湖北省部分重点中学2013-2014学年高二上学期期中联考数学理试题新人教A版


2013年秋季湖北省部分重点中学期中联考 高二数学试卷(理科)
命题学校:鄂州市二中 命题教师:潘内阁 何慧 审题教师:王志勇 考试时间:2013 年 11 月 11 日上午 8:00~10:00 试卷满分 150 分 ★祝考试顺利★ 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.下列叙述错误 的是( ) .. A.若事件 A 发生的概率为 P ? A? ,则 0 ? P ? A? ? 1 B.互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件 C.两个对立事件的概率之和为 1 D.对于任意两个事件 A 和 B,都有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 2.已知过 A ? ?1, a ? 、 B ? a,8? 两点的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 a 的值为( A. ?10 B. 2 C. 5 D. 17 )

3.有 5 名学生和 2 名教师排成一排拍照,2 名教师相邻但不排在两端,不同排法数共有 ( ). A. 1440 种 B. 720 种 C. 960 种 D. 480 种

4.某地共有 10 万户居民,按城市居民和农村居民分两层用分层抽样的方法从中随机调查了 1000 户,拥有电脑的家庭调查结果如下表: 电脑 城市 农村 有 无 由此估计该地区无电脑的农村总户数为( A.1.68 万户 B.3 万户 432 48 ) C.1.2 万户 D.1.8 万户 400 120

5.在所有首位不为 0 的八位数电话号码中, 任取一个电话号码, 头两位数码至少有一个不超 过 8 的概率是( ) A.

44 45

B.

89 90
2

C.
2

8 9

D.

1 90


6.已知半径为 1 的动圆与定圆 ? x ? 5 ? ? ? y ? 6 ? ? 9 相切, 则动圆圆心的轨迹方程是 ( A. ? x ? 5 ? ? ? y ? 6 ? ? 16
2 2

B. ? x ? 5 ? ? ? y ? 6 ? ? 16 或 ? x ? 5 ? ? ? y ? 6 ? ? 4
2 2 2 2

C. ? x ? 5 ? ? ? y ? 6 ? ? 4
2 2

D. ? x ? 5 ? ? ? y ? 6 ? ? 16 或 ? x ? 5 ? ? ? y ? 6 ? ? 4
2 2 2 2

7.已知 x 取值范围为[0,10],如图输入一个数 x,使得输出的 y 满足 6 ? y ? 8 的概率为 ( ) 开始 输入 x x>7? 是 否

y=x-1
输出 y 结束

y=x+1

1

A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

8.在一次考试成绩的统计中,得到考试人数为 49 人,平均分为 70 分,方差为 25,后来发 现有一个分数 70 分统计掉了,考试人数应为 50 人,又发现这 50 人每人都少算了 5 分, 则数据更正后的平均分和方差分别为( ) A.75, 24.5 B.70, 25 C.75, 25 D.75, 25.5 9.有 4 名教师与 6 名学生组成两队去登山, 要求每队有 2 名教师和 3 名学生, 不同的安排方 案共有( )种. A.60 B.120 C.30 D.360 10.有一种动漫游戏的游戏规则是游戏者摇动一下手柄,显示屏上就 会出现 2 个桔子,2 个苹果,2 个香蕉和 2 个梨随机填到如图八 个格子中,每个格子放一个水果,若放好之后每行、每列的水果 种类各不相同就中特等奖,则游戏者游戏一次中特等奖的概率是( A.

) (第 10 题)

2 35

B.

3 35

C.

1 35

D.

6 35

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书 写不清,模棱两可均不得分. 11.高二(1)班共有 60 人,学号依次为 1,2,3,┅,60,现用系统抽样的办法抽取一个 容量为 4 的样本,已知学号为 8,38,53 的同学在样本中,那么样本中还有一个同学的 学号应为____________. 12.已知圆 C 经过圆 x2 ? y 2 ? 1 ? 0 和圆 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 的两个交点,且圆心 C 的横坐标 为 1,则圆 C 方程为______________. 13.已知有如图程序,若输入 x ? 234 ,则输出结果是____________. INPUT “整数 x”; x (其中算术运算符\和 分别用来取商和取余数 ) .........MOD . . . .......... y=0 14.某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应 DO 数据: r= x MOD 10 x 2 4 5 6 8 x=x\10 y 40 60 50 70 y=y*10+r ? ? 6.5x ? 17.5 ,可 已知 y 对 x 呈线性相关关系,且回归方程为 y LOOP UNTIL x=0 预测销售额为 82.5 万元时约需____________万元广告费,工作人 PRINT y 员不慎将表格中 y 的第一个数据遗失,该数据为________. END n 15.已知 1 ? x ? x

?

2

1? ?? ? x ? ? 的展开式中没有常数项, n ? N x ? ?
3

*

,且

(第 13 题)

4 ? n ? 9 ,则 n 的值可以是____________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)已知曲线 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

(1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若 m ? 4 ,斜率为 2 的直线 l 被曲线 C 截得的弦长为

4 5 ,求直线 l 的方程。 5

2

17.(本题满分 12 分)某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准,必须先了解全市居 民日常用电量的分布情况.现采用抽样调查的方式,获得了 n 位居民在 2012 年的月均 用电量(单位:度)数据,样本统计结果如下图表: 分组 频数 频率 [0, 10) 0.05 [10,20) 0.10 [20,30) [30,40) [40,50) 30 0.25 0.15

[50,60] 15 合计 n 1 (1)求出 n 值; (2)求月均用电量的中位数与平均数估计值; (3)若月用电紧张指数 y 与月均用电量 x(单位:度)满足如下关系式: y ? 将频率视为概率,请估算用电紧张指数 y ? 0.7 的概率.

1 ? x ? 0.3 , 100

18. (本题满分 12 分)有如下程序框图,它表示输入 x,求函数 y=f(x)的值的一个算法, (1)令输入 n=3,请写出输出 y=f(x)的解析式; (2)请根据(1)直接写出当输入 n=10 时输出 f(x)的解析式,若此时的 f(x)满足:

f ( x) ? a10 ( x ?1)10 ? a9 ( x ?1)9 ? … ?a1 ( x ?1) ? a0 ,求 a0和a8 .

开始

输 入 n,x
y ?1

i ?1 i ? n?
是 否

i=i+1
输出 y

y ? y?x?i
结束

3

19. (本题满分 12 分)某学校为了了解高二学生月考的数学成绩,从甲、乙两班各抽取 10 名学生组成样本,并统计他们的成绩如下: 甲班:97,81,91,80,89,79,92,83,85,93 乙班:60,80,87,77,96,64,76,60,84,96 (1)根据抽取结果填写茎叶图,并根据所填写的茎叶图,对甲、乙两班的成绩做对比,写 出两个统计结论; (2) 学校决定从样本中 88 分以上的 7 名学生中再随机选取 4 位同学参加座谈活动, 求至少 含有一名乙班学生并且甲班第一名或第二名(指甲班样本中的排名)能被抽到的概率.

20. (本题满分 13 分)甲、乙两人都准备于下午 12:00 — 13:00 之间到某车站乘某路公交 车外出,设在 12: 00 — 13: 00 之间有四班该路公交车开出,已知开车时间分别为 12:20 12:30 12:40 13:00 ,分别求他们在下述情况下坐同一班车的概率.

(1)他们各自选择乘坐每一班车是等可能的; (2)他们各自到达车站的时刻是等可能的(有车就乘) .

6? x ? 21. (本题满分 14 分)已知圆 A: 曲线 B: ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1,
2

4 ? y 2 和直线 l : y ? x .

(1)若点 M、N、P 分别是圆 A、曲线 B 和直线 l 上的任意点,求 PM ? PN 的最小值; (2)已知动直线 m: ? a ? 2? x ? by ? 2a ? 3 ? 0 ? a, b ? R ? 与圆 A 相交于 S、T 两点,又点 Q 的坐标是 ? a, b ? . ①判断点 Q 与圆 A 的位置关系; ②求证:当实数 a , b 的值发生变化时,经过 S、T、Q 三点的圆总过定点,并求出这个 定点坐标.

4

2013年秋季湖北省部分重点中学期中联考 高二年级数学试卷(理科) 参考答案 一、选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 B 6 D 7 C 8 A 9 A 10 B

二、填空题 11. )23; 14. 10, 30; 三、解答题 16.解: (1) x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2

12. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ;
2 2

13. 432;

15. 5 和 9;

D=-2,E=-4,F= m

D 2 ? E 2 ? 4 F =20- 4 m ? 0
m ? 5 …………5 分

…………3 分

?2 5? 5 (2)圆心为 (1, 2) ,半径 r=1,圆心到直线 l 的距离是 1 ? ? ? ? ? 5 ? 5 ? ?
…………8 分 设直线 l 的方程是 y ? 2 x ? b ,则有

2

2 ?1 ? 2 ? b 5

?

5 ,得 b ? ?1 5

所以直线 l 的方程是 y ? 2x ? 1或y ? 2x ?1 …………12 分 17. 解: (1)第 3 组的频率=0.030×10=0.30 样本容量 n=

30 =100 0.3

…………3 分

(2) 由 0.05+0.1+0.3=0.45,0.5 ? 0.45 ? 0.05 ,

0.05 ? 2, ?中位数是30 ? 2 ? 32 0.025
…………6 分

x ? 5 ? 0.05 ? 15 ? 0.1 ? 25 ? 0.3 ? 35 ? 0.25 ? 45 ? 0.15 ? 55 ? 0.15 ? 33 …
所以平均数是 33 . (3)由 y>70% 得 …………9 分 …………10 分 …………12 分

1 x ? 0.7 ,∴x>40 100

所以,用电紧张指数 y>0.7 的概率=0.15+0.15=0.30

18. 解:(1)由程序框图可得:执行循环第一次 i=2, f(x)=x+2.

5

执行循环第二次 i ? 3, ( f x) ? ? x ? 2? x ? 3 ? x2 ? 2x ? 3 执行循环第三次 i ? 4, f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 3x ? 4 ,运行结束

? f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 3x ? 4 …………4 分
(2) f(x)= x +2x +3x +…+10x+11…………6 分 x +2x +3x +…+10x+11= a10 ( x ?1)10 ? a9 ( x ?1)9 ?
10 9 8 10 9 8

a1 ( x ?1) ? a0
…………8 分

令 x=1,得 a0 =66
10 9

f(x)=[(x﹣1)+1] +2[(x﹣1)+1] +…+10[(x﹣1)+1]+11 == a10 ( x ?1)10 ? a9 ( x ?1)9 ? 所以 a8=C10 +2C9 +3C8 =66
2 1 0

a1( x ?1) ? a0

…………10 分 …………12 分

19. 解: (1)茎叶图如图.…………3 分 统计结论(答某两个即可) : ①甲班的平均成绩高于乙班的平均成绩; ②甲班的成绩比乙班的成绩更稳定; ③甲班成绩的中位数为 87,乙班成绩的中位数为 78.5; ④甲班的成绩基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近, 乙班的成绩分布较为分散.…………7 分 (2)对乙班选取的人数进行分类:
1 3 乙班选 1 人的可能结果数是 C2 ? C5 ? 1 ? 18 种 2 2 2 乙班选 2 人的可能结果数是 C 2 ? C5 ? C3 ? 7 种

?

?

?

?

4 随机选取的总的可能结果数是 C7 ? 35 种,? 所求概率为 P=

18 ? 7 5 = 35 7

(12 分)

(可根据解答情况酌情给分)

20.解: (1)他们乘车总的可能结果数为 4 ? 4=16 种,…………2 分 乘同一班车的可能结果数为 4 种,…………4 分

6

由古典概型知甲乙乘同一班车的概率为 P=

4 1 = …………6 分 16 4

(2)利用几何概型,设甲到达时刻为 x,乙到达时刻为 y,令 0 ? x ? 60,0 ? y ? 60 y 60 y 60 40 30 20 O 60 x O 20 30 40 ② 60 x



试验总结果构成区域为图①…………8 分 乘坐同一班车的事件所构成的区域为图②中 4 个黑色小方格…………11 分 所求概率为

20 ? 20 ? 10 ?10 ? 10 ?10 ? 20 ? 20 5 ? …………13 分 60 ? 60 18
2

21.解: (1)曲线 B 为以(6,0)为圆心,2 为半径的圆的左半部分…………1 分
2 作圆 A 关于直线 l 对称的圆 C: x ? ? y ? 2 ? ? 1 ,M 关于直线 l 的对称点 M 1

则 PM ? PN ? PM1 ? PN ? M1N 当 M 1 、N、P 三点共线时等号成立 …………3 分 又因为 M1 N 的最小值是 CB ? 1 ? 2 ? 2 10 ? 3 所以 PM ? PN 最小值是2 10 ? 3 (2)①圆心 A 到直线 m 的距离是 d= …………5 分

2 ? a ? 2 ? ? 2a ? 3

? a ? 2 ? ? b2
2
2

?

1

? a ? 2? ? b2
2

?1

所以点 Q ? a, b ? 到圆心 A 的距离

? a ? 2?

? b2 >1,所以点在圆外.
…………8 分

②因为 k AQ ? kST ?

b a?2 ? ? ?1 所以直线 AQ 与直线 ST 垂直,设垂足为 H, a ? 2 ?b
………10 分

AS ? 1 , AH ?

2

1

? a ? 2?

2

? b2

, AQ ?

? a ? 2?

2

? b2 所以 AS ? AH ? AQ

2

所以直线 AS 垂直直线 SQ,同理直线 AT 垂直直线 TQ,所以 A、S、T、Q 四点共圆, …………12 分 所以过 S、T、Q 三点的圆必过定点 A(2,0)…………14 分

7


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