2017-2018学年高中数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题+3.3.1(一)+Word版含答案

3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域(一)最新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短 信送祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。 学习目标 1.理解二元一次不等式的解、解集概念.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平 面区域. 知识点一 二元一次不等式(组)的概念 思考 对于只含有一个未知数的不等式 x<6,它的一个解就是能满足不等式的 x 的一个值, 比如 x=0.那么对于含有两个未知数的不等式 x-y<6,你能类似地举出一个解吗? 答案 含两个未知数的不等式的一个解, 即满足不等式的一组 x, y 的取值, 例如? 也可写成(0,0). 梳理 (1)含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式称为二元一次不等式; (2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组; (3)满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y)称为二元一次不等式(组) 的一个解; (4)所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. ? ?x=0, ?y=0, ? 知识点二 二元一次不等式表示的平面区域 思考 一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间, 例如? 轴上的一个区间(如图). ?x+3>0, ? ? ?x-4<0 的解集为数 那么,在直角坐标系内,二元一次不等式 x-y<6 的解集表示什么图形呢? 答案 二元一次不等式 x-y<6 的解是一个有序数对(x,y),它在平面直角坐标系中对应一 个点.显然不等式 x-y<6 的解不止一个,且这些解不在直线 x-y=6 上.经探索,以二元 一次不等式 x-y<6 的解为坐标的点都在直线的左上方;反之,直线左上方点的坐标也满足 不等式 x-y<6.因此,在直角坐标系中,不等式 x-y<6 表示直线 x-y=6 左上方的平面区 域. 梳理 (1)在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0)表示直线 Ax+By+C =0 某一侧所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界. 不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线. (2)对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得的符 号都相同. (3)在直线 Ax+By+C=0 的一侧取某个特殊点(x0, y0)作为测试点, 由 Ax0+By0+C 的符号可 以断定 Ax+By+C>0(或<0)表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. (4) 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集. 类型一 二元一次不等式解的几何意义 例 1 已知点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是________. 答案 (-7,24) 解析 点(3,1)和(-4,6)必有一个是 3x-2y+a>0 的解,另一个点是 3x-2y+a<0 的解. ?3×3-2×1+a>0, ? ∴? ?3×(-4)-2×6+a<0 ? ? ?3×3-2×1+a<0, 或? ?3×(-4)-2×6+a>0, ? 即(3×3-2×1+a)<0, (a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24. 反思与感悟 对于直线 l:Ax+By+C=0 两侧的点(x1,y1),(x2,y2),若 Ax1+By1+C>0, 则 Ax2+By2+C<0,即同侧同号,异侧异号. 跟踪训练 1 经过点 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公 共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解 由题意知直线 l 的斜率存在,设为 k. 则可设直线 l 的方程为 kx-y-1=0, 由题意知 A,B 两点在直线 l 上或在直线 l 的两侧,所以有(k+1)(2k-2)≤0,所以-1≤k ≤1. 类型二 二元一次不等式表示的平面区域 例 2 画出不等式 x+4y<4 表示的平面区域. 解 先作出边界 x+4y=4, 因为这条线上的点都不满足 x+4y<4, 所以画成虚线.取原点(0,0),代入 x+4y-4, 因为 0+4×0-4=-4<0, 所以原点(0,0)在 x+4y-4<0 表示的平面区域内, 所以不等式 x+4y<4 表示的平面区域在直线 x+4y=4 的左下方. 所以 x+4y<4 表示的平面区域如图阴影部分所示. 反思与感悟 画二元一次不等式表示的平面区域常采用 “直线定界, 特殊点定域” 的方法. 特 别是当 C≠0 时,常把原点(0,0)作为测试点,当 C=0 时,常把(0,1)或(1,0)作为测试点. 跟踪训练 2 不等式 x-2y+6>0 表示的平面区域在直线 x-2y+6=0 的( ) A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 答案 B 解析 在平面直角坐标系中画出直线 x-2y+6=0, 观察图象知原点在直线的右下方,将原点(0,0)代入 x-2y+6,得 0-0+6=6>0,所以原点 (0,0)在不等式 x-2y+6>0 表示的平面区域内,故选 B. 类型三 二元一次不等式(组) 表示的 平面区域 例 3 用平面区域表示不等式组? ? ?y<-3x+12, ?x<2y ? 的解集. 解 不等式 y<-3x+12, 即 3x+y-12<0, 表示的平面区域在直线 3x+y-12=0 的左下方; 不等式 x<2y,即 x-2y<0,表示的是直线 x-2y=0 左上方的区域.取两区域重叠的部分, 如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集. 引申探究 |x|<|2y|表示什么区域? 解 |x|<|2y|等价于 x <(2y) , 即(x-2y)(x+2y)<0, 即? ? ?x-2y<0, ?x+2y>0 ? 2 2 或? ? ?x-2y>0, ?x+2y<0, ? 其表示的平面区域如图阴影部分所示. 反思与

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