湖北省黄石市艺术学校人教版高中必修四数学课件2.3平面向量的基本定理及坐标表示(3)_图文

第三节 平面向量的基本定理及坐标表示(3) 在平面直角坐标系中,分 别取与x 轴、y 轴方向相同的两 单位向量i 、j 作为基底,对于 平面内的任一向量a,由平面向 量基本定理可得,有且只有一 对实数x、y,使得a=xi+yj。 这样,平面内的任一向量a都可 以由x、y唯一确定,我们把有 序数对(x,y)叫做向量a的坐 标,记作a=(x,y)。 y yj a xi j i O x 上式叫做向量的坐标表示。其中的x叫做向量a在x轴上的坐标, y叫做向量a在y轴上的坐标。 ? ? 已知a =(x1,y1), b =(x2,y2),你能得出 ? ? ? ? ? a + b, a - b,l a 的坐标吗? ? ? ? ? ? ? a + b =(x1i + y1 j)( + x2i + y2 j) ? ? = ( x1 + x2 )i + ( y1 + y2 ) j = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? a ? (?x1, ?y1 ) 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个 向量相应坐标的和(差); 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标. 已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求向量AB的坐标。 ??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA A y ? ( x2 , y2 ) ? ( x1, y1 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) B o x 任意一个向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标. A y B o x P(x2-x1,y2-y1) 在上图中,如何确定坐标为 (x2-x1,y2-y1)的点P的位置? 快速计算 ? ? ? ? (1)a = (2,1), b = (- 3, 4),则a + b = (-1,5) ? ? ? ? (2)a = (4,3), b = (- 3,8),则a - b = (7,-5) ? ? ? ? (3)a = (2,3), b = (- 2, - 3),则3a + 4b = (-2,-3) ??? ? ??? ? (4)A(3,5),B(6,9) ,则 AB = (3,4) BA = (-3,-4) ??? ? (5)B(0,0) , AB = (-2,1) ,则 A (2,-1) ??? ? (6)A(-1,5), AB = (1,3) ,则B (0,8) 如图, 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的 坐标分别为(-2,1)、( -1,3)、(3,4), 求顶点D的坐标. 解法1:设顶点D的坐标为(x,y) ?  AB ? ( ?1 ? ( ? 2), 3 ? 1) ? (1, 2) DC ? ( 3 ? x ,4 ? y ) 由 AB ? DC,得 (1,2) ? (3 ? x,4 ? y ) 1? 3? x ?  ?    ? ?2 ? 4 ? y ?x ? 2 ?? ?y ? 2 ?  顶点D的坐标为( 2, 2) 如图, 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的 坐标分别为(-2,1)、( -1,3)、(3,4), 求顶点D的坐标. 同一平面上有这三 个点,求点D的坐标, 使这四个点构成平行 四边形。 (2,2) (-6,0) (4,6) 设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),若向 量 a ,b 共线(其中 b ≠ 0 ),则这两个向 量的坐标应满足什么关系? ? ? ? ? 若a // b(b ? 0),当且仅当 ? ? 存在唯一的实数?,使a ? ? b. ? ?? ? a // b(b 观0) x1 y2 - x2 y1 = 0 ? ? ? ? 已知a // b, 且a = (4, 2), b = (6, y), 求y的值; 解: ? a // b ?4y ? 2? 6 ? 0 ?y ?3 ? ? ? ? ? ? 1. 已知向量a = (2,1), b = ( x, - 1), m = a + 2b, ? ? ? ? ? ? u = 2a - b, 且m // u , 求x的值. x= - 2 ? ? ? ? 2. 已知向量a = (3, 4), b = (cos a ,sin a ), 且a // b, 求 tan a的值. 4 tan a = 3 r 3、与a ? (12,5)平行的单位向量是( C ) 12 5 12 5 (A)( , ) (B)( ? , ? ) 13 13 13 13 12 5 12 5 12 5 (C)( , )或( ? , ? ) (D)( ? , ? ) 13 13 13 13 13 13 4. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向 量ka-b与a+3b平行? 并确定它们是同向还是 反向. 解:ka-b=(k-2, -1), ∵a//b, 1 ?k ? ? 3 a+3b=(7, 3), 这两个向量是反向。 已知A(- 1, - 1),B (1,, 3) C (2,,试 5) 判断A, B, C三点之间的位置关系. ??? ? 解: AB ? (1,3) ? ( ? 1, ? 1) ? (2,4) y ●C ● ??? ? AC ? (2,5) ? (?1, ?1) ? (3,6) ??? ? ??? ? ? AB // AC B x ∴2×6-3 ×4=0, ? 直线AB、直线AC有公共点A, ? A、B、C三点共线. A● 0 已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) , 向量 AB 与 CD 平行吗?直线AB平行于直线CD吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) CD =(2-1,7-5)=(1,2)

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