2017-2018学年高中数学第一章+习题课+正弦定理和余弦定理+Word版含答案

学习目标 1.学会利用三角形中的隐含条件.2.进一步熟练掌握正弦、 余弦定理在解各类三角 形中的应用.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.最新试卷十 年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。 知识点一 有关三角形的隐含条件 思考 我们知道 y=sinx 在区间(0,π )上不单调,所以由 0<α <β <π 得不到 sinα < sinβ .那么由 A,B 为△ABC 的内角且 A<B,能得到 sinA<sinB 吗?为什么? 答案 能.由于三角形中大边对大角, ∴当 A<B 时,有 a<b. 由正弦定理,得 2RsinA<2RsinB, 从而有 sinA<sinB. 梳理 “三角形”这一条件隐含着丰富的信息,利用这些信息可以得到富有三角形特色的变 形和结论: (1)由 A+B+C=180°可得 sin(A+B)=sin_C,cos(A+B)=-cos_C, tan(A+B)=-tan_C,sin cos A+B =cos , 2 2 C A+B 2 =sin . 2 C (2)由三角形的几何性质可得 acosC+ccosA=b,bcosC+ccosB=a, acosB+bcosA=c. (3)由大边对大角可得 sinA>sinB?A>B. (4)由锐角△ABC 可得 sinA>cosB. 知识点二 解三角形的基本类型 完成下表: 已知条件 三边 两边及其夹角 两边及一边对角 一边及两角 适用定理 余弦定理 余弦定理 正弦定理或余弦定理 正弦定理 解的个数 1 1 0,1,2 1 知识点三 三角形有关问题的解决思路 这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为代数问题或者三角恒等式, 再利用三角恒等变换解决问题,中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等. 类型一 利用正弦、余弦定理解三角形 2 例 1 在△ABC 中,若 c·cosB=b·cosC,cosA= ,求 sinB 的值. 3 解 由 c·cosB=b·cosC,结合正弦定理,得 sinCcosB=sinBcosC, 故 sin(B-C)=0,∵0<B<π ,0<C<π , ∴-π <B-C<π ,∴B-C=0,B=C,故 b=c. 2 2 2 ∵cosA= ,∴由余弦定理,得 3a =2b , 3 再由余弦定理,得 cosB= 故 sinB= 引申探究 1.对于例 1 中的条件,c·cosB=b·cosC,能否使用余弦定理? 30 . 6 6 , 6 a2+c2-b2 a2+b2-c2 解 由余弦定理,得 c· =b· . 2ac 2ab 化简得 a +c -b =a +b -c , ∴c =b ,从而 c=b. 2.例 1 中的条件 c·cosB=b·cosC 的几何意义是什么? 解 如图, 2 2 2 2 2 2 2 2 作 AD⊥BC,垂足为 D. 则 c·cosB=BD,b·cosC=CD. ∴ccosB=bcosC 的几何意义为边 AB,AC 在 BC 边上的射影相等. 反思与感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段; (2)解题时要画出三角形,将题目条件直观化,根据题目条件,灵活选择公式. 跟踪训练 1 在△ABC 中,已知 b =ac,a -c =ac-bc. (1)求 A 的大小; (2)求 2 2 2 bsinB 的值. c 解 (1)由题意知, b2+c2-a2 ac+bc-ac 1 b2=ac? cosA= = = , 2bc 2bc 2 π ∵A∈(0,π ),∴A= . 3 (2)由 b =ac,得 = , ∴ 2 b a c b bsinB a sinA 3 =sinB· =sinB· =sinA= . c b sinB 2 类型二 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用 例 2 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,4sin (1)求 A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b 和 c 的值. 解 (1)由 4sin 2 2 B+C 2 7 -cos2A= . 2 B+C 7 -cos2A= 及 A+B+C=180°, 2 2 7 2 得 2-2cos A+1= , 2 4(1+cosA)-4cos A=5, 即 4cos A-4cosA+1=0, 1 2 ∴(2cosA-1) =0,解得 cosA= . 2 ∵0°<A<180°,∴A=60°. 2 2 (2)由余弦定理,得 cosA= 2 2 2 b2+c2-a2 . 2bc 1 b +c -a 1 ∵cosA= ,∴ = , 2 2bc 2 化简并整理,得(b+c) -a =3bc, 将 a= 3,b+c=3 代入上式,得 bc=2. 则由? ?b+c=3, ? ? ?bc=2, 2 2 解得? ?b=1, ? ? ?c=2 或? ?b=2, ? ? ?c=1. 反思与感悟 (1)解三角形的实质是解方程,利用正弦、余弦定理,通过边、角互化,建立 未知量的代数方程或三角方程.(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检 验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用. 6 A+C 跟踪训练 2 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, a2+c2-b2= ac.求 2sin2 5 2 +sin2B 的值. 解 由已知得 a2+c2-b2 3 = , 2ac 5 3 所以 cosB= , 5 4 2 sinB= 1-cos B= , 5 所以 2sin 2 A+C +sin2B=2cos +sin2B 2 2 2 B =1+cosB+2sinBcosB 3 4 3 64 =1+ +2× × = . 5 5 5 25 类型三 正弦、余弦定理与平面向量的综合应用 3 → → 例

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