2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1学业测评:2.2.1 椭圆及其标准方程 Word版含解析

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 x2 y2 1. (2016· 潍坊高二检测)如果方程a2+ =1 表示焦点在 x 轴上 a+6 的椭圆,则实数 a 的取值范围是( A.(3,+∞) B.(-∞,-2) C.(3,+∞)∪(-∞,-2) D.(3,+∞)∪(-6,-2) 【解析】 由于椭圆的焦点在 x 轴上, 2 ? ?a >a+6, ? ?(a+2)(a-3)>0, 所以? 即? ?a+6>0, ?a>-6. ? ? ) 解得 a>3 或-6<a<-2,故选 D. 【答案】 D ? ? ? ? ?3 ? ? 4 ? 2.已知椭圆过点 P?5,-4?和点 Q?-5,3?,则此椭圆的标准方 程是( ) y2 A.25+x2=1 x2 y2 2 2 B.25+y =1 或 x +25=1 x2 C.25+y2=1 D.以上都不对 【解析】 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 9 ? ?25m+16n=1, 则? 16 ? ?25m+9n=1, ?m=1, ∴? 1 n = ? 25. y2 ∴椭圆的方程为 x +25=1. 2 【答案】 A x2 y2 3.(2016· 合肥高二月考)设 F1,F2 是椭圆 9 + 4 =1 的两个焦点, P 是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2 的面积等于( A.5 C.3 B.4 D.1 ) 【解析】 由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5,∴|PF1|+|PF2| =2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由 22+42= 1 (2 5)2, 可知△F1PF2 是直角三角形, 故△F1PF2 的面积为2|PF1|· |PF2| 1 =2×4×2=4,故选 B. 【答案】 B 4.椭圆 mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点坐标为( 【导学号:18490042】 A.(0,± m-n) B.(± m-n,0) ) C.(0,± n-m) 2 2 D.(± n-m,0) x2 y2 【解析】 将 mx +ny =-mn(m<n<0)化成标准方程得 + -n -m =1,由 m<n<0?-m>-n>0,得焦点在 y 轴上,即 a2=-m,b2=- n,得 c2=a2-b2=n-m,故选 C. 【答案】 C x2 y2 5.设 P 是椭圆16+12=1 上一点,P 到两焦点 F1,F2 的距离之 差为 2,则△PF1F2 是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ) B.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a=8, 又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3, 又|F1F2|=2c=2 16-12=4, 即|F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2, ∴△PF1F2 为直角三角形. 【答案】 B 二、填空题 x2 y2 6.已知 F1,F2 是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭 → ⊥PF → .若△PF F 的面积为 9,则 b=________. 圆 C 上一点,且PF 1 2 1 2 |PF |+|PF2|=2a, ? ? 1 |PF2|=18, 依题意,有?|PF1|· ? ?|PF1|2+|PF2|2=4c2, 【解析】 可得 4c2+36=4a2,即 a2-c2=9,故有 b=3. 【答案】 3 7.已知椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点,则椭 圆 C 的标准方程为________. x2 y2 【解析】 法一: 依题意, 可设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0), 且可知左焦点为 F′(-2,0). ? ?c=2, 从而有? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ? ? ?c=2, 解得? ?a=4. ? 又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为16+12=1. 法二:依题意,可设椭圆 C 的方程为 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0), ? 42+ 92=1, 则?a b ?a2-b2=4, 解得 b2=12 或 b2=-3(舍去), x2 y2 从而 a =16,所以椭圆 C 的标准方程为16+12=1. 2 x2 y2 【答案】 16+12=1 x2 y2 8.已知 P 是椭圆 4 + 3 =1 上的一动点,F1,F2 是椭圆的左、右 焦点,延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹方程是 ________. 【解析】 如图,依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a 是常数且 a>0). 又|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PQ|=2a, 即|QF1|=2a. 由题意知,a=2,b= 3,c= a2-b2= 4-3=1. ∴|QF1|=4,F1(-1,0), ∴动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心,4 为半径的圆, ∴动点 Q 的轨迹方程是(x+1)2+y2=16. 【答案】 (x+1)2+y2=16 三、解答题 x2 y 2 9. 设 F1, F2 分别是椭圆 C: 右焦点. 设 a2+b2=1(a>b>0)的左、 ? 3? 椭圆 C 上一点? 3, ?到两焦点 F1, F2 的距离和等于 4, 写出椭圆 C 2? ? 的方程和焦点坐标. 【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为 4, ∴2a=4,a2=4, ? 3? ∵点? 3, ?是椭圆上的一点, 2? ? ∴ ( 3) + b2 =1, 4 2 ? 3?2 ? ? ?2 ? ∴b2=3,∴c2=1, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. 焦点坐标分别为(-1,0),(1,0). 10.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2); (2)c∶a=

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