 所以 sinα =-1123.

所以 tanα

=scionsαα

12 =5.

2.化简

1-sin235π 的结果是(

)

A.cos3π5 B.-cos35π

C.±cos35π D.cos25π

答案:B 解析:∵π2 <35π <π ,∴cos3π5 <0.



1-sin23π5 =

cos23π5 =|cos35π |=-cos35π .

3.已知 sinθ +cosθ =1,则 sinθ -cosθ 的值为( ) A.1 B.-1 C.±1 D.0 答案:C 解析:将 sinθ +cosθ =1 两边平方得 sinθ cosθ =0.

即???sinθ =0 ??cosθ =1

或???cosθ =0 ??sinθ =1

,故 sinθ -cosθ =±1.

4.已知 α 、β 均为锐角,2tanα +3sinβ =7,tanα -6sinβ =1,则 sinα 的值是( )

35 37 A. 5 B. 7

3 10 1 C. 10 D.3

答案:C 解析:由题目所给的两个方程消去 β ,转化为 tanα 的方程,求 tanα 后,再求 sinα .

??2tanα +3sinβ =7,
?
??tanα -6sinβ =1, 解得 tanα =3.∴scionsαα =3,

又 sin2α +cos2α =1,且 α 为锐角,∴sinα =3 1010.故选 C.

5.如果 sinα |sinα |+cosα |cosα |=-1,那么角 α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

答案:C

解析:∵-sin2α +(-cos2α )=-1,

∴只有|sinα |=-sinα ,|cosα |=-cosα 时,

sinα |sinα |+cosα |cosα |=-1 才能成立.

sinα 、cosα 同时小于零,所以 α 是第三象限角.

6.已知1+cossiαnα =-12,则sicnoαsα-1的值是(

)

A.12

B.-12

C.2 D.-2

答案:A 解析:∵sicnoαsα-1÷1+cossiαnα =sicno2sα2α-1=-1,

∴sicnoαsα-1=-1+cossiαnα

1 =2.

二、填空题:(每小题 5 分,共 5×3=15 分) 7.化简 sin2α +sin2β -sin2α sin2β +cos2α cos2β 的结果为________.
答案:1 解 析 : 原 式 = sin2α + sin2β (1 - sin2α ) + cos2α cos2β = sin2α + sin2β cos2α + cos2α cos2β =sin2α +cos2α (sin2β +cos2β )=1.

8.若 cosα +2sinα =- 5,则 tanα =________.

答案:2

解析:将已知等式两边平方,得 cos2α +4sin2α +4sinα cosα =5(cos2α +sin2α ),

化简得 sin2α -4sinα cosα +4cos2α =0,即(sinα -2cosα )2=0,则 sinα =2cosα ,

故 tanα =2.

9.若

tanα

+ta1nα

=3,则

sinα

cosα

=________,tan2α

1 +tan2α

=________.

答案:13 7 解析:∵tanα +ta1nα =3,∴scionsαα +csoisnαα =3,即sisni2nαα+ccoossα2α =3,∴sinα cosα

=12.tan2α

1 +tan2α

=???tanα

1 +tanα

???2-2tanα

1 tanα

=9-2=7.

三、解答题:(共 35 分,11+12+12)

10.化简下列各式:

(1)

1-cosθ 1+cosθ



1+cosθ 1-cosθ

,θ

∈???π2

,π

???;

(2)1-sicnoxsx· ttaannxx+-ssiinnxx.

解析:(1)原式=

-cosθ sin2θ

2


+cosθ 2 sin2θ

=1|-sicnoθsθ| +1|+sicnoθsθ|

=|si2nθ | =si2nθ .

(2)原式=1-sicnoxsx·

=1-sicnoxsx·

sinx sinx

=1-sicnoxsx·1|-sicnoxs|x

=|ssiinnxx|

scionsxx-sinx scionsxx+sinx
-cosx +cosx

?? =?
??-

kπ <x<π2 +2kπ 或π2 +2kπ <x<π +2kπ π +2kπ <x<3π2 +2kπ 或3π2 +2kπ <x<2π +2kπ

(k∈Z).

11.已知 tanα =3,求下列各式的值:

(1)34ssiinnαα

-cosα +5cosα



(2)sin2α

-2sinα cosα -cos2α 4cos2α -3sin2α

.

解析:(1)∵tanα =3,∴cosα ≠0.

原式的分子、分母同除以 cosα ,得

原式=43ttaannαα -+15=43× ×33- +15=1114.

(2)原式的分子、分母同除以 cos2α ,得

原式=tan24α--32ttaann2αα

-1 9-2×3-1 2 = 4-3×32 =-23.

12.已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两个根分别为 sinθ 和 cosθ ,θ ∈

???0,π2 ???.

(1)求1-sitnaθ1nθ +1-cotsaθnθ 的值;

(2)求实数 m 的值;

(3)求 sinθ ,cosθ 及 θ 的值.

??sinθ +cosθ =

3+1 2

解析:(1)由题意,得
???sinθ cosθ =m2



所以

sinθ 1

1-tanθ

+1-cotsaθnθ



sin2θ sinθ -cosθ



cos2θ cosθ -sinθ

=ssiinn2θθ

-cos2θ -cosθ

=sinθ



cosθ = 32+1.

(2)由(1),知 sinθ +cosθ = 32+1,

2+ 3 将上式两边平方,得 1+2sinθ cosθ = 2 ,

3 所以 sinθ cosθ = 4 ,

m3

3

由(1),知2= 4 ,所以= 2 .

(3)由(2)可知原方程为 2x2-(

3+1)x+

3 2 =0,

解得 x1= 23,x2=12.

??sinθ



3 2

??sinθ =12

所以? ??cosθ

=12

或? ??cosθ



3 2

.

又 θ ∈???0,π2 ???,所以 θ =π3 或π6 .


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