2017_2018版高中数学第三章概率3.3.1几何概型学业分层测评新人教A版必修3

3.1.1 几何概型 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下列关于几何概型的说法中,错误的是( ) A.几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性 B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 【解析】 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型,故选 A. 【答案】 A 2.在圆心角为 90°的扇形中,以圆心 O 为起点作射线 OC,则使得∠AOC 和∠BOC 都不 小于 30°的概率为( A. C. 1 3 1 4 ) B. D. 2 3 3 4 【解析】 记 M=“射线 OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°”.如图所示,作射线 OD,OE 使∠AOD=30°,∠AOE=60°. 当 OC 在∠DOE 内时,使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°,此时 的测度为度数 30,所有基本事件的测度为直角的度数 90.所以 P(M) 30 1 = = . 90 3 【答案】 A 3.在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观 察,则发现大肠杆菌的概率为( A.0.008 C.0.002 ) B.0.004 D.0.005 2 =0.005. 400 【解析】 设问题转化为与体积有关的几何概型求解,概率为 【答案】 D 4.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 的概率是( 4 A. 1 4 B. 1 2 S ) 1 C. 3 4 D. 2 3 【解析】 如右图所示, 在边 AB 上任取一点 P, 因为△ABC 与△PBC 是等高的, S |BP| 1 所以事件“△PBC 的面积大于 ”等价于事件“ > ”. 4 |AB| 4 S? |PA| 3 ? 即 P?△PBC的面积大于 ?= = . 4? |BA| 4 ? 【答案】 C 5.如图 3?3?3,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在 扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ) 图 3?3?3 A.1- C. 2 π 2 π 1 1 B. - 2 π D. 1 π 【解析】 2 设 OA = OB = r , 则 两 个 以 为 半 径 的 半 圆 的 公 共 部 分 面 积 为 2 2 r ?1 r? 1 ?r? ? 2 ? π ·? ? ? - ×? ? ? = ?2? 2 ?2? ? ?4 ?1 ?r? π- ? π ? ? ×2- 2 2 8 ? ? ? 【答案】 A 二、填空题 2 π- 8 r2 ,两个半圆外部的阴影部分面积为 2× r ,所以所求概率为 2 1 2 πr - 4 r2? ?= ? π- 8 π- 8 1 2 πr 4 r2 2 =1- . π 6.如图 3?3?4,在平面直角坐标系内,射线 OT 落在 60°角的终边上,任作一条射线 OA,则射线 OA 落在∠xOT 内的概率为________. 图 3?3?4 2 【解析】 记“射线 OA 落在∠xOT 内”为事件 A.构成事件 A 的区域最大角度是 60°, 60° 所有基本事件对应的区域最大角度是 360°,所以由几何概型的概率公式得 P(A)= = 360° 1 . 6 【答案】 1 6 7.如图 3?3?5,长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点 在三棱锥 A?A1BD 内的概率为________. 图 3?3?5 1 abc 6 【解析】 设长、 宽、 高分别为 a, b,c, 则此点在三棱锥 A?A1BD 内运动的概率 P= abc 1 = . 6 【答案】 1 6 8.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到 1 1 圆心的距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家 2 4 看书.则小波周末不在家看书的概率为________. 【解析】 记事件 A=“打篮球”,则 P(A)= ?1? π ×? ? ?4? π ×1 2 2 = 1 . 16 记事件 B=“在家看书”,则 P(B)= 3 13 故 P( B )=1-P(B)=1- = . 16 16 【答案】 13 16 ?1? π ×? ? ?2? π ×1 2 2 1 1 3 -P(A)= - = . 4 16 16 三、解答题 9.一海豚在水池中自由游弋,水池为长 30 m,宽 20 m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离 岸边不超过 2 m 的概率. 3 【解】 如图,四边形 ABCD 是长 30 m、宽 20 m 的长方形.图中的阴影部分表示事件 A: “海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”. 问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率. ∵S 长方形 ABCD=30×20=600(m ), 2 S 长方形 A′B′C′D′=(30-4)×(20-4)=416(m2), ∴S 阴影部分 =S 长方形 ABCD -S 长方形 A′B′C′D′ =600-416=184(m ),根据几何概型的概率公式, 2 184 23 得 P(A)= = ≈0.31. 600 75 [能力提升] 1.面积为 S 的△ABC,D 是 BC 的中点,向△ABC 内部投一点,那么点落在△ABD 内的概 率为( A. C. 1 3 1 4 ) B. D. 1 2 1 6 【解析】 向△ABC 内部投一点的结果有无限个,属于几何概型.设点落在△ABD 内为 △ABD的面积 1 事件 M,则 P(M)= = . △ABC的面积 2 【答案】 B 2. 假设你在如图 3?3?6 所示的图形上随机撒一粒黄豆, 则它落到阴影部分(等腰三角形) 的概率是________.

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