专题2-1 数列的概念与简单表示法-试题君之K三关2017-2018学年高二数学 含解析 精品

第二章 数 列 2.1 数列的概念与简单表示法 1.数列的相关概念 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫 做__________),排在第二位的数称为这个数列的第 2 项??排在第 n 位的数称为这个 数列的第 n 项.所以,数列的一般形式可以写成 a1 , a2 , a3 ,L , an ,L , 简记为 {an } . 2.数列的分类 (1)根据数列项数的多少分 有穷数列 无穷数列 项数_______的数列,例如数列 1,2,3,4,5,6 是有穷数列 项数_______的数列,例如数列 1,2,3,4,5,6,L 是无穷数列 (2)根据数列项的大小分 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列 从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列 各项_______的数列 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 3.数列的通项公式 如果数列 {an } 的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就 叫做这个数列的__________.我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项. 4.数列表示方法的优缺点 优点:便于求出数列中任意指定的 通项公式法 一项,利于对数列性质进行研究 优点:内容具体、方法简单,给定 列表法 项的序号,易得相应项 优点:能直观形象地表示出随着序 _______法 号的变化,相应项变化的趋势 示比较困难 比较多的有穷数列时比较困难 缺点:数列项数较多时用图象表 比较困难 缺点:表示一个无穷数列或项数 缺点:一些数列的通项公式表示 优点:可以揭示数列的一些性质, 递推公式法 如前后几项之间的关系 5.递推公式的定义 缺点:不容易了解数列的全貌, 计算也不方便 如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项),且从第 2 项(或某一项)开始的任一项 an 与它 的前一项 an ?1 (或前 n 项)间的关系可以用一个公式表示, 那么这个公式就叫做这个数列 的__________. 注意:递推公式也是数列的一种表示方法. K 知识参考答案: 1.首项 2.有限 无限 相等 3.通项公式 4.图象 5.递推公式 K—重点 K—难点 K—易错 数列的表示方法、通项公式及其应用,根据递推公式写出数列的前几项 根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 对递推公式变形时注意 n 取值的变化 根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法: (1)观察数列的前几项是否具有以下几个特征:各项的符号特征、各项能否分拆、分式的 分子与分母的特征、相邻项的变化规律等; (2)寻找各项与对应的项的序号之间的规律. 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式: (1)1,3,5,7,9,?; (2) 2 4 6 8 10 , , , , ,?; 3 15 35 63 99 (3)0,2,0,2,0,2,?; (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,?; (5)3,5, 9,17,33,?. 【答案】见解析. 【解析】(1)数列的各项是连续的正奇数,它的一个通项公式为 an=2n ? 1; (2)分子是连续的正偶数,分母为分子的平方减去 1,它的一个通项公式为 an= 2n ; 4n 2 ? 1 ( 3)将数列变形为 1 ? (?1)1 ,1 ? (?1)2 ,1 ? (?1)3 ,1 ? (?1)4 ,1 ? (?1)5 ,1 ? (?1)6 ,?,易知它 的一个通项公式为 an= 1 ? (?1)n ; 【名师点睛】寻找各项与对应的项的序号之间的规律的方法: (1)熟记一些特殊数列的通项公式,如 an =n, an ? 2n ?1, an ? 2 , an ? n 等; n 2 (2)将数列的各项分解成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如分式形式的数 列,可将分子、分母分别求通项; (3)当数列各项的符号出现“+”“ ? ”相间时,可用 (?1) n 或 (?1)n?1 来实现. 数列中项的判断与求解 (1)如果已知数列的通项公式,只要将相应序号代入通项公式,就可以写出数列中的指定 项; (2)判断某数是否为数列的项,只需将此数代入数列的通项公式中,求出 n 的值.若求出 的 n 为正整数,则该数是数列的项,否则该数不是数列的项. 已知数列 {an } 的通项公式 an ? (?1) (2n ?1) ,则 n (1) a1 ? a2 ? _____________; (2) a1 ? a2 ? a3 ?L ? a10 ? _____________. 【答案】(1)2;(2)10. 【解析】(1)因为 a1 ? ?1, a2 ? 3, 所以 a1 ? a2 ? 2 . (2)观察可知 a1 ? a2 ? 2, a3 ? a4 ? 2,L , a9 ? a10 ? 2, 故 a1 ? a2 ? a3 ?L ? a10 ? 10. 已知数列 {an } 的通项公式是 an =2n ? n ,那么 2 A.30 是数列 ?an ? 的一项? C.66 是数列 ?an ? 的一项? 【答案】C B.44 是数列 ?an ? 的一项 D.90 是数列 ?an ? 的一项 【解析】注意到 30,44,66,90 均比较小,可以写出这个数列的前几项,则问题就可以解 ,a2 =6,a3 ? 15, a4 ? 28, a5 ? 45, a6 ? 66, a7 ? 91.故选 C. 决了.易得 a1 =1 【名师点睛】 若出现的数比较大, 可以用解方程的方法加以解决 (看求出的解是否为正整数) . 根据数列的递推公式求 an 由递推公式求通项公式的常用方法: (1)归纳法.根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通

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