2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习:第一章3.3 全称命题与特称命题的否定 1 含解析

[基础达标] 1.已知命题 p:任意 x∈N,2x+1∈N,则 p 的否定为( A.任意 x∈N,2x+1?N B.存在 x∈N,2x+1?N C.存在 x∈N,2x+1∈N D.存在 x?N,2x+1∈N 解析:选 B.p 为全称命题,其否定为:存在 x∈N,2x+1?N. 2.命题“存在 x∈R,x2-x<0”的否定是( A.存在 x∈R,x -x≥0 C.任意 x∈R,x2-x≥0 2 ) ) B.存在 x∈R,x2-2x>0 D.任意 x∈R,x2-x<0 ) 解析:选 C.命题“存在 x∈R,x2-x<0 的否定是:任意 x∈R,x2-x≥0”. 3.命题“原函数与反函数的图像关于 y=x 对称”的否定是( A.原函数与反函数的图像关于 y=-x 对称 B.原函数不与反函数的图像关于 y=x 对称 C.存在一个函数,其原函数与反函数的图像不关于 y=x 对称 D.存在原函数与反函数的图像关于 y=x 对称 解析:选 C.命题“任意 x∈M,p(x)”的否定是“存在 x∈M,非 p(x)”. 4.对下列命题的否定说法错误的是( ) A.p:能被 3 整除的整数是奇数;非 p:存在一个能被 3 整除的整数不是奇数 B.p:每一个四边形的四个顶点共圆;非 p:存在一个四边形的四个顶点不共圆 C.p:有的三角形为正三角形;非 p:所有的三角形都不是正三角形 D.p:存在 x∈R,x2+2x+2≤0;非 p:当 x2+2x+2>0 时,x∈R 解析:选 D.特称命题的否定为全称命题. 5.若命题“存在 x∈R,使得 x2+mx+2m-3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.[-6,-2] C.(2,6) 2 B.[2,6] D.(-6,-2) 解析:选 B.由题知,任意 x∈R,x +mx+2m-3≥0 恒成立为真,∴Δ≤0 可得 m∈[2, 6],选 B. 6.命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________. 解析:这是一个全称命题,其否定为存在 x∈R,使|x-2|+|x-4|≤3 成立. 答案:存在 x∈R,使|x-2|+|x-4|≤3 成立 7.命题“存在 x,y<0,x2+y2≥2xy”的否定为________. 解析:这是一个特称命题,其否定为:对任意 x,y<0,都有 x2+y2<2xy. 答案:对任意 x,y<0,x2+y2<2xy 恒成立 8.已知命题 p:存在 x∈R,x2+2ax+a≤0.若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析: p 为特称命题, 又是假命题, 故其否定: “对任意 x∈R, x2+2ax+a>0 恒成立” 为真命题,故 Δ=(2a)2-4a<0,解得 a∈(0,1). 答案:(0,1) 9.写出下列全称命题或特称命题的否定. (1)存在 α0,β 0∈Z,使 sin(α0+β0)=sin α 0+sin β 0; 1 (2)对任意的 x∈R,都有 x2-x+ ≥0; 4 (3)存在 n∈N,2n>1 000; (4)每条直线在 y 轴上都有一个截距. 解:(1)特称命题的否定为: 对任意的 α、β∈Z,使 sin(α+β)≠sin α+sin β. (2)全称命题的否定为: 1 存在 x∈R,使 x2-x+ <0. 4 (3)特称命题的否定为: 对任意的 n∈N,有 2n≤1 000. (4)全称命题的否定为: 存在一条直线在 y 轴上没有截距. 10.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)三角形的内角和为 180°; (2)每个二次函数的图像都开口向下; (3)存在一个四边形不是平行四边形. 解:(1)是全称命题且为真命题. 命题的否定:三角形的内角和不全为 180°,即存在一个三角形其内角和不等于 180°. (2)是全称命题且为假命题. 命题的否定:存在一个二次函数的图像开口不向下. (3)是特称命题且为真命题. 命题的否定:任意一个四边形都是平行四边形. [能力提升] π 1.若“任意 x∈[0, ],sin x+ 3cos x<m”为假命题,则实数 m 的取值范围为( 2 A.m<1 C.m≤2 B.m≤1 D.1≤m≤2 ) π π 解析:选 C.令 f(x)=sin x+ 3cos x=2sin(x+ ),x∈[0, ], 3 2 π π π 可知 f(x)在[0, ]上为增函数,在( , ]上为减函数, 6 6 2 π π 由于 f(0)= 3,f( )=2,f( )=1, 6 2 所以 1≤f(x)≤2, π π 由于“任意 x∈[0, ],sin x+ 3cos x<m”为假命题,则其否定“存在 x∈[0, ], 2 2 sin x+ 3cos x≥m”为真命题,所以 m≤f(x)max=2. π 2.若“存在 x∈[0, ], sin x+ 3cos x<m”为假命题, 则实数 m 的取值范围是________. 2 π π 解析:令 f(x)=sin x+ 3cos x=2sin(x+ ),x∈[0, ], 3 2 π π π 可知 f(x)在[0, ]上为增函数,在( , ]上为减函数, 6 6 2 π π 由于 f(0)= 3,f( )=2,f( )=1,所以 1≤f(x)≤2, 6 2 π π 由于“存在 x∈[0, ],sin x+ 3cos x<m”为假命题,则其否定“对任意 x∈[0, ], 2 2 sin x+ 3cos x≥m”为真命题,所以 m≤f(x)min=1. 答案:(-∞,1] 3.命题“任意 x∈{x|x≥1},x2+x+m≥0”是假命题,求实数 m 的取值范围. 解:若原命题是真命题, 即对于任意 x∈{x|x≥1},x2+x+m≥0 恒成立, 令 f(x)=x2+x+m,则 f(1)≥0,即 2+m≥0,解得 m≥-2. 要使原命题是假命题,则实数 m 的取值范围是 m<-2. 4.已知两个命题:r(x

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