【课时通】高一数学人教版必修2课件2.3.1 直线与平面垂直的判定与性质4_图文

直线与平面垂直 的判定与性质 观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系, 给人以直线与平面 垂直的形象。 观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系,给人以直线与 平面垂直的形象。 实例引入 生活中有很多直线与平面垂直的实例 大桥的桥柱与水面垂直 直棱柱的侧棱与底面的位置关系 引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么? A α B 旗杆AB所在直线 直线垂直于平面内的 与地面内任意一条过点 B的直线垂直. 任意一条直线.B的直线B1C1也垂直. 与地面内任意一条不过点 直线与平面垂直 定义: 如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? . 平面 ? 的垂线 垂足 l P 直线 l 的垂面 ? 直线与平面的 一条边垂直 思考: 1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直,则直线 l 和平面 α互相垂直( ? ) l C ? B 2. a ? ? , b ? ? ? a ? b 性质定理 (? ) 直线 l 垂直于平面α ,则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线 线线垂直 线面垂直 直线与平面垂直 探究: 除定义外,如何判定一条直线与平面垂直呢? A A 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验: A l P C C C A D ? B B D D ? C ? B B D 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 ?ABC 的顶点 A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 ? 线与桌面所在平面 垂直. 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接触) 3.归纳: l 一条直线与一个平面内的两条相 交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直。 b a A 符号语言: a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, l ? a , l ? b ? l ? ? (1)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; (2)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直” 互相转化的数学思想。 直线与平面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直. ? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ? 线线垂直 判定定理 l?a l ?b l b ? A a 线面垂直 4.直线和平面所成角 1.斜线 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线 2.斜足 斜线和平面相交的交点 3.斜线在平面内的射影 过斜线上斜足以外的一点向平 面引垂线,过垂足和斜足的直线 P 平面的斜线和它在平面内 的射影所成的锐角,叫做 直线和平面所成的角 ? O B A 说明: 1.若直线垂直平面,则直线和平面所 成的角为90° 2.若直线和平面平行,或直线在平面 内,则直线和平面所成的角为0 ° 直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°] 异面直线所成角的取值范围? 斜线 P 垂线 例1 已知 PO ? ? , a ? ? , a ? AO 求证 a ? PA D1 A1 1 A O a ? 斜线在平面上的射影 C1 B1 C 找垂线 得射影 分别指出对角线A1C 与六个面所成的角. A D B 1 问题探究 1.如果直线垂直于平面内的两条平行线,这条直 线垂直于这个平面吗? 提示:不一定垂直.两条相交直线就可确定唯一 平面.若是平行直线,如图,直角三角尺的一直 角边放在平面 α内,另一直角边与 α 倾斜一个角度, 则 在 α 内 , 与 直 角 边 AC 平 行 的 直 线 会 有 无 数 条.也说明一条直线垂直于平面内无数直线,直 线不一定垂直于平面. 2.过一点垂直于某个平面的直线有几条?过一点垂 直于某直线的平面有几个? 提示:都是唯一一个. 3.若直线l垂直于平面α,那么l与平面α内的直线有 什么关系? 提示:l垂直于平面内的所有直线. 例1 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中,求证: BD1⊥平面 ACB1. 【思路点拨】 解答本题从结论出发,要证BD1⊥平面ACB1, 只需证明BD1垂直于平面ACB1内某两条相交直线即可.由于平面 ACB1内的三条线段AC、B1C、AB1与BD1的相对位置相同,因此 只须证明BD1垂直于其中的任意一条,其余的同理可证. 【证明】 连结BD,∴AC⊥BD. 又∵DD1⊥平面ABCD, AC?平面ABCD, ∴DD1⊥AC, 又∵DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面D1DB, 又∵BD1?平面D1DB, ∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥AB1, 又∵AB1∩AC=A, 例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,求: (1)直线A′B和平面ABCD所成的角 (2)直线A′B和平面A′B′CD所成的角 D’ A’ B’ O C’ D A B C 例3 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1= AD = a , AB = 2a ,在棱 D1C1 上是否存在点 E ,使得 DE⊥面BCE. 【思路点拨】 猜想 D1C1 的中点,寻求 DE ⊥面 BCE的条件. 【解】 若取 D1C1 的中点 E, ∵ BC⊥ CD, BC⊥ CC1, ∴ BC⊥面 CDD1C1. 又 DE? 面 CDD1C1,∴ DE⊥ BC. 在△ CDE 中, CD= 2a, CE= DE= 2a, 则有 CD2= CE2+ DE2, ∴∠ DEC=90° .∴ DE⊥ EC. 又 BC∩ EC= C, BC? 平面 BCE, EC? 平面 BCE, ∴ DE⊥平面 BCE. 例3练习 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中, 1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ? 求直线 A1B与平面A1B1CD所成的角 2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗? D1

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