山东济宁汶上第一中学18-19学度高二12月质检-数学理_图文

山东济宁汶上第一中学 18-19 学度高二 12 月质检-数学理 数学(理)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 1 的右焦点的坐标为 A. ( ) C.

(

2 ,0) 2

B.

(

5 ,0) 2

(

6 ,0) 2

D .

( 3 ,0)

A. 存在 x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m ? 0 B. 不存在 x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m ? 0 C. 对于任意 x ? Z ,都有 x 2 ? 2 x ? m ? 0 D .对于任意 x ? Z ,都有 x 2 ? 2 x ? m ? 0 3. 已知 k <4,则曲线 x 2 和 x2 有( y2 y2 ? ?1 ? ?1 9 4 9?k 4?k ) D. 相同的长轴

A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 4.圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切

D.相离

5.若曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与曲线 C : y ( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则实 1 2 数 m 的取值范围是( A.( ) B.(

?

3, 3) 3 3

?

3 ,0)∪(0, 3 ) 3 3 3 )∪( 3 ,+ ? ) ? 3 3
( )

C.[

3, 3] ? 3 3

D.( ?? ,

6. 若方程 x 2

m ?1

?

表示双曲线,则实数 m 的取值范围是 y2 ?1 m?3 B. m ? 1 C . m ? ?3或m ? 1
1

A. m ? 1且m ? ?3

D .?3 ? m ?1

7.若椭圆的短轴为 AB ,它的一个焦点为 F1,则满足 ?ABF 为等边三角形的椭圆的离心率 是 ( ) A . 1 B .1 C.

2

4

2 2

D.

3 2

→ → 8. 长为 3 的线段 AB 的端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上移动, AC=2CB, 则点 C 的轨迹是( A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 A.

)

a ?1

B.

a ?1

C.

?1 ? a ? 1

D . ?1 ? a ? 1

10. 已知 F1,F2 为双曲线 C:

x 2 ? y 2 ? 1 的左右焦点,点 P 在 C 上, ?F1 PF2 ? 60 ? ,则

PF1 ? PF2 ?
A . 2 11.经过椭圆 x 2

( ) B. 4 C. 6 D. 8

2

? y2 ? 1

的右焦点作倾斜角为 45 ? 的直线,交椭圆于 A、B 两点,O 为坐标

原点,则 OA ? OB ? A. -3 B.

( )

?

1 3

C . -3 或

?

1 3

D.

?

1 3

12. 设 e 是椭圆 x 2

的离心率,且 1 ,则实数 k 的取值范围是 ( ) y2 e ? ( ,1) ? ?1 2 4 k B. (3, 16 ) C. (0,3) ? ( 16 ,+ ? ) D. (0,

A.

(0,3)

3

3

2) 二、填空题: (每小题 5 分, 共 20 分) 13. 在 Rt ?ABC 中 , AB ? AC ? 1 ,以点 C 为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆 的另一焦点在 AB 边上,且这个椭圆过 A, B 两点,则这个椭圆的焦距长 为 .

14.如图, 已知正三棱柱 ABC ? A B C 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC 的 1 1 1 1 中点,则异面直线 AB 和BM 所成的角的大小是
1

15.点 P(x,y)在圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上运动,点 A(-2,2) ,

B(-2,-2)是平面上两点,则错误!未找到引用源。的最大值____▲____.

l1 16.如图,平面中两条直线 l 1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 x ,
M ·

O

l2

y 分别是 M 到直线 l 1 和 l 2 的距离, 则称有序非负实数对 ( x , y) 是点 M 的“ 距离坐标 ” 。 ①若 p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有 1 个; ②若 pq=0, 且 p+q≠0,则“距离坐标”为( p, q) 的点有且只有 2 个; ③ 若 pq≠0 则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且只有 4 个. 二、解答题(本大题共 6 小题,计 70 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD ? A B C D 中, A E ? CF ? 1 . 1 1 1 1 1 ⑴求两条异面直线 AC 与 D E 所成角的余弦值; 1 1 ⑵求平面 BED F 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值. 1

18. (本小题满分 12 分) 有实数根.若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 2 2 己知圆 C: (x – 2 ) + y = 9, 直线 l:x + y = 0. (1) 求与圆 C 相切, 且与直线 l 平行的直线 m 的方程; (2) 若直线 n 与圆 C 有公共点,且与直线 l 垂直,求直线 n 在 y 轴上的截距 b 的取值范围;

20. (本小题满分 12 分) 设圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 的切线与两坐标轴交于点 A(a, 0), B (0, b), ab ? 0 . (1)证明: (a ? 4)(b ? 4) ? 8 ; (2)若 a ? 4, b ? 4, 求△AOB 的面积的最小值.

y

B(0,b)

A(a,0) O x

21. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,平行于 x 轴且过点 A(3 3, 2)的入射光线 l1 3 被直线 l:y= 3 x 反射.反射光线 l2 交 y 轴于 B 点,圆 C 过点 A 且与 l1, l2 都相切. (1)求 l2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (2)设 P, Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点, 求 值及此时点 P 的坐标. O y l A x l1

PB ? PQ

的最小 l2

B

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行于 OM 的直线在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) ,交椭圆于 A、B 两个不同点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

参考答案: 1-5 CDBBB 6-10 CDCAB 13. 15. 7+2 10 14.

11-12 BC

16. ①③

17.如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD ? A B C D 中, A E ? CF ? 1 . 1 1 1 1 1

⑴求两条异面直线 AC 与 D E 所成角的余弦值; 1 1 ⑵求平面 BED F 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值. 1 (1)以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz , 如下图,则

A ? 3, 0, 0 ? , C1 ? 0,3,3? , AC1 ? ? ?3,3,3?

,

D1 ? 0, 0,3? , E ? 3, 0, 2 ? , D1 E ? ? 3, 0, ?1? .
所以

cos ? AC1 , D1 E ??

AC1 ? D1 E AC1 D1 E

?

?9 ? 3 2 30 ?? , 15 3 3 ? 10

即两条异面直线 AC 与 D E 所成角的余弦值为 2 30 1 1

15
(2)

.

B ? 3,3, 0 ? , BE ? ? 0, ?3, 2 ? , D1 E ? ? 3, 0, ?1? .
1

设平面 BED F 的一个法向量为 由

n ? ? x, y , z ? ,

? ?n ? D1 E ? 0 ? ? ? n ? BE ? 0



, ? 3x ? z ? 0 ? ??3 y ? 2 z ? 0

所以

? y ? 2x ? ? z ? 3x

,则

n ? ? x, 2 x,3 x ? ,

不妨取

n ? ?1, 2,3? ,



cos ? ?

3 14 14

?a?2
19. 解:(1) ∵直线 m∥直线 x + y = 0, ∴设 m: x + y + c = 0, ∵直线 m 与圆 C 相切,∴ 3 = | 2 ? 0 ? c | ,′

2
解得 c = – 2 ?3 2 得直线 m 的方程为:x + y – 2 +3 2 =0, 或 x + y – 2 –3 2 =0. (2) 由条件设直线 n 的方程为:y = x +b , 2 2 代入圆 C 方程整理得:2x +2 (b – 2)x + b – 5 = 0, ∵直线 l 与圆 C 有公共点, 2 2 2 ∴ △ = 4(b – 2) – 8(b – 5 ) = – 4b – 16b +56 ≥ 0,

即:b2 + 4b –14 ? 0 解得:– 2–3 2 ? b ? – 2+3 2 20.解: (1)直线的方程为 x ,即 bx ? ay ? ab ? 0 . y ?1 b

a

?

则圆心(2,2)到切线的距离 d ? r , 即

| 2b ? 2a ? ab | b2 ? a 2

? 2 ? ab ? 4(a ? b) ? 8 ? 0

,

? (a ? 4)(b ? 4) ? 8 .
(2)由 (a ? 4)(b ? 4) ? 8 ? ab ? 4(a ? b) ? 8 又 a ? 4, b ? 4,

? S ?AOB ?

1 ab ? 2[(a ? 4) ? (b ? 4) ? 6] ? 2(2 ( a ? 4)(b ? 4) ? 6) ? 4(3 ? 2 2). 2

(当且仅当 a ? b ? 4 ? 2 2 时取等号),所以,△AOB 面积的最小值是 12 ? 8 2 21.解: (1)直线 l : y ? 2, 设 . l1交l于点D,则D (2 3, 2) 1 反射光线 l 所在的直线方程为 l 的倾斜角为 30 ,? l2的倾斜角为60 , ? k2 ? 3. ? 2

y ? 2 ? 3( x ? 2 3) .



3x ? y ? 4 ? 0 .
圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上, A 且 与 l 垂 直 的 直 线 上 , 1

已 知 圆 C 与 l 切于点A,设C(a,b) , 1

? b ? ? 3a ? 8

, 又 圆 心

C

在 过 点

? a ? 3 3 ,? b ? ? 3a ? 8 ? ?1 ,圆 C 的半径 r=3,
故所求圆 C 的方程为

( x ? 3 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 .

(2)设点 B 0, ?4 关于 l 的对称点 B?( x , y ) ,则 ? ? ? y0 ? 4 0 0

? ? 2 ? ? y0 ? 4 ? ? 3 ? ? x0

3 x0 ? ? 3 2

,得 ? B (?2 3, 2) ,

固 定 点 Q 可 发 现 , 当 B?、P、Q 共 线 时 , PB ? PQ 最 小 , 故 PB ? PQ 的 最 小 值 为

B?C ? 3 ? 2 21 ? 3 …12 分

.此时由

? y ?1 x?3 3 ? ? ? 2 ? 1 ?2 3 ? 3 3 ? 3 ? y? x ? 3 ?

,得

3 1 . P( , ) 2 2

22.解: (1)设椭圆方程为 x 2

a2


?

y2 ? 1(a ? b ? 0) b2
∴椭圆方程 x 2

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 解得? 2 1 ?4 ? 2 ?1 ? ? ?b ? 2 2 b ?a

8

?

y2 ?1 2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又

K OM ?

1 2

∴l 的方程为:

y?

1 x?m 2


1 ? y ? x?m ? ? 2 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同

? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0

点,? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0,

∴m 的取值范围是 {m | ?2 ? m ? 2且m ? 0}

(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设

A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则k1 ?
由x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0


y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

可得 x ? x ? ?2m, x x ? 2m 2 ? 4 1 2 1 2

k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)( x 2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) ,? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? ? x1 x 2 ? (m ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

∴k1+k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一

个等腰三角形.


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