专题3-3-2 简单的线性规划问题-试题君之K三关2017-2018学年高二数学 含解析 精品

3.3.2 简单的线性规划问题 1.简单线性规划的有关概念 (1)约束条件:由变量 x,y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为 x,y 的约束条件.例 ? x2 ? y2 ? 4 如, ? 就是一个关于 x,y 的约束条件. ? x ? 0, y ? 1 (2)线性约束条件:约束条件中都是关于变量 x,y 的一次不等式(或一次方程),这样的 不等式组称为 x,y 的线性约束条件.例如, ? 条件. (3)目标函数:把要求最大值或最小值的函数称为目标函数.例如,已知 x,y 满足约束 条件 ? ? x ? y ?1 ? 0 就是一个关于 x,y 的线性约束 ?x ? 1 ? x2 ? y2 ? 2 ?x ? 1 ,分别确定 x,y 的值,使 z ? y 取得最小值, z' ? x ? y 取得最大值, x 其中 z ? y 和 z' ? x ? y 均为目标函数. x y 不是线性目标函数. x (4)线性目标函数:目标函数是关于变量 x,y 的一次解析式的称为线性目标函数.例如, 上述例子中 z' ? x ? y 是线性目标函数,而 z ? (5)线性规划问题:在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线 性规划问题. (6)可行解:满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. (7)可行域:由所有_____________组成的集合叫做可行域. (8)最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解. 注: (1)约束条件也可以是方程,线性约束条件也可以是二元一次不等式与二元一次方程 的组合,而一般意义上的约束条件可以是多样化的不等式或者方程形式的组合; (2)可行 解必须使线性约束条件成立,而可行域是所有可行解构成的平面区域. 2.简单线性规划问题的解法 (1)目标函数 z=ax+by(b≠0)的几何意义 将目标函数 z=ax+by 变形为 y ? ? a z a x ? 的形式,它表示斜率为 ? ,在 y 轴上的截距 b b b 为 z ,并随 z 变化的一组平行直线. b z 逐渐增大,当 b>0 时,z 的值随之 b z 逐渐减小,当 b>0 时,z 的值随之 b 把直线 ax+by=0 向上平移时,在 y 轴上的截距 _____________;当 b<0 时,z 的值随之_____________. 把直线 ax+by=0 向下平移时,在 y 轴上的截距 _____________;当 b<0 时,z 的值随之_____________. (2)线性规划问题的求解方法——图解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤可概括为“画、 移、求、答” ,即: ①画:在平面直角坐标系中,画出可行域和直线 ax+by=0(目标函数为 z=ax+by); ②移:平行移动直线 ax+by=0,确定使 z=ax+by 取得最大值或最小值的点; ③求:求出使 z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及 z 的最大值或最小值; ④答:给出正确答案. K 知识参考答案: 1.可行解 2.增大 减小 减小 增大 K—重点 K—难点 K—易错 相关概念的理解: (线性)约束条件、 (线性)目标函数、可行域、最优解 简单线性规划问题的实际应用、寻找最优整数解 作图不准确导致错误 简单线性规划的有关概念问题 (1)在线性规划中,下列命题正确的是 A.最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x 或 y 的值 B.最优解指的是目标函数的最大值或最小值 C.最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域 D.最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 (2)目标函数 z=x-y,将其看作直线方程时,z 的意义是 A.该直线的截距 C.该直线的横截距 【答案】(1)D ; (2)D. B.该直线的纵截距 D.该直线纵截距的相反数 【名师点睛】熟练掌握相关概念是解决此类问题的关键,注意区分可行域、可行解与最优解. 求线性目标函数的最值 求线性目标函数最值的两种方法: (1)平移直线.作出可行域,正确理解 z 的几何意义,确定目标函数对应的直线,平移直线 得到最优解. (2)顶点代入法.依约束条件画出可行域,解方程组得出可行域各顶点的坐标,分别计算出 各顶点处目标函数 z=ax+by 的值,经比较后得出 z 的最大(小)值.对一个封闭图形而言, 最优解一般在可行域的顶点处取得,在求解此类问题时可由此快速找到最大值点或最小值点. ?4 x ? 5 y ? 8 ? 0 ? ( 1 )若变量 x , y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 ,则 z = 3x + 2y 的最小值为 ?0 ? y ? 2 ? _____________; ?x ? y ? 2 ? 0 ? (2)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为_____________; ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (3)如图 1, △ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一点,则 z=2x +3y 的最大值为_____________. 图1 图2 图3 【答案】(1) 23 ; (2)4; (3)7. 5 3 z x ? 经过点 A 时 z 取得 2 2 【解析】(1)作出可行域,如图 2 中阴影部分所示,当直线 y ? ? 最小值. 由? ?4 x ? 5 y ? 8 4 4 23 解得 x ? 1 , y ? ,此时,zmin=3×1+2× = . 5 5 5 ?x ? 1 (2)作出不等式组表示的可行域,如图 3 中阴影部分所示, 作直线 l0:3x+y=0,平移直线 l0,当直线 3x+y=z 过点(1,1)时,zmax=3+1=4. (3)方法 1:由题意,目标函数 z=2x+3y 的可行域为 △ABC 的边界及其内部. 令 z=0,即 2x+3

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