高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义知识导航学案苏教版选修

3.3

复数的几何意义

知识梳理 1.复数的点表示 如图 3-3-1 所示,点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 Z=a+bi 可用点 Z(a,b)表示,这个建 立直角坐标系来表示复数的平面叫做 _____________ , x 轴叫做 _____________,y 轴叫做 _____________.显然,实轴上的点都是实数;除了____________外,虚轴上的点都表示纯虚 数.

图 3-3-1 按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的 每一个点,有惟一的一个复数和它对应.由此可知,复数集 C 和复平面内所有的点组成的集 合是一一对应的,即_____________. 2.复数的向量表示 设复平面内的点 Z 表示复数 Z=a+bi,连结 OZ,显然向量 OZ 是由点 Z 惟一确定的;反 过来,点 Z(相对于原点来说)也是由向量 OZ 惟一确定的.因此,复数集 C 与复平面内的 向量所构成的集合也是一一对应的(实数 O 与零向量对应) ,即_____________. 3.复数的模 (1)向量 OZ 的模 r,叫做复数 Z=a+bi 的_____________,记作|Z|或|a+bi|.如果 b=0,那 么 Z=a+bi 是 一 个 实 数 a, 它 的 模 等 于 |a| ( 也 就 是 a 的 绝 对 值 ) . 由 模 的 定 义 知 |Z|=|a+bi|=r=_____________.(r≥0,r∈R) (2)为方便起见,我们常把复数 Z=a+bi 说成点 Z 或说成向量 OZ ,并且规定,相等的向量 表示_____________. 4.复数的加减法的几何意义 复数的加、减法的几何意义,即为向量的合成与分解:平行四边形法则,可简化成三角形法 则 , 如 图 3-3-2 , OZ 表 示 复 数 _____________ , Z1 Z 2 表 示 _____________ , 即 OZ =_____________, Z1 Z 2 =_____________.

图 3-3-2 知识导学 复数的向量表示, 复数的点表示, 概念不容易理解.复数 Z=a+bi,复平面内的点 Z(a,b),

以原点为起点的平面向量 OZ 具有一一对应关系,另外,复数的加减法的几何意义,实际上 遵循的是向量的平行四边形法则(三角形法则) ,因此复习平面向量的有关知识是必要的 . 可以采用相类比的办法来理解三者的对应关系及复数加减法的几何意义. 疑难突破 1.复数与点、向量间的对应 每一个复数,在复平面内都有惟一的点和它对应;反过来,每一个点都有惟一的复数和 它对应.因此复数集 C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应.因为有这种一一对应关系, 才有复数的点表示.同理,复数 Z=a+bi 与平面内以原点为起点的向量也具有一一对应关系, 因此也有复数的向量表示. 2.复数加法的几何意义 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则 . 如图 3-3-3 所示,已知复数 Z1=x1+y1i,Z2=x2+y2i 及其对应的向量 OZ =(x1,y1), OZ 2 =(x2,y2).以 OZ1 , OZ 2 为两条 邻边作平行四边边形 OZ1ZZ2,则对角线 OZ 表示的向量 OZ = OZ1 + OZ 2 =(x1+x2,y1+y2),这 正是两个复数之和 Z1+Z2 所对应的有序实数对.

图 3-3-3 3.复数减法的几何意义 实质为平面向量的三角形法则,向量 Z 2 Z1 对应两个复数的差 Z1-Z2,作 OZ ? Z 2 Z1 , 则点 Z 也对应复数 Z1-Z2,要特别注意的是 Z 2 Z1 差向量指向的是被减数. 典题精讲 【例 1】 在复平面内,点 A、B、C 分别对应复数 Z1=1+i,Z2=5+i,Z3=3+3i,以 AB、AC 为邻边 作一平行四边形 ABCD,求 D 对应的复数 Z4 及 AD 的长. 思路分析:本题考查复数的几何意义,首先画出图形,结合向量用已知的向量表示所求的向 量再得出所求的复数. 解:由复数的加减法的几何意义

AD ? AB ? AC 即 Z4-Z1=(Z2-Z1)+(Z3-Z1)
∴Z4=Z2+Z3-Z1=7+3i |AD|=|Z4-Z1|=|(7+3i)-(1+i)=|6+2i|= 2 10 .

绿色通道:复数的加减法的几何意义,复数的向量表示本身就是研究图形的有关性质,因此 在解题时要注意利用图形的平面性质去解决有关问题. 【变式训练】 设复平面上两个点 Z1 和 Z2 所对应的复数 Z1=1,Z2=2+i,以这两个点为顶点作 正三角形,求正三角形的第三个顶点 Z3 所对应的复数 Z3. 思路分析:本题考查复数的几何意义及运用图形的能力.要注意先由题意画出符合条件的图 形共有 2 个.

[解]如图, 作 Z2A, Z3B 分别垂直于 x 轴, 已知|Z1A|=1, |AZ2|=1, |Z1Z2|= 2 , ∵△Z1Z2Z3 为正三角形 ∴|Z1Z3|=|Z1Z2|= 2 ,∠Z3Z1B=75°

故有|BZ3|=|Z1Z3|sin75°=

1? 3 3 ?1 ,|BZ1|=|Z1Z3|cos75°= . 2 2

|OB|=|OZ1|-|BZ1|=

3? 3 . 2

1 1 (3- 3 )+ (1+ 3 )i 同样可得. 2 2 1 1 Z3′= ( 3 +3)+ (1- 3 )i. 2 2
∴Z3= 【例 2】 已知点集 D={Z||Z+1+ 3i |=1,Z∈C},试求|Z|的最大值和最小值. 思路分析:本题考查复数模的意义|Z+1+ 3i |=1 可看出 Z1 到点(-1, ? 3 )的距离为 1,因 此可画出图形结合图形求解.

解:点集 D 的图象为以点 C(-1, ? 3 )为圆心,以 1 为半径的圆,圆上任一点 P 对应的复 数 Z,则| OP |=| Z1 |由图知,当 OP 过圆心 C(-1, ? 3 )时与圆交于 A、B,则|Z|的最 小 值 是 |OA|=|OC|-1=

(?1) 2 ? (? 3 ) 2 -1=2-1=1 , 即 |Z|min=1 ; |Z| 的 最 大 值 是

|OB|=|OC|+1=2+1=3,即|Z|max=3.

绿色通道: 把代数问题转化为几何问题, 这是数形转化的一种形态, 是常用的数学思维方法. 黑色陷阱: 由于此题中的条件具有较明显的几何意义, 最好采用数形结合的方法处理可简化 运算.若用代数方法化简将会很复杂. 【变式训练】 已知 Z=3+ai 且|Z-2|<2,求实数 a 的取值范围. 思路分析: 本题可以从代数方法入手去掉模得出关于 a 的不等式; 也可从几何意义出发得出 对应的图形,利用数形结合解决. [解法 1]利用模的意义,从两个已知条件中消去 Z ∵Z=3+ai(a∈R)由|Z-2|<2 得|3+ai-2|<2 即|1+ai|<2, ∴ 12 ? a 2 <2,解得 ? 3 <a< 3 . [解法 2]利用复数的几何意义,由条件|Z-2|<2 可知 Z 在复平面内对应的点 Z,在以(2, 0)为圆心 2 为半径的圆内(不包括边界).

如图所示,由 Z=3+ai 可知,Z 对应的点在直线 x=3 上, 所以线段 AB(除去端点)为动点的集合,由图知 ? 3 <a< 3 . 【例 3】 已知 Z1=x+ 5 +yi,Z2=x- 5 +yi 且 x∈R,y∈R,|Z1|+|Z2|=6,求 f(x,y)=|2x-3y-12| 的最值. 思路分析:本题主要考查复数的几何意义,要结合几何图形来考虑问题. 解 ∵|Z1|+|Z2|=6 ∴ (x ? 5) ? y ?
2 2

( x ? 5 ) 2 ? y 2 =6.

x2 y2 ? 它是 2a=6,a=3,c= 5 ,b=2 的一个椭圆,其标准方程为 =1,由椭圆的参数方程知 9 4

? x ? 3 cos? , ? ? y ? 2 sin ? .
∴f(x,y)=|2x-3y-12|=|6cosθ -6sinθ -12| =6|cosθ -sinθ -2|=6| 2 sin( 当 θ =?

?
4

? ? )-2|

?
4

时,即 x=

3 2 ,y= ? 2 时, 2

f(x,y)min=6| 2 -2|=12-6 2 ; 当θ =

3? 3 2 ,即 x=,y= 2 时,f(x,y)max=6| 2 +2| 4 2

=12+6 2 . 绿色通道:确定复数 Z 用到两个条件,在应用时可以分别从形和数两个方面进行解析: (1)从形入手,积累一些常见结论是很有必要的. 如 |Z-Z1|=|Z-Z2| 表 示 线 段 Z1Z2 的 中 垂 线 ; |Z-Z1|= 定 值 , 表 示 以 Z1 为 圆 心 的 圆.|Z-Z1|+|Z-Z2|=2a(2a>|Z1Z2|)表示以 Z1、Z2 为焦点的椭圆等.(2)从数入手就是设复数 的代数形式,将复数问题转化为实数问题,而复数相等是转化的桥梁.(可得到两个实数等 式所组成的方程组). 【变式训练】 设虚数 Z 满足|2Z+5|=| Z +10| (1)求|Z|的值; (2)若

Z m ? 为实数,求实数 m 的值; m Z

(3)若(1-2i)Z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上,求复数 Z. 思路分析:本题主要考查复数的基本运算,设 Z=x+yi,将复数问题转化为实数问题是常见 的解题思路. 解:(1)设 Z=x+yi(x、y∈R,且 y≠0) 2 2 2 2 2 2 则(2x+5) +(2y) =(x+10) +y ,得到 x +y =25, ∴|Z|=5. (2)∵

Z m x ? yi m ? ? ? m Z m x ? yi

=(

x mx y my ? 2 )?( ? 2 ) i 为实数. 2 m x ?y m x ? y2 y my 2 2 =0.又 y≠0 且 x +y =25, ? 2 2 m x ?y
1 m ? =0.解得 m=±5. m 25





(3) (1-2i)Z=(1-2i) (x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i 依题意得 x+2y=y-2x,∴y=-3x ① 2 2 又∵|Z|=5 即 x +y =25 ②

? ? 10 ?x ? ?x ? ? ? ? 2 由①、②得 ? 或? ? y ? ? 3 10 ? y ? 3 ? ? 2 ? ?
∴Z=

10 2 10 2

10 3 10 10 3 10 ? i 或 Z= ? ? i 2 2 2 2

问题探究 模的几何意义 导思:模的几何意义与向量,解析几何的有关问题联系密切.在现在的高考中复数的考查经

常出现此类问题.因为模本身表示的是一种长度,向量与解析几何也与图形有关,因此研究 此类问题时要联系图形,考查数形结合的思想. 探究: (1)|Z|的模表示 Z 对应的点到原点的距离. (2)|Z1-Z2|表示复平面两点间的距离. (3)|Z-Z0|=r 表示以 Z0 为圆心,r 为半径的圆的方程. (4)|Z-Z1|=|Z-Z2|表示线段 Z1Z2 的中垂线的 方程. (5)|Z-Z1|+|Z-Z2|=2a(a>0,且 2a>|Z1Z2|) 表示以 Z1Z2 为焦点,a 为长半轴的椭圆方程. (6)Z1Z2≠0 则|Z1+Z2|=|Z1-Z2| ? 对应的两个向量 OZ1 ⊥ OZ2 . (7)复数 Z1、Z2、Z3 对应的点分别为 A、B、C,则 AB 的中点对应的复数为

Z1 ? Z 2 ,△ABC 2

的重心所对应的复数为

Z1 ? Z 2 ? Z 3 . 3


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