2015年杨浦区高三二模学业质量调研数学试卷及答案(2015.4).

杨浦区 2014 学年度第二学期高三年级学业质量调研数学学科试卷 2015.4
一、填空题:

9 ? 6 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6 ,则集合 {1, 2,3, 4,5,6,7} 的所有非空子集的交替和的总和为
二、选择题: 15、 “ a ? ?2 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 ( x ? R )只有一个零点”的( A. 充分非必要条件; B. 必要非充分条件; )



1? x 1、函数 f ( x) ? 的定义域是 ; x?2 x2 ? y 2 ? 1} , B ? {( x, y) | x ? Z , y ? Z } ,则 A I B 的元素个数 2、若集合 A ? {( x, y ) | 2
为 3、若 ;

C. 充要条件; D. 既非充分也非必要条件; )

16、在复平面中,满足等式 | z ? 1| ? | z ? 1|? 2 的 z 所对应点的轨迹是( A. 双曲线; ; B. 双曲线的一支; C. 一条射线;

D. 两条射线;

4x 2

2x 1


? 3 ,则 x 的值是

1 6 ) 的展开式中的常数项的值是 ;4、 (2 x ? x

5、 某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为:9.7、9.9、10.1、10.2、10.1,则这组数据的方差 为

6、 对数不等式 (1 ? log3 x)(a ? log3 x) ? 0 的解集是 ( , 9) , 则实数 a 的值为 ;

1 3

1 与二次函数 g ( x) ? ax2 ? bx 的图像有且仅有两个不同的公共点 x y ) A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ,则 1 ? ( y2 1 1 1 1 A. 2 或 B. ?2 或 ? ;C. 2 或 ? ;D. ?2 或 ; 2; 2 2 2
17、设反比例函数 f ( x ) ? 18、如图,设点 A 是单位圆上的一个定点,动点 P 从点 A 出发,在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l ,弦 AP 的长为 d ,则函数 d ? f (l ) 的图像大致是( )

7、极坐标方程 ? ? sin(? ?

?
3

) 所表示的曲线围成的图形面积为

; ;

8、如图,根据该程序框图,若输出的 y 为 2,则输入的 x 的值为 9、若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则

ab 的取值范围是

; ,

10、已知 e1 , e2 是不平行的向量,设 a ? e1 ? ke2 则 a 与 b 共线的充要条件是实数 k 等于
2

b ? ke1 ? e2 ,

; ; 三、解答题 19、如图,一条东西走向的大江,其河岸 A 处有人要渡江到对岸 B 处,江面上有一座 大桥 AC ,已知 B 在 A 的西南方向, C 在 A 的南偏西 15°, BC ? 10 公里,现有两种渡江方案: 方案一: 开车从大桥 AC 渡江到 C 处, 然后再到 B 处; 方案二: 直接坐船从 A 处渡江到对岸 B 处; 若车速为每小时 60 公里,船速为每小时 45 公里(不考虑水流速度) ,为了尽快到达 B 处,应选择 哪个方案?并说明理由;

11、已知方程 x ? px ? 1 ? 0 ( p ? R) 的两根为 x1 , x 2 ,若 | x1 ? x2 |? 1,则实数 p 的值为

12、 已知从上海飞往拉萨的航班每天有 5 班,现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨, 则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为
*


2 2 2

13、 已知 n ? N ,在坐标平面中有斜率为 n 的直线 ln 与圆 x ? y ? n 相切,且 ln 交 y 轴的 正半轴于点 Pn ,交 x 轴于点 Qn ,则 lim
n ??
*

| PnQn | 的值为 2n 2



14、对于自然数集 N 的每一个非空子集,我们定义“交替和”如下:把子集中的元素按从大到小 的 顺 序 排 列 , 然 后 从 最 大 的 数 开 始 交 替 地 加 减 各 数 , 例 如 {1, 2, 4,6,9} 的 交 替 和 是
1

23、已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F ,线段 PQ 为抛物线 C 的一条弦;

20、 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 上的动点; (1)试确定点 F 的位置,使得 D1 E ? 平面 AB1F ; (2)当 D1 E ? 平面 AB1F 时,求二面角 C1 ? EF ? A 的大小(结果用反三角函数表示)

1 1 为定值; ? FP FQ (2)求证: x 轴的正半轴上存在定点 M ,对过点 M 的任意弦 PQ , 1 1 ? 都有 为定值; 2 MP MQ 2
(1)若弦 PQ 过焦点 F ,求证: (3)对于(2)中的点 M 及弦 PQ ,设 PM ? ? MQ ,点 N 在 x 轴负半轴上, 且满足 NM ? ( NP ? ? NQ) ,求 N 点坐标;

杨浦区 2014 学年度第二学期高三年级学业质量调研数学学科试卷 2015.04 参考答案一、填空题 1、 (?2,1] ; 2. 3; 3. log2 3 ; 4. 60; 5. 0.032; 6. 2;7.
21、已知函数 f ( x) ?

? ; 8. 4; 4

t ? 3x ? 1 ( t ? R )是奇函数; 3x ? 1
?1

9. ab ? 9 ;

10. ±1; 11. ? 3 或 ? 5 ;12. 16. C; 17. B;

12 1 ; 13. ; 14. 448; 2 25
18. C;

(1)求 t 的值; (2)求 f ( x ) 的反函数 f

( x) ;
1? x ; m

二、选择题 15. D;

?1 (3)对于任意 m ? 0 ,解不等式: f ( x) ? log 3

三、解答题 19、 方案一耗时约 0.48 小时,方案二耗时约 0.43 小时,所以选择方案二; 20、 (1)中点;
?1 (2) ? ? arctan 2 2 ;21、 (1)1; (2) f ( x) ? log 3

1? x ; 1? x

22、 数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? r ( r ? 0 ) ,令 bn ? an ? an?1 , {bn } 是公比为 q ( q ? 0, q ? ?1 ) 的等比数列,设 cn ? a2 n?1 ? a2 n ; (1)求证: cn ? (1 ? r ) ? qn?1 ; (2)设 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,求 lim (3)设 {cn } 的前 n 项积为 Tn ,当 q ? ? 值时, Tn 取到最小值;

(3)①当 0 ? m ? 2 时, 1 ? m ? x ? 1 ;②当 m ? 2 时, ?1 ? x ? 1 ; 22、 (1) a2n ? r ? qn?1 , a2 n?1 ? q n?1 ,即 cn ? (r ? 1)qn?1 ;

1 的值; n ?? S n

(2)①当 0 ?| q |? 1, lim

1 1? q 1 ;②当 | q |? 1 , lim ? ? 0; n ?? S n ?? S 1? r n n

1 时, Tn 的最大值在 n ? 8 和 n ? 9 的时候取到,求 n 为何 2

(3) n ? 7 或 10 时,取到最小值;23、 (1)

2 1 ; (2) M ( p, 0) ,定值为 2 ; (3) N (? p, 0) ; p p

2


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