高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

高一数学下学期期末考试考点归纳

数列:求通项,求和,求参数范围,增减性,比较大小,构造新形式数列; 直线与圆:倾斜角,直线与圆的交点问题,圆系方程,位置关系,设而不求,定值定点; 立体几何:表面积与体积计算,线面关系判定,平行与垂直的证明; 不等式:解不等式方程,分类讨论,基本不等式应用,不等式证明;

考点 1:数列

1.1 基本量——破解等差、等比数列的法宝

1.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和, n∈N*,则 S10 的值为________. 答案 110 解析 ∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又∵a7 是 a3 与 a9 的等比中项,∴(a1-12)2=(a1-4)·(a1-16),解得 a1=20.∴S10=10×20+12×10×9
×(-2)=110. 2.(2014·课标全国Ⅱ改编)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=________. 答案 n(n+1) 解析 由 a2,a4,a8 成等比数列,得 a42=a2a8,

n?n-1? 即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),∴a1=2.∴Sn=2n+ 2 ×2=2n+n2-n=n(n+1). 3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2S4=S5+S6,则数列{an}的公比 q 的值为________. 答案 -2 解析 由 2S4=S5+S6,得 2(1-q4)=1-q5+1-q6,化简得 q2+q-2=0,解得 q

=1(舍去),q=-2.

4.(2014·大纲全国改编)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和为________. 答案 4 解析 数列{lg an}的前 8 项和 S8=lg a1+lg a2+…+lg a8=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a1·a8)4

=lg(a4·a5)4=lg(2×5)4=4. 5.(2014·大纲全国改编)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3,S4=15,则 S6=________. 答案 63 解析 在等比数列{an}中,S2、S4-S2、S6-S4 也成等比数列,故(S4-S2)2=S2(S6

-S4),则(15-3)2=3(S6-15),解得 S6=63.

6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且ABnn=7nn++345,则使得abnn为整

数的正整数 n 的个数是________.

答案

5 解析

由等差数列的前 n 项和及等差中项,可得abnn=1212??ab11+ +ab22nn--11??

1 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

12?2n-1??a1+a2n-1? A2n-1 7?2n-1?+45 14n+38 7n+19

12

=12?2n-1??b1+b2n-1?=B2n-1=

?2n-1?+3



2n+2



n+1

=7+ n+1

(n∈N*),

故 n=1,2,3,5,11 时,abnn为整数.即正整数 n 的个数是 5. 7.(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn=23an+13,则{an}的通项公式是 an=________. 答案 (-2)n-1

解析 当 n=1 时,a1=1;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=23an-23an-1,故aan-n 1=-2,故 an=(-2)n-1.

8.(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是 ________. 答案 4

解析 因为 a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由 a8=a6+2a4 得 a2q6=a2q4+2a2q2,消去

a2q2,得到关于 q2 的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得 q2=2,a6=a2q4=1×22=4.

9.(2014·安徽)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=________. 答案 1

解析 设等差数列的公差为 d,则 a3=a1+2d,a5=a1+4d,∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d

a3+3 a1-2+3

+5),解得 d=-1,∴q= =

=1.

a1+1 a1+1

10.在数列{an}中,如果对任意 n∈N*都有aan+n+2-1-aan+n 1=k(k 为常数),则称数列{an}为等差比 数列,k 称为公差比.现给出下列问题:

①等差比数列的公差比一定不为零;

②等差数列一定是等差比数列;

③若 an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列; ④若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比.

其中正确命题的序号为________.

答案 ①③④

解析 若 k=0,{an}为常数列,分母无意义,①正确;公差为零的等差数列不是等差比数列,

an+2-an+1

②错误;

=3,满足定义,③正确;设

an+1-an

an=a1qn-1(q≠0),则ana+n+2-1-ana+n 1=aa11qqnn+-1-a1qan1-qn1

=q,④正确. 11.(2014·课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{a2nn}的前 n 项和.
解 (1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,由题意得 a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为 d,则

2 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

a4-a2=2d,故 d=12,从而 a1=32.所以{an}的通项公式为 an=12n+1. (2)设{a2nn}的前 n 项和为 Sn.由(1)知a2nn=n2+n+21,则

Sn=232+243+…+n+2n 1+n2+n+21 ,12Sn=233+244+…+n2+n+11 +n2+n+22 .

两式相减得12Sn=34+(213+…+2n1+1)-n2+n+22 =34+14(1-2n1-1)-n2+n+22 .所以

n+4 Sn=2-2n+1 .

12.(2014·北京)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20, 且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.



a4-a1 12-3 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d= 3 = 3 =3,

所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得

q3=b4-a4=20-12=8,解得 b1-a1 4-3

q=2.所以

bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.

从而 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前 n 项和为32n(n+1),数列{2n-1}的前 n

1-2n 项和为 1-2 =2n-1.所以,数列{bn}的前

n

项和为32n(n+1)+2n-1.

1.2 常考的递推公式问题的破解方略

1.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则aa35的值是________.

答案

3 4

解析 由已知得 a2=1+(-1)2=2,∴a3·a2=a2+(-1)3,∴a3=12,∴12a4=12+(-1)4,∴a4=3,

∴3a5=3+(-1)5,∴a5=23,∴aa35=12×32=34. 2.学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A,B 两种菜可供选择.调查资料表明,

凡是在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20%改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星期一会有

30%改选 A 种菜.用 an,bn 分别表示在第 n 个星期的星期一选 A 种菜和选 B 种菜的人数, 如果 a1=300,则 a10=________.

答案

300 解析

依题意,得???an+1=45an+130bn, ??an+bn=500,

1 消去 bn,得 an+1=2an+150.由 a1=300,

得 a2=300;由 a2=300,得 a3=300;……从而得 a10=300.

3 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

3.已知 f(x)=log21-x x+1,an=f(1n)+f(2n)+…+f(n-n 1),n 为正整数,则 a2 015=________.

答案

2 014 解析

x

x

1-x

因为 f(x)=log21-x+1,所以 f(x)+f(1-x)=log21-x+1+log2 x +1

=2.所以 f(1n)+f(n-n 1)=2,f(2n)+f(n-n 2)=2,…,f(n-n 1)+f(1n)=2,

由倒序相加,得 2an=2(n-1),an=n-1,所以 a2 015=2 015-1=2 014. 4.在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为________. 答案 an=5n-3×2n-1
解析 在递推公式 an+1=2an+3×5n 的两边同时除以 5n+1,得a5nn++11=25×a5nn+35,①

令a5nn=bn,则①式变为

23 bn+1=5bn+5,即

2 bn+1-1=5(bn-1),所以数列{bn-1}是等比数列,

其首项为 b1-1=a51-1=-35,公比为25.所以 bn-1=(-35)×(25)n-1,即 bn=1-35×(25)n-1=a5nn,

故 an=5n-3×2n-1. 5.数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 2SnSn-1=an(n≥2,n∈N*),且 a1=1,则数列{an}的通项公 式为________.

??1?n=1?, 答案 an=????2n-3?2?2n-5??n≥2,n∈N*?

解析



n≥2

时,an=Sn-Sn-1,则

11

11

2SnSn-1=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2,又S1=a1=1,

1

1

故{Sn}是首项为 1,公差为-2 的等差数列,则Sn=1+(n-1)(-2)=-2n+3,所以 Sn=

1 .当 -2n+3

n≥2

1

1

2

时,an=Sn-Sn-1=-2n+3--2?n-1?+3=?2n-3??2n-5?,

?1?n=1?,

? 验证 a1=1 不满足,故所求通项公式 an=

2

?n≥2,n∈N*?.

??2n-3??2n-5?

6.设函数 f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,f(0)=12,数列{an}满足 f(1)=n2an(n∈N*),则数

列{an}的通项 an=________.

答案

1 n?n+1?

解析



f(0)=12,得

1 a1=2,由

f(1)=n2an(n∈N*),得

Sn=a1+a2+…+an=n2an.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,整理得aan-n 1=nn- +11,所以 an=a1×aa21×aa32×…

×aan-n 1=12×13×24×35×…×nn- +11=n?n1+1?,显然 a1=12也符合.即{an}的通项为 an=n?n1+1?.

4 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

7.若 f(n)为 n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如 62+1=37,f(6)=3+7=10,f1(n)=f(n),f2(n) =f(f1(n)),…,fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,则 f2 014(4)=________.
答案 8 解析 因为 42+1=17,f(4)=1+7=8,

则 f1(4)=f(4)=8,f2(4)=f(f1(4))=f(8)=11,f3(4)=f(f2(4))=f(11)=5,

f4(4)=f(f3(4))=f(5)=8,…,所以 fk+1(n)=f(fk(n))为周期数列.可得 f2 014(4)=8. 8.数列{an},{bn}满足 an=ln n,bn=1n,则数列{an·bn}中第________项最大.

答案

3 解析

1

1-ln x

设函数 f(x)=xln x,则 f′(x)= x2 ,令 f′(x)=0,得 x=e.

分析知函数 f(x)在(0,e]上是增函数,在[e,+∞)上是减函数,又 f(2)=12ln 2=ln 6 8<f(3)=13

ln 3=ln 6 9,所以 an·bn=1nln n(n∈N*)在 n=3 时取得最大值,即数列{an·bn}中第 3 项最大. 9.对于正项数列{an},定义 Hn=a1+2a2+3na3+…+nan为{an}的“光阴”值,现知某数列 的“光阴”值为 Hn=n+2 2,则数列{an}的通项公式为________. 答案 an=2n2+n 1

解析



n Hn=a1+2a2+3a3+…+nan可得

a1+2a2+3a3+…+nan=Hnn=n?n2+2?,①

?n-1??n+1?

n?n+2? ?n-1??n+1?

a1 + 2a2 + 3a3 + … + (n - 1)an - 1 =

2

②①-②得 nan= 2 -

2



2n+1

2n+1

2 ,所以 an= 2n .

10.(2014·课标全国Ⅱ)数列{an}满足 an+1=1-1an,a8=2,则 a1=________.

答案

1 2

解析

∵an+1=1-1 an,∴an+1=1-1 an=1-

1 1



1-an-1

1-an-1



=1-

1

1-an-1-1 -an-1

an-1

1-an-1

1 =1- 1 =1-(1-an-2)=an-2,∴周期 T=(n+1)-(n-2)=3.∴a8=a3×2+2=a2=2.
1-an-2

1

1

而 a2=1-a1,∴a1=2.

11.(2014·大纲全国)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式.

(1)证明 由 an+2=2an+1-an+2,

得 an+2-an+1=an+1-an+2,

5 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

即 bn+1=bn+2.又 b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.

n

n

(2)解 由(1)得 bn=1+2(n-1)=2n-1,即 an+1-an=2n-1.于是 ? (ak+1-ak)= ? (2k-1),

k=1

k=1

所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1.又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n+2. 12.(2014·湖南)已知数列{an}满足 a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (1)若{an}是递增数列,且 a1,2a2,3a3 成等差数列,求 p 的值; (2)若 p=12,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 解 (1)因为{an}是递增数列,所以 an+1-an=|an+1-an|=pn.而 a1=1,因此 a2=p+1,a3= p2+p+1.又 a1,2a2,3a3 成等差数列,所以 4a2=a1+3a3,因而 3p2-p=0,解得 p=13,p=0. 当 p=0 时,an+1=an,这与{an}是递增数列矛盾.故 p=13. (2)由于{a2n-1}是递增数列,因而 a2n+1-a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①但212n <221n-1,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.②由①②知,a2n-a2n-1>0,因此 a2n-a2n-1=(12)2n-1

?-1?2n = 22n-1 .③因为{a2n}是递减数列,同理可得

a2n+1-a2n<0,故

a2n+1-a2n=-(12)2n=?-212?n2n+1.

?-1?n+1 ④由③④可知,an+1-an= 2n .于是 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+12-212+…+?- 2n-11?n=1+12·1-?1-+1212?n-1=43+13·?- 2n-11?n.故数列{an}的通项公式为 an=43+

1 ?-1?n 3·2n-1 .

1.3 数列求和问题大全
1.若数列{an}的通项公式为 an=n?n2+2?,则其前 n 项和 Sn 为________. 答案 32-n+1 1-n+1 2 解析 因为 an=n?n2+2?=1n-n+1 2,所以 Sn=a1+a2+…+an=1-13+12-14+13-15+…+ n-1 1-n+1 1+1n-n+1 2=1+12-n+1 1-n+1 2=32-n+1 1-n+1 2. 2.已知数列 112,314,518,7116,…,则其前 n 项和 Sn 为________. 答案 n2+1-21n

6 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

解析

因为 an=2n-1+21n,则 Sn=1+22n-1n+??1-1-21n21??·12=n2+1-21n.

3.(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, 则 m=________.

答案 5

m?m-1?

m-1

解析 am=2,am+1=3,故 d=1,因为 Sm=0,故 ma1+ 2 d=0,故 a1=- 2 ,

因为 am+am+1=5,故 am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即 m=5. 4.在数列{an}中,若存在一个确定的正整数 T,对任意 n∈N*满足 an+T=an,则称{an}是周 期数列,T 叫作它的周期.已知数列{xn}满足 x1=1,x2=a(a≤1),xn+2=|xn+1-xn|,当数列 {xn}的周期为 3 时,则{xn}的前 2 013 项和 S2 013=________. 答案 1 342
解析 由 xn+2=|xn+1-xn|,得 x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4=|x3-x2|=|1-2a|,

因为数列{xn}的周期为 3,所以 x4=x1,即|1-2a|=1,解得 a=0 或 a=1.当 a=0 时,数列

{xn}为 1,0,1,1,0,1,…,所以 S2 013=2×671=1 342.当 a=1 时,数列{xn}为 1,1,0,1,1,0,…,

所以 S2 013=2×671=1 342.综上,S2 013=1 342. 5.已知数列 2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项 都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2 014 项之和 S2 014=________. 答案 2 010
解析 由已知得 an=an-1+an+1(n≥2),∴an+1=an-an-1.故数列的前 8 项依次为 2 008,2 009,1,

-2 008,-2 009,-1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列,周期为 6,且 S6=0.∵2 014=

6×335+4,∴S2 014=S4=2 008+2 009+1+(-2 008)=2 010. 6.数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为________. 答案 1 830 解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1,∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,

a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58

=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+

15×?10+234?

a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234=

2

=1 830.

7.在等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列???bnb1n+1???的前 n

项和 Sn=________.

答案

n n+1

解析 设等比数列{an}的公比为 q,则aa41=q3=27,解得 q=3.所以 an=a1qn-1=3×3n-1=3n,

故 bn=log3an=n,所以bnb1n+1=n?n1+1?=1n-n+1 1.则数列?????bnb1n+1?????的前 n 项和为 1-12+12-13

7 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

+…+1n-n+1 1=1-n+1 1=n+n 1.

8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=1.{an}的“差数列” 的通项公式为 an+1-an=2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 答案 2n+1-n-2

解析 因为 an+1-an=2n,应用累加法可得 an=2n-1,所以 Sn=a1+a2+a3+…+an=2+

2?1-2n?

22+23+…+2n-n=

-n=2n+1-n-2.

1-2

9.定义:若数列{An}满足 An+1=A2n,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中, a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=2x2+2x 的图象上,其中 n 为正整数. (1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列; (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn,即 Tn=(2a1+1)·(2a2+1)·…·(2an+1),求 数列{an}的通项公式及 Tn 关于 n 的表达式.
(1)证明 由题意得 an+1=2a2n+2an,得 2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2.

所以数列{2an+1}是“平方递推数列”.令 cn=2an+1,所以 lg cn+1=2lg cn.因为 lg(2a1+1)

lg?2an+1+1? =lg 5≠0,所以 lg?2an+1? =2.所以数列{lg(2an+1)}为等比数列. (2)解 因为 lg(2a1+1)=lg 5,所以 lg(2an+1)=2n-1·lg 5,所以 2an+1=52n-1,即 an=12(52n
lg 5·?1-2n? -1-1).因为 lg Tn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)= 1-2 =(2n-1)lg 5.

所以 Tn=52n-1. 10.(2014·湖南)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2 n,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和.
解 (1)当 n=1 时,a1=S1=1;

n2+n ?n-1?2+?n-1?

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 2 -

2

=n.故数列{an}的通项公式为 an=n.

(2)由(1)知 an=n,故 bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则

T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).记 A=21+22+…+22n,B=-1+2-3

2?1-22n?

+4-…+2n,则 A=

=22n+1-2.B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n,

1-2

故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n+1+n-2. 11.(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. (1)证明{an+12}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)证明a11+a12+…+a1n<32.

8 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

证明 (1)由 an+1=3an+1 得 an+1+12=3(an+12).又 a1+12=32,所以{an+12}是首项为32,公

比为

3

的等比数列.an+12=32n,因此{an}的通项公式为

3n-1 an= 2 .

(2)由(1)知a1n=3n-2 1.因为当 n≥1 时,3n-1≥2×3n-1,所以3n-1 1≤2×13n-1.

于是a11+a12+…+a1n≤1+13+…+3n1-1=32(1-31n)<32.所以a11+a12+…+a1n<32.

12.(2014·山东)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n-1an4ann+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)因为 S1=a1,S2=2a1+2×2 1×2=2a1+2,S4=4a1+4×2 3×2=4a1+12,

由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得 a1=1,所以 an=2n-1. (2)bn=(-1)n-1an4ann+1=(-1)n-1?2n-14?n?2n+1?=(-1)n-1(2n1-1+2n1+1).

当 n 为偶数时, Tn=(1+13)-(13+15)+…+(2n1-3+2n1-1)-(2n1-1+2n1+1)=1-2n1+1=2n2+n 1.

当 n 为奇数时,

Tn=(1+13)-(13+15)+…-(2n1-3+2n1-1)+(2n1-1+2n1+1)=1+2n1+1=22nn+ +21.

? 2n+2 ,n为奇数,
?2n+1
所以 Tn=
? 2n ,n为偶数. 2n+1

(或 Tn=2n+12+n+?-1 1?n-1)

考点 2 直线与圆

2.1 直线和圆的位置关系
1.直线(1+3m)x+(3-2m)y+8m-12=0(m∈R)与圆 x2+y2-2x-6y+1=0 的交点个数为 ________. 答案 2 解析 将含参直线方程分离变量可得 m(3x-2y+8)+x+3y-12=0,不论 m 取何值,直线

??3x-2y+8=0,

恒过两直线?

的交点 A(0,4),又易知定点 A 在圆内,故直线必与圆恒相交.

??x+3y-12=0

2.(2014·浙江改编)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则 实数 a 的值为________.

9 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

答案 -4 解析 由圆的方程 x2+y2+2x-2y+a=0 可得,圆心为(-1,1),半径 r= 2-a.圆心到直线

|-1+1+2|

x+y+2=0 的距离为 d=

= 2

2.由 r2=d2+(42)2,得 2-a=2+4,所以 a=-4.

3.(2014·北京改编)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆 C

上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为________.

答案 6

解析 根据题意,画出示意图,如图所示,

则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r=1,且|AB|=2m.因为∠APB=90°,连结 OP, 易知|OP|=12|AB|=m.要求 m 的最大值,即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离.

因为|OC|= 32+42=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即 m 的最大值为 6. 4.(2014·福建改编)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△ OAB 的面积为12”的________条件. 答案 充分不必要
解析 将直线 l 的方程化为一般式得 kx-y+1=0,所以圆 O:x2+y2=1 的圆心到该直线的

1

距离 d=

.又弦长为 2

k2+1

1

2|k|

11

2|k|

|k|

1-k2+1=

,所以 k2+1

S△OAB=2·

· k2+1

k2+1=k2+1

=12,解得 k=±1.因此可知“k=1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件.

5.直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度为________.

答案 2 3

|0+ 3×0-2|

解析 ∵圆心到直线 x+ 3y-2=0 的距离 d=

=1,半径 r=2,

12+? 3?2

∴弦长|AB|=2 r2-d2=2 22-12=2 3. 6.“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a)2+(x-b)2=2 相切”的________条件. 答案 充分不必要

|a-b+2|

解析 根据已知得直线与圆相切的充要条件为:

= 2?|a-b+2|=2?a=b 或 a-b

2

=-4,故“a=b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
7.已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0 与圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆 C1 与圆 C2 相外切,则实数 m=________. 答案 -5 或 2
解析 对于圆 C1 与圆 C2 的方程,配方得圆 C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆 C2:(x+1)2+(y-

10 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

m)2=4,则 C1(m,-2),r1=3,C2(-1,m),r2=2.如果圆 C1 与圆 C2 相外切,那么有 C1C2
=r1+r2,即 ?m+1?2+?m+2?2=5,则 m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2,
所以当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 相外切. 8.已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点 A(1,0),且被 x 轴分成的两段弧长比为 1∶2,则圆 C 的 方程为______________.
答案 x2+??y± 33??2=43
解析 ∵圆 C 关于 y 轴对称,∴圆 C 的圆心在 y 轴上,可设 C(0,b),设圆 C 的半径为 r,则

??12+?-b?2=r2, 圆 C 的方程为 x2+(y-b)2=r2.依题意,得???|b|=12r,

?r2=34,

解得? ?b=±

3 3.

∴圆 C 的方程为 x2+??y± 33??2=43.
9.(2014·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得 的弦长为________.

答案

2 55 5

解析

圆心为(2,-1),半径

r=2.圆心到直线的距离

d=|2+2×?-1?-3|=3 1+4

5

5,

所以弦长为 2 r2-d2=2

22-?3 5 5?2=2

55 5.

10.(2014·山东)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的

长为 2 3,则圆 C 的标准方程为________________. 答案 (x-2)2+(y-1)2=4

解析 设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0),由题意得 a=2b>0,且 a2=( 3)2+b2,解得 a=2,b=

1.所以,所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
11.已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.

解 (1)圆心 C(1,2),半径为 r=2,当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=3.由圆心 C(1,2)

到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方

|k-2+1-3k|

3

程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0.由题意知

k2+1 =2,解得 k=4.所以直线方

程为 y-1=34(x-3),即 3x-4y-5=0.综上所述,过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y

-5=0.

11 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

|a-2+4|

4

(2)由题意有 a2+1 =2,解得 a=0 或 a=3.

(3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为

|a+2| ,∴(
a2+1

|a+2| )2+(2 a2+1

2

3)2=4,解得

a=-34.

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率 为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量O→A+O→B与P→Q共线?如果存在求 k 的值;如果不存在,请说明 理由.

解 方法一 (1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为 Q(6,0).过 P(0,2)且斜率为 k

的直线方程为 y=kx+2,代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0,整理得(1+k2)x2+4(k

-3)x+36=0.①直线与圆交于两个不同的点 A,B 等价于 Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-

8k2-6k)>0,解得-34<k<0,即

k

3 的取值范围为(-4,0).

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则O→A+O→B=(x1+x2,y1+y2),由方程①得,x1+x2=-41?k+-k32 ?.



→→→

②又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③而 P(0,2),Q(6,0),PQ=(6,-2).所以OA+OB与PQ共线等价

于-2(x1+x2)=6(y1+y2),将②③代入上式,解得 k=-34.由(1)知 k∈(-34,0),故不存在符合

题意的常数 k.

|6k+2|

方法二 (1)∵Q(6,0),直线 AB 的方程:y=kx+2,∴Q 到 AB 的距离 d=

<2(圆半径 r

1+k2

=2),∴k∈(-34,0). (2)∵O→A+O→B=2O→C(C 为 AB 中点),∴O→C∥P→Q.而P→Q=(6,-2),过 Q 与 AB 垂直的直线为 y

=-1k(x-6),∴?????yy==k-x+1k?x2-,6?,

6-2k 6k+2

→ 6-2k 6k+2

解得 C(k2+1,k2+1),即OC=(k2+1,k2+1).

∴66k-+22k=-13,k=-34?(-34,0),故不存在符合题意的常数 k.

2.2 与直线和圆有关的最值问题
1.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到 原点的距离的最小值为________. 答案 3 2 解析 依题意知,AB 的中点 M 的集合是与直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 距离都相
等的直线,则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点 M 所在直线的方程为

12 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

|m+7| |m+5|

l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得



?|m+7|=|m+5|?m=-6,

2

2

|-6| 即 l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得 M 到原点的距离的最小值为 =3 2.
2

2.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点,则

MN 的最小值是________.

答案

4 5

|-3-4-2| 解析 圆心(-1,-1)到点 M 的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离 d= 5 = 95,故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1=45. 3.已知 P 是直线 l:3x-4y+11=0 上的动点,PA,PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条 切线,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是________. 答案 3

解析 如图所示,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为 C(1,1),半径为 r=1. 根据对称性可知四边形 PACB 面积等于 2S△APC=2×12PA·r=PA,故 PA 最小时,四边形 PACB 的面积最小,由于 PA= PC2-1,故 PC 最小时,PA 最小,此时,直线 CP 垂直于直线 l:

|3-4+11| 10 3x-4y+11=0,故 PC 的最小值为圆心 C 到直线 l:3x-4y+11=0 的距离 d= 32+42 = 5

=2,所以 PA= PC2-1= 22-1= 3.故四边形 PACB 面积的最小值为 3.

4.(2013·江西改编)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两点,O 为坐标原 点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率为________.

答案 解析



3 3

∵S△AOB=12OA·OB·sin∠AOB

=12sin∠AOB≤12.

π

2

当∠AOB=2时,S△AOB 面积最大.此时 O 到 AB 的距离 d= 2 .设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0),

13 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

| 2k| 2

3

即 kx-y- 2k=0.由 d=

= k2+1

2

,得

k=-

3

.

5.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差 最大,则该直线的方程为________. 答案 x+y-2=0

解析 由题意知,当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件.圆心 O 与 P 点连

线的斜率 k=1,所以直线 OP 垂直于 x+y-2=0.

6.已知 Ω=??????x,y???????yy≤≥0,4-x2

?? ?,直线 y=mx+2m 和曲线 y=

4-x2有两个不同的交

??

点,它们围成的平面区域为 M,向区域 Ω 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M),

若 P(M)∈??π2-π2,1??,则实数 m 的取值范围是________.

答案 [0,1]

解析 画出图形,不难发现直线恒过定点(-2,0),圆是上半圆,

直线过(-2,0),(0,2)时,向区域 Ω 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M),

π-2 此时 P(M)= 2π ,当直线与 x 轴重合时,P(M)=1,故直线的斜率范围是[0,1].

7.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少

存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________.

答案

4 3

解析 可转化为圆 C 的圆心到直线 y=kx-2 的距离不大于 2.圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2

|4k-2|

=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2,即

≤2.

k2+1

整理,得 3k2-4k≤0,解得 0≤k≤43.故 k 的最大值是43. 8.直线 l 过点(0,-4),从直线 l 上的一点 P 作圆 C:x2+y2-2y=0 的切线 PA,PB(A,B 为切点),若四边形 PACB 面积的最小值为 2,则直线 l 的斜率 k 为________. 答案 ±2

解析 易知圆的半径为 1,因为四边形 PACB 的最小面积是 2,此时切线段长为 2,圆心(0,1)

5

到直线 y=kx-4 的距离为 5,即

= 5,解得 k=±2.

1+k2

9.若直线 ax+by=1 过点 A(b,a),则以坐标原点 O 为圆心,OA 长为半径的圆的面积的最 小值是________.

14 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

答案 π 解析 ∵直线 ax+by=1 过点 A(b,a),∴ab+ab=1.∴ab=12.又 OA= a2+b2,∴以 O 为圆心,
OA 为半径的圆的面积为 S=π·OA2=(a2+b2)π≥2ab·π=π,∴面积的最小值为 π. 10.与直线 x-y-4=0 和圆 A:x2+y2+2x-2y=0 都相切的半径最小的圆 C 的方程是 _______________. 答案 (x-1)2+(y+1)2=2
解析 易知所求圆 C 的圆心在直线 y=-x 上,故设其坐标为 C(c,-c),又其直径为圆 A

的圆心 A(-1,1)到直线 x-y-4=0 的距离减去圆 A 的半径,即 2r= 6 - 2=2 2?r= 2, 2

|2c-4|

即圆心 C 到直线 x-y-4=0 的距离等于 2,故有

= 2?c=3 或 c=1,

2

结合图形当 c=3 时圆 C 在直线 x-y-4=0 下方,不符合题意,故所求圆的方程为(x-1)2

+(y+1)2=2.
11.已知点 P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点. (1)求点 P 到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值; (2)求yx- -21的最大值和最小值.



|3×?-2?+4×0+12| 6

(1)圆心 C(-2,0)到直线 3x+4y+12=0 的距离为 d=

32+42

=5.

所以点 P 到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值为 d+r=65+1=151, 最小值为 d-r=65-1=15.

y-2

|-3k+2|

3- 3

(2)设 k= ,则直线 kx-y-k+2=0 与圆(x+2)2+y2=1 有公共点,∴ x-1

≤1,∴ k2+1

4

3+ 3

3+ 3

3- 3 y-2

3+ 3

3- 3

≤k≤

4

,∴kmax=

4

,kmin=

4

.即 的最大值为 x-1

4

,最小值为

4

.

12.(2014·苏州模拟)已知圆 M 的方程为 x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴交于 E,F 两点,圆 O 内的动点 D 使得 DE,DO,DF 成等比数列,求D→E·D→F 的取值范围.

解 (1)圆 M 的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,故圆心 M(1,1),半径 R=2 2.

圆 O 的圆心为 O(0,0),因为 MO= 2<2 2,所以点 O 在圆 M 内,故圆 O 只能内切于圆 M.

设圆 O 的半径为 r,因为圆 O 内切于圆 M,所以 MO=R-r,即 2=2 2-r, 解得 r= 2.所以圆 O 的方程为 x2+y2=2.

(2)不妨设 E(m,0),F(n,0),且 m<n.故 E(- 2,0),F( 2,0).设 D(x,y),由 DE,DO,DF

成等比数列,得 DE×DF=DO2,即 ?x+ 2?2+y2× ?x- 2?2+y2=x2+y2,

15 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

整理得 x2-y2=1.而D→E=(- 2-x,-y),D→F=( 2-x,-y),所以D→E·D→F=(- 2-x)( 2

-x)+(-y)(-y)=x2+y2-2=2y2-1.由于点

D

在圆

O

??x2+y2<2, 内,故有?

??x2-y2=1,

得 y2<12,

所以-1≤2y2-1<0,即D→E·D→F∈[-1,0).

考点 3 不等式

3.1 如何用好基本不等式

1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则 a, ab, v 的大小关系为________. 答案 a<v< ab 解析 设甲、乙两地之间的距离为 s.∵a<b,∴v=as+2sbs=?a2+sabb?s=a2+abb<22aabb= ab.又 v-a



2ab

ab-a2 a2-a2

-a=

>

=0,∴v>a.

a+b

a+b a+b

2.若函数 f(x)=x+x-1 2 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=________. 答案 3

解析 ∵x>2,∴f(x)=x+ 1 =x-2+ 1 +2≥2 ?x-2?× 1 +2=4,

x-2

x-2

x-2

1

当且仅当

x-2= ,即 x-2

x=3

时等号成立,即

a=3,f(x)min=4.

3.(2014·南通模拟)设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则1a+1b的最小值为________.

答案 4

解析 因为 3a·3b=3,所以 a+b=1.1a+1b=(a+b)??1a+1b??=2+ba+ab≥2+2 ba·ab=4,当且

仅当ba=ab,即 a=b=12时等号成立.

4.已知 m=a+a-1 2(a>2),n=x-2(x≥12),则 m 与 n 之间的大小关系为________.

答案 m≥n

解析

m=a+ 1 =(a-2)+ 1 +2≥4(a>2),当且仅当

a-2

a-2

a=3

时,等号成立.由

x≥12得

x2

≥14,∴n=x-2=x12≤4 即 n∈(0,4],∴m≥n. 5.已知正数 x,y 满足 x+2 2xy≤λ(x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为________. 答案 2

解析 ∵x>0,y>0,∴x+2y≥2 2xy(当且仅当 x=2y 时取等号).又由 x+2 2xy≤λ(x+y)可得

16 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

x+2 2xy x+2 2xy x+?x+2y?

?x+2 2xy?

λ≥

,而



x+y

x+y

x+y

=2,∴当且仅当 x=2y 时,? ?

x+y

?max=2. ?

∴λ 的最小值为 2.
6.已知 a>0,b>0,若不等式3am+b-3a-1b≤0 恒成立,则 m 的最大值为________. 答案 16 解析 因为 a>0,b>0,所以由3am+b-3a-1b≤0 恒成立得 m≤(3a+1b)(3a+b)=10+3ab+3ba恒

成立.因为3ab+3ba≥2 3ab·3ba=6,当且仅当 a=b 时等号成立,所以 10+3ab+3ba≥16, 所以 m≤16,即 m 的最大值为 16. 7.若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 答案 18 解析 ∵x>0,y>0,2x+y+6=xy,∴2 2 xy+6≤xy,即 xy-2 2 xy-6≥0,

解得 xy≥18.∴xy 的最小值是 18. 8.已知 a>0,b>0,函数 f(x)=x2+(ab-a-4b)x+ab 是偶函数,则 f(x)的图象与 y 轴交点纵 坐标的最小值为________. 答案 16
解析 根据函数 f(x)是偶函数可得 ab-a-4b=0,函数 f(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 ab.

由 ab-a-4b=0,得 ab=a+4b≥4 ab,解得 ab≥16(当且仅当 a=8,b=2 时等号成立),

即 f(x)的图象与 y 轴交点纵坐标的最小值为 16.

9.若对任意 x>0,x2+3xx+1≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________.
答案 ??15,+∞??
解析 ∵a≥x2+3xx+1=x+11x+3对任意 x>0 恒成立,设 u=x+1x+3,∴只需 a≥1u恒成立即可.

∵x>0,∴u≥5(当且仅当 x=1 时取等号).由 u≥5 知 0<1u≤15,∴a≥15.

10.(1)已知 0<x<25,求 y=2x-5x2 的最大值; (2)求函数 y=x2+x7+x+1 10(x>-1)的最小值.



(1)y



2x



5x2



x(2



5x)



1 5

·5x·(2



5x)





0<x<

2 5





5x<2,2



5x>0





5x(2



5x)



(5x+22-5x)2=1,∴y≤15,当且仅当

5x=2-5x,即

1

1

x=5时,ymax=5.

(2)设 x+1=t,则 x=t-1(t>0), ∴y=?t-1?2+7t?t-1?+10=t+4t +5≥2

t·4t +5=9.当且仅当 t=4t ,即 t=2,且此时 x=1

时,取等号,∴ymin=9.

17 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版
11.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx-210(1+k2)x2 (k>0)表示的曲 线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超

过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 解 (1)令 y=0,得 kx-210(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知 x>0,又 k>0, 故 x=12+0kk2=k+201k≤220=10,当且仅当 k=1 时取等号.所以炮的最大射程为 10 千米. (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka-210(1+k2)a2 成立?关于 k 的方 程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?0<a≤6.所以当 a

不超过 6 千米时,可击中目标.
12.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用 100 万元购得 一块土地,该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度 有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元.已知建筑第 5 层楼房时,每 平方米建筑费用为 800 元. (1)若建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和),写 出 y=f(x)的表达式; (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层?此时平均综合费用为 每平方米多少元?
解 (1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为 720 元,建筑第 1 层楼房建筑费用为

720×1 000=720 000(元)=72(万元),楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高

x?x-1? 20×1 000=20 000(元)=2(万元),建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 y=f(x)=72x+ 2

×2+100=x2+71x+100,综上可知 y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z).

(2) 设 该 楼 房 每 平 方 米 的 平 均 综 合 费 用 为

g(x) , 则

g(x)



f?x?×10 000 1 000x



10f?x? x



10?x2+71x+100?

1

x

=10x+

0x00+710≥2

1 10x·

0x00+710=910.当且仅当

10x=1

0x00,

即 x=10 时等号成立.

综上,可知应把楼层建成 10 层,此时平均综合费用最低,为每平方米 910 元.

3.2 处理好“线性规划问题”的规划

18 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

1.实数

x,y

满足???y≥|x-1|, ??y≤1,

则不等式组所围成图形的面积为________.

答案 1

解析 实数 x,y 满足

??y≥|x-1|,

?

它表示的可行域如图所示.

??y≤1,

不等式组所围成的图形是三角形,其三个顶点的坐标分别为(1,0),(0,1),(2,1),
所以所围成图形的面积为12×2×1=1.
??x+y≥2, 2.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1,
??y≤2
上的一个动点,则O→A·O→M的取值范围是________. 答案 [0,2] 解析 作出可行域,如图所示,由题意O→A·O→M=-x+y.

设 z=-x+y,作 l0:x-y=0,易知,过点(1,1)时 z 有最小值,zmin=-1+1=0;过点(0,2) →→
时 z 有最大值,zmax=0+2=2,∴OA·OM的取值范围是[0,2].

??y≤x, 3.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1,
??y≥-1,

且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,

则 m-n=________. 答案 6

解析 画出可行域,如图阴影部分所示.

??y=x, ??x=-1,

由 z=2x+y,得 y=-2x+z.由?

得?

??y=-1 ??y=-1,

??x+y=1, ??x=2,

∴A(-1,-1).由?

得?

??y=-1

??y=-1,

∴B(2,-1).当直线 y=-2x+z 经过点 A 时,zmin=2×(-1)-1=-3=n.当直线 y=-2x+ z 经过点 B 时,zmax=2×2-1=3=m,故 m-n=6.

??y≥x, 4.设 m>1,在约束条件?y≤mx,
??x+y≤1

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值

范围为________.

答案 (1,1+ 2)

解析 变形目标函数为 y=-m1 x+mz ,由于 m>1,所以-1<-m1 <0,不等式

19 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

组表示的平面区域如图中阴影部分所示.根据目标函数的几何意义,只有直线 y=-m1 x+mz

??y=mx, 在 y 轴上的截距最大时,目标函数取得最大值.显然在点 A 处取得最大值,由?
??x+y=1,
得交点 A???1+1 m,1+mm???,所以目标函数的最大值是1+1 m+1+m2m<2,即 m2-2m-1<0,解得

1- 2<m<1+ 2,故 m 的取值范围是(1,1+ 2).

??y≤x, 5.若 P 是满足不等式组?x+y-2≤0,
??y>0

表示的平面区域内的任意一点,点 P 到直线 3x+

4y-12=0 的距离为 d,则 d 的取值范围是________. 答案 [1,152)

解析 作出可行域为△AOB(但不包括 OB 上的点)及直线 3x+4y-12=0,如图所示.

结合图形,可知点 A(1,1)到直线 3x+4y-12=0 的距离最小,

|3+4-12| 最小值 dmin= 5 =1;原点 O(0,0)到直线 3x+4y-12=0 的距离最

大,最大值

dmax=|0×3+05×4-12|=152.又

y>0,所以

12 d∈[1, 5 ).

??2x-y+1>0, 6.设关于 x,y 的不等式组?x+m<0,
??y-m>0

表示的平面区域内存在

点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,则 m 的取值范围是________. 答案 (-∞,-23)

解析 问题等价于直线 x-2y=2 与不等式组所表示的平面区域存在

公共点,由于点(-m,m)不可能在第一和第三象限,而直线 x-2y=

2 经过第一、三、四象限,则点(-m,m)只能在第四象限,可得 m<0,不等式组所表示的平

面区域如图中阴影部分所示,要使直线 x-2y=2 与阴影部分有公共点,则点(-m,m)在直

线 x-2y-2=0 的下方,故-m-2m-2>0,即 m<-23.

??x-y+2≥0, 7.设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0,
??x+y-8≤0,

则目标函数 z=3x-4y 的最大值为________.

答案 3 解析 如图所示,作出不等式组所表示的可行域,故当直线 y=34x-14z

在 x 轴上的截距取得最大值时,目标函数取得最大值.由图,可知当 y=

20 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

34x-14z

经过点

C



z

??x-5y+10=0, 取得最大值,由?
??x+y-8=0,

??x=5, 解得?
??y=3,

即 C(5,3),故目标函

数的最大值为 z=3×5-4×3=3.

??x≤1, 8.已知不等式组?x+y+2≥0,
??kx-y≥0

表示的平面区域为 Ω,其中 k≥0,则当

Ω 的面积取得最小值时,k 的值为________. 答案 1

解析 依题意作图,如图所示,要使平面区域 Ω 的面积最小,即使 S△OAD

+S△OBC 最小,又直线 x+y+2=0 与 y 轴的交点的坐标为 A(0,-2),直线 x+y+2=0 与 y=kx 的交点的坐标为 D(- 2 ,- 2k ),直线 y=kx 与 x
k+1 k+1

=1

的交点的坐标为

C(1,k),k≥0,所以

1

1

21

S△OAD+S△OBC=2|OA|·|xD|+2|OB|·|yC|=k+1+2·k

=k+2 1+12+2k-12=k+2 1+k+2 1-12≥2-12=32,当且仅当k+2 1=k+2 1时取等号,即 k=1 或 k

=-3(舍去).所以满足条件的 k 的值为 1.
9.4 件 A 商品与 5 件 B 商品的价格之和不小于 20 元,而 6 件 A 商品与 3 件 B 商品的价格 之和不大于 24,则买 3 件 A 商品与 9 件 B 商品至少需要________元. 答案 22

解析 设 1 件 A 商品的价格为 x 元,1 件 B 商品的价格为 y 元,买 3 件 A 商品与 9 件 B 商

?? 4x+5y≥20, 6x+3y≤24, 品需要 z 元,则 z=3x+9y,其中 x,y 满足不等式组
?x≥0, ??y≥0,
的平面区域,如图所示,其中 A(0,4),B(0,8),C(130,43). 当 y=-13x+19z 经过点 C 时,目标函数 z 取得最小值. 所以 zmin=3×130+9×43=22.

作出不等式组表示

21 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

因此当 1 件 A 商品的价格为130元,1 件 B 商品的价格为43元时,可使买 3 件 A 商品与 9 件 B

商品的费用最少,最少费用为 22 元.

2x-y+2≥0,
??8x-y-4≤0, ? 10.设 x,y 满足约束条件 x≥0,
??y≥0,

若目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为

8,则 a+b 的最小值为________. 答案 4

解析 由 z=abx+y,得 y=-abx+z,所以直线的斜率为-ab<0,作出可行域,如图,由

图象,可知当 y=-abx+z 经过点 B 时,z 取得最大值.

??2x-y+2=0, ??x=1,

由?

得?

??8x-y-4=0, ??y=4,

即 B(1,4),代入 z=abx+y=8,得 ab+4=8,即 ab=4,所以 a+b≥2 ab=4,当且仅当 a

=b=2 时取等号,所以 a+b 的最小值为 4.

??x+4y≥4, 11.给定区域 D:?x+y≤4,
??x≥0.

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y 在 D

上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定________条不同的直线. 答案 6

解析 线性区域为图中阴影部分,取得最小值时点为(0,1),最大值时点为(0,4),(1,3),(2,2),

(3,1),(4,0),故共可确定 6 条.

??x+y≤t, 12.(2014·盐城模拟)已知 t 是正实数,如果不等式组?x-y≤0,
??x≥0
径为 1 的圆,则 t 的最小值为________.

表示的区域内存在一个半

22 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版 答案 2+2 2

解析 画出不等式组表示的平面区域,当 t 是正实数时,所表示的区域为第一象限的一个等

腰直角三角形.依题意,它有一个半径为 1 的内切圆,不妨设斜边|OB|=t,则两直角边长|AB|

2

22t+ 22t-t

2

=|OA|= 2 t,所以

2

=1,求得 t=

=2 2-1

2+2,即 tmin=2+2

2.

考点 4 立体几何

4.1 立体几何中的计算问题

1.(2014·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,

则该球的表面积为________.

答案

81π 4

解析 如图,设球心为 O,半径为 r,
则 Rt△AOF 中,(4-r)2+( 2)2=r2, 解得 r=94, 所以,该球的表面积为 4πr2=4π×(94)2=841π. 2.(2014·福建改编)以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所 得圆柱的侧面积为________. 答案 2π 解析 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径 r=1,高 h=1,所以侧面积

S=2πrh=2π.

3.(2013·辽宁改编)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3,

AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为________.

答案

13 2

解析 因为 AB⊥AC,且 AA1⊥底面 ABC,

将直三棱柱补成内接于球的长方体,则长方体的对角线 l= 32+42+122=2R,R=123. 4.在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心, 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是________.

23 / 36

答案 60°

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

解析 取 BC 中点 E,连结 AE,则 AE⊥平面 BCC1B1,故∠ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.设各棱长为 a,则 AE= 23a,DE=12a.∴tan∠ADE= 3. ∴∠ADE=60°.
5.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点,则 BE 与平面 PAD 的位置关系为________. 答案 平行
解析 取 PD 的中点 F,连结 EF,在△PCD 中,EF 綊12CD.又∵AB∥CD 且 CD=2AB, ∴EF 綊 AB,∴四边形 ABEF 是平行四边形,∴EB∥AF.又∵EB?平面 PAD,AF?平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. 6.已知两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内部,且互相外切,若球 O1 与过点 A 的正方体的三个面相切,球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切,则球 O1 和球 O2 的表面积之和的最小值为________. 答案 (6-3 3)π 解析 设球 O1,O2 的半径分别为 r1,r2,由题意知 O1A+O1O2+O2C1= 3,而 O1A= 3r1,
3- 3 O1O2=r1+r2,O2C1= 3r2,∵ 3r1+r1+r2+ 3r2= 3.∴r1+r2= 2 , 从而 S1+S2=4πr21+4πr22=4π(r21+r22)≥4π·?r1+2r2?2=(6-3 3)π.

7.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF ∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度为______. 答案 2
24 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

解析 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,∴AC=2 2.又 E 为 AD 的中点,EF∥平面 AB1C,

EF?平面 ADC,平面 ADC∩平面 AB1C=AC,∴EF∥AC,∴F 为 DC 的中点,∴EF=12AC= 2.

8.(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧

面积相等,且SS12=94,则VV12的值是________.

答案

3 2

解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,由SS12=94,得ππrr2122=94,则rr12=32.

由圆柱的侧面积相等,得 2πr1h1=2πr2h2,即 r1h1=r2h2,所以VV12=ππrr2122hh21=rr12=32.

9.(*)如图所示,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H 分别为 DE,

AF 的中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成正四面体 PDEF(点 A、B、C 重合

后记为 P),则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成角的余弦值为________.

答案

2 3

解析 折成的正四面体如图所示,连结 HE,取 HE 的中点 K,连结 GK,PK,

则 GK∥DH,故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或其补角.设这个正四面体

的棱长为 2,在△PGK 中,PG= 3,GK= 23,

PK=

?
12+?? 23??2= 27,故 cos∠PGK=

3?2+??

23??2-??

7?2 2?

2





3 2

=3.即异面直线 PG 与 DH 所

2 成角的余弦值为3.

10. (2013·安徽)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 ________(写出所有正确命题的编号). ①当 0<CQ<12时,S 为四边形;②当 CQ=12时,S 为等腰梯形; ③当 CQ=34时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R=13;④当34<CQ<1 时,S 为六边形;
25 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

⑤当

CQ=1

时,S

的面积为

6 2.

答案 ①②③⑤

解析

1 ①当 0<CQ<2时,如图(1).在平面 AA1D1D 内,作 AE∥PQ,显然 E 在棱 DD1 上,连

结 EQ,则 S 是四边形 APQE.

1 ②当 CQ=2时,如图(2).显然 PQ∥BC1∥AD1,连结 D1Q,则 S 是等腰梯形. ③当 CQ=34时,如图(3). 作 BF∥PQ 交 CC1 的延长线于点 F,则 C1F=12. 作 AE∥BF,交 DD1 的延长线于点 E,D1E=12,AE∥PQ,连结 EQ 交 C1D1 于点 R,
1 ∵Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,∴C1R=3.

④当34<CQ<1 时,如图(3),连结 RM(点 M 为 AE 与 A1D1 交点),显然 S 为五边形 APQRM.

⑤当 CQ=1 时,如图(4).

同③可作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于点 E,交 A1D1 于点 M,显然点 M 为 A1D1 的中点,

∴S 为菱形 APQM,其面积为12MP×AQ=12×



3=

6 2.

11.已知一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其内部有一个高为 x 的内接圆柱.

(1)求圆柱的侧面积;

(2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大?

解 (1)

26 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版
作圆锥的轴截面,如图所示.设内接圆柱的半径为 r. 因为Rr =H- H x,所以 r=R-HRx,所以 S 圆柱侧=2πrx=2πRx-2HπRx2(0<x<H). (2)因为-2HπR<0,所以当 x=42ππRR=H2 时,S 圆柱侧最大.
H 故当 x=H2 ,即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面积最大.
12.(2014·北京)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2, BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E-ABC 的体积.
(1)证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC,所以 BB1⊥AB.又因为 AB⊥BC,BB1∩BC =B,所以 AB⊥平面 B1BCC1,又因为 AB?平面 ABE,所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明 取 AB 的中点 G,连结 EG,FG.因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点,
1 所以 FG∥AC,且 FG=2AC.因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1,所以 FG∥EC1,且 FG=EC1, 所以四边形 FGEC1 为平行四边形.所以 C1F∥EG.又因为 EG?平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)解 因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以 AB= AC2-BC2= 3. 所以三棱锥 E-ABC 的体积 V=13S△ABC·AA1=13×12× 3×1×2= 33.
4.2 完美破解立体几何证明题
27 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版
1.若平面 α∥平面 β,直线 a?α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中与 a 平行的直线 的条数为________. 答案 一条 解析 由直线 a 与 B 确定的平面与 β 有唯一交线.故存在唯一与 a 平行的直线. 2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上的动点,则直线 A1D 与直线 C1E 所成的角 为________. 答案 90° 解析 在正方体中,显然有 A1D⊥AB,A1D⊥AD1,所以 A1D⊥平面 AD1C1B,又 C1E?平面 AD1C1B, 故 A1D⊥C1E. 3.已知 α、β 是两个不同的平面,给出下列四个条件:①存在一条直线 a,a⊥α,a⊥β;② 存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线 a、b,a?α,b?β,a∥β,b∥α;④存 在两条异面直线 a、b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,可以推出 α∥β 的是________. 答案 ①④ 解析 对于②,平面 α 与 β 还可以相交;对于③,当 a∥b 时,不一定能推出 α∥β,所以②③ 是错误的,易知①④正确. 4.已知 α,β,γ 是三个不重合的平面,a,b 是两条不重合的直线,有下列三个条件:①a ∥γ,b?β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.如果命题“α∩β=a,b?γ,且________,那么 a ∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________. 答案 ①或③ 解析 由定理“一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一个平面与此平面的交线与该 直线平行”可得,横线处可填入条件①或③.
5.如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距 离等于线段 BC 的长.其中正确的是________. 答案 ①②③ 解析 对于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC.∵AB 为⊙O 的直径,∵PA∩AC=A, ∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC,又 PC?平面 PAC,∴BC⊥PC; 对于②,∵点 M 为线段 PB 的中点,∴OM∥PA,∵PA?平面 PAC,∴OM∥平面 PAC; 对于③,由①知 BC⊥平面 PAC,∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离,故①②③都正 确. 6.设 α 和 β 为两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直;
28 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版
④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 其中为真命题的是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ①② 解析
由①知 α 内两条相交直线分别平行于平面 β,则两条相交直线确定的平面 α 平行于平面 β, 故①为真命题;由线面平行的判定定理知,②为真命题;对于③,如图,α∩β=l,a?α,a ⊥l,但不一定有 α⊥β,故③为假命题;对于④,直线 l 与平面 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条相交直线垂直,故④为假命题. 综上所述,真命题的序号为①②.
7.如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,若AMMB=NAND,则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是________. 答案 平行 解析 在平面 ABD 中,AMMB=NAND,∴MN∥BD.又 MN?平面 BCD,BD?平面 BCD,∴MN∥平面 BCD. 8.底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱.已知一等边圆柱的底面半径为 2,则其体 积为________. 答案 16π 解析 由题意,圆柱的高为 4,则 V=π·22·4=16π.
9.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列结 论中:①PB⊥AE;②平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 答案 ①④ 解析 由 PA⊥平面 ABC,AE?平面 ABC,得 PA⊥AE,又由正六边形的性质得 AE⊥AB,PA∩ AB=A,得 AE⊥平面 PAB,又 PB?平面 PAB,∴AE⊥PB,①正确;∵平面 PAD⊥平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立,②错;由正六边形的性质得 BC∥AD,又 AD?平面 PAD,BC
29 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版
?平面 PAD,∴BC∥平面 PAD,∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立,③错; 在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴④正确. 10.给出命题: ①在空间中,垂直于同一平面的两个平面平行; ②设 l,m 是不同的直线,α 是一个平面,若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α; ③已知 α,β 表示两个不同平面,m 为平面 α 内的一条直线,“α⊥β”是“m⊥β”的充要条 件; ④在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥BC,SB⊥AC,则 S 在平面 ABC 内的射影是△ABC 的垂心; ⑤a,b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作一个平面与 a,b 之一垂直,与另一 条平行. 其中,正确的命题是________.(只填序号) 答案 ②④ 解析 ①错误,垂直于同一个平面的两个平面也可能相交; ③错误,“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件; ⑤错误,只有当异面直线 a,b 垂直时才可以作出满足要求的平面;易知②④正确. 11.如图所示,M,N,K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点.
求证:(1)AN∥平面 A1MK; (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK.
证明 (1)如图所示,连结 NK. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∵四边形 AA1D1D,DD1C1C 都为正方形,∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD. ∵N,K 分别为 CD,C1D1 的中点,∴DN∥D1K,DN=D1K, ∴四边形 DD1KN 为平行四边形.∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN, AA1=KN. ∴四边形 AA1KN 为平行四边形.∴AN∥A1K. ∵A1K?平面 A1MK,AN?平面 A1MK,∴AN∥平面 A1MK. (2)如图所示,连结 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB∥C1D1,AB =C1D1. ∵M,K 分别为 AB,C1D1 的中点,∴BM∥C1K,BM=C1K. ∴四边形 BC1KM 为平行四边形.∴MK∥BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,
30 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版
A1B1⊥平面 BB1C1C,BC1?平面 BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK. ∵四边形 BB1C1C 为正方形,∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面 A1B1C,B1C?平面 A1B1C, A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面 A1B1C.又∵MK?平面 A1MK,∴平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

5.期末备考题精选

5.1 直线与圆
一、 填空题

1.圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+ 3 y-3 =0的距离为

.1

2.若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆C的位置关系是

. 在圆外

3. 若圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为

(x-2)2+(y+3)2=5 .

4.在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆C:(x -1)2+y2=4上的任意一点,已知点Q(2a,a-3)(a∈R),则

线段PQ长度的最小值为

. [ 5 -2来源:Z。xx。]

5.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-(6-2m)x-4my+5m2-6m=0,直线l经过点(1,0).若对任

意的实数m,定直线l被圆C截得的弦长为定值,则直线l的方程为

. 2x+y-2=0

6. 已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2 2 ,则圆

C的 标准方程为

. (x-3)2+y2=4

7.已知圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P,Q两点,若∠PCQ=90°,则a=

5 .2

8. 已知圆x2+y2+x-6y+3=0上的两点P,Q关于直线kx-y+4=0对称,且OP⊥OQ(O为坐标原点),则

13

15

直线PQ的方程为

. y=- 2 x+ 2 或y=- 2 x+ 4

二、 解答题

9. 已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.[来源:学§科§网]

(1) 若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;

(2) 若直线l是圆心C下方的切线,当a在(0,4]上变化时,求m的取值范围.



31 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版
10. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆心为O 1(9,0),且圆O1上的 点与圆O上的点之间的最大距离为21. (1) 求圆O1的标准方程; (2) 过定点P(a,b)作动直线l与圆O,圆O1都相交,且直线l被圆O,圆O1截得的弦长分别为d,d1.若d 与d1的比值总等于同一常数λ,求点P的坐标及λ的值. 解答:
32 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版
11.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且0<r<a),M为l 上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P,Q. (1) 若r=2,点M的坐标为(4,2),求直线PQ的方程; (2) 求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.
33 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

5.2 数列

1.数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Sn;

(3)设

bn=

1 n(12 ? an )

(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数

m,使得对

任意

n∈N*均有

Tn>

m 32

成立?若存在,求出

m

的值;若不存在,说明理由.

解:解:(1)由 an+2=2an+1-an ? an+2-an+1=an+1-an 可知{an}

d=

a4 ? a1 4 ?1

=-2,∴an=10-2n.

(2)由 an=10-2n≥0 可得 n≤5,当 n≤5 时,Sn=-n2+9n,当 n>5 时,Sn=n2-9n+40,



Sn=

??? n2

? ??n

2

?

? 9n 9n ?

40

1? n?5 n?5

(3)bn=

1 n(12 ?

an

)

?

1 n(2n ?

2)

?

1 2

(

1 n

?

n

1 ?

) 1

?Tn

?

b1

?

b2

?

??

bn

?

1 [(1 2

?

1) 2

?

(1 2

?

1) 3

?

?

?

(1 n

?

n

1 ?

)] 1

?

n 2(n ?

1)

;要使

Tn>

m 32

总成

立,需

m 32

<T1=

1 4

成立,即

m<8



m∈Z,故适合条件的

m

的最大值为

7.

2.已知数列?an ?是公差为 d (d ? 0) 的等差数列,数列?bn ?是公比为 q 的(q∈R)的等比数列

若函数 f (x) ? x2 ,且 a1 ? f (d ?1), a5 ? f (2d ?1) , b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q) ,
(1)求数列?an ?和?bn ?的通项公式;

(2)设数列?cn ?的前

n

项和为

S

n

,对一切

n

?

N

?

,都有

c1 b1

? c2 2b2

???

cn nbn

? an?1 成立,

求 Sn

解 : (1) 数 列 ?an ? 是 公 差 为 d (d ? 0) 的 等 差 数 列 f (x) ? x2 , 且 a1 ? f (d ?1),

a5 ? f (2d ?1) ? (d ?1)2 ? 4d ? (2d ?1)2 ?d ? 2 a1 ? 1 ? an ? 2n ?1
数列?bn ?是公比为 q 的(q∈R)的等比数列 f (x) ? x2 ,且, b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q)

34 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

? q 2 ? q 2 (q ? 2)2

q ? 3或 1 b1 ? 1

bn ? 3n?1 或 bn ? 1….8 分

(2)

c1 ? c2 ? b1 2b2

? cn nbn

? an?1

n ?1

c1 b1

? a2

c1 ? 3 , S1 ? 3 ……….10 分

n?2

cn nbn

? an?1 ? an

?2

, cn ? 2n ? 3n?1 或 cn ? 2n ……….12 分

① cn ? 2n ? 3n?1 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ?2 ? n ? 3n?1

? 2(1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ?n ? 3n?1 ) ? 1

设 x ? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ?? n ? 3n?1

3? x ?

1? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? (n ?1) ? 3n?1 ? n ? 3n

2x

?

n ? 3n

? (3n?1

? 3n?2

? ?30 )

?

n ?3n

?

3n ?1 2 ?Sn

?

(n ?

1) ?3n 2

?

3 2

② cn ? 2n

Sn

?

2 ? 2n 2

n

?

n(n

? 1)

……….14 分

综上 Sn

?

(n

?

1) ?3n 2

?

3,n? 2

N?



Sn

?

2 ? 2n 2

n

?

n(n

?1) …….16



? ? 3. 已知数列?an ?中, a1 ? 1, 且点 P?an , an?1 ? n ? N ? 在直线 x ? y ?1 ? 0 上.

(1)求数列?an ?的通项公式;

(2)若函数 f (n) ? 1 ? 1 ? 1 ? n ? a1 n ? a2 n ? a3
最小值 ;

? 1 ?n ? N,且n ? 2? ,求函数 f (n) 的
n ? an

(3)设 bn

?

1 an

,Sn

表示数列 ?bn ?的前项和.问:是否存在关于

n

的整式

g?n?

,使得

S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn?1 ? ?Sn ?1?? g?n? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立? 若存在,写出

g?n? 的解析式,并 加以证明;若不存在,试说明理由.

解:(1)由点 P (an , an?1 ) 在直线 x ? y ?1 ? 0 上,

即 an?1 ? an ? 1,--------2 分

且 a1 ? 1 ,数列{ an }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列

an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2) , a1 ? 1 同样满足,所以 an ? n -------4 分

(2) f (n) ? 1 ? 1 ? ? ? 1

n?1 n? 2

2n

f (n ?1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 -----6 分 n ? 2 n ? 3 n ? 4 2n ?1 2n ? 2

f (n ?1) ? f (n) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 0 2n ?1 2n ? 2 n ?1 2n ? 2 2n ? 2 n ?1

所以 f (n) 是单调递增,故 f (n) 的最小值是 f (2) ? 7 -------10 分 12

35 / 36

高一数学下学期期末考试复习总结要点-教师版

(3) bn

?

1 n

,可得 Sn

?1?

1 2

?

1 3

???

1 n



S

n

? Sn?1

?

1 (n n

?

2) -------12



nSn ? (n ? 1)Sn?1 ? Sn?1 ? 1,

(n ? 1)Sn?1 ? (n ? 2)Sn?2 ? Sn?2 ? 1

……

S2 ? S1 ? S1 ? 1

nSn ? S1 ? S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn?1 ? n ? 1

S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn?1 ? nSn ? n ? n(Sn ?1) ,n≥2--14 分 g(n) ? n

故存在关于 n 的整式 g(x)=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立----16 分

4.

已知等比数列{an} 的首项 a1

? 2011,公比 q

?

?

1 2

,数列{an

}



n

项和记

为 Sn ,前 n

项积记为Tn .

(1)证明: S2 ? Sn ? S1 ;

(2)判断Tn 与 Tn?1 的大小,并求 n 为何值时,Tn 取得最大值;

(3)证明:若数列{an} 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若

所有这些等差数列的公差按从小 到大的顺序依次记为 d1, d2 , , dn ,则数列{dn} 为等比数

列.

36 / 36


相关文档

[小初高学习]XX年九年级上册化学考试复习学习要点知识学习总结要点汇总
[小初高学习]XX初三物理上册知识学习总结要点考试复习学习要点(重要公式)
高一级化学期中考试章节复习要点总结
[小初高学习]2018中考数学总考试复习学习要点知识学习总结要点梳理:19讲多边形与平行四边形(华师大)
第一学期高二生物第一章期中考试复习要点总结
2019第一学期高二生物第一章期中考试复习要点总结精品教育.doc
【拿高分-选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习总结精选第一部分--专项突破《--数列的综合应用》
高考英语常考句型总结300例-中小学教案-教学设计,备课资料,初中高中语文数学英语物理化学政治历史生物地理
高一数学函数的基本性质期末复习要点总结
电脑版