重庆市巴蜀中学2016届九年级数学上学期入学试题(含解析) 新人教版

重庆市巴蜀中学 2016 届九年级数学上学期入学试题
一、选择题:每题 4 分,共 48 分。

1.分式 A.3

的值为零,则 x 的值为( B.﹣3 C.±3 D.任意实数



2.方程 x ﹣

2

=0 的根的情况为(



A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个相等的实数根 3.一个正多边形,它的每一个外角都是 45°,则该正多边形是( A.正六边形 B.正七边形 C.正八边形 D.正九边形 )

4.在一张由复印机放大复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原来的 1cm 变成了 4cm,那么这次 复印的面积变为原来的( ) A.不变 B.2 倍 C.3 倍 D.16 倍 5.如图,以正方形 ABCD 的对角线 AC 为一边作菱形 AEFC,且点 E 在 AB 的延长线上,F 在 DC 的延长 线上,则∠FAB=( )

A.22.5°

B.30° C.36° D.45°

6.下列 4×4 的正方形网格中,小正方形的边长均为 1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC 相似 的三角形所在的网格图形是( )

A.

B.

C.

D.

7.对于反比例函数 y= ,下列说法正确的是( ) A.图象经过点(1,﹣1) B.图象位于第二、四象限 C.图象是中心对称图形 D.当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大

1

8.目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生 389 元,今年上半年发放了 438 元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x,则下面列出的方程 中正确的是( ) 2 2 2 2 A.438(1+x) =389 B.389(1+x) =438 C.389(1+2x) =438 D.438(1+2x) =389 9.如图,在?ABCD 中,E 为 CD 上一点,连接 AE、BD,且 AE、BD 交于点 F,S△DEF:S△ABF=4:25,则 DE:EC=( )

A.2:5 B.2:3 C.3:5 D.3:2 10.如图,矩形 ABCD 中,点 G 是 AD 的中点,GE⊥CG 交 AB 于 E,BE=BC,连 CE 交 BG 于 F,则∠BFC 等于( )

A.45° B.60° C.67.5°

D.72° )

11.如图, 在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°, BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,若 AC=2, 则 AD 的长是(

A.

B.

C.

﹣1

D.

+1

12.如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 AC⊥BD,顺次连接四边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点,得到四边形 A2B2C2D2,?,如此进行下去,得到四边 形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) ①四边形 A2B2C2D2 是矩形; ②四边形 A4B4C4D4 是菱形; ③四边形 A5B5C5D5 的周长是 , ④四边形 AnBnCnDn

的面积是


2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

二、填空题:每题 4 分,共 32 分。 13.已知菱形两条对角线的长分别为 6cm 和 8cm,则这个菱形一边上的高为

cm.

14.若

,则

=



15.如图,平行四边形 ABCD 中,AB⊥AC,AB=1,BC=

,则 BD=



16.如图,A 是反比例函数图象上一点,过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B,点 P 在 x 轴上,△ABP 面积为 2, 则这个反比例函数的解析式为 .

17 . 将 边 长 分 别 为 2 、 3 、 5 的 三 个 正 方 形 按 图 所 示 的 方 式 排 列 , 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 .

3

18.已知 a,b 是关于 x 的一元二次方程 x +2x﹣1=0 的两实数根,则式子

2

的值是



19.从﹣3,﹣2,﹣1,0,4 这五个数中随机抽取一个数记为 a,a 的值既是不等式组

的解,又在函数 y=

的自变量取值范围内的概率是



20.如图,正方形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC、BD 的交点,点 E 在 CD 上,且 DE=2CE,连接 BE,过 点 C 作 CF⊥BE 于 F,连接 OF,已知 EF=1,则 OF 的长为 .

三、解答题:共 70 分。 21.解方程:

(1) (2)4x(x﹣3)=x ﹣9. 22.化简:
2

(1)

(2) (

)÷



23.阅读材料,解答问题:

我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如

的二元二次方程组,实质是二

元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解.其解法如下: 解:由②得:y=2x﹣5, 2 2 ③,将③代入①得:x +(2x﹣5) =10 2 整理得:x ﹣4x+3=0, 解得:x1=1,x2=3,

4

再将 x1=1,x2=3 代入③得 y1=1×2﹣5=﹣3,y2=2×3﹣5=1

∴原方程组的解为





请你根据材料代入消元法解二元二次方程组:



24.减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措.某中学“阅读与演讲社团”为了了 解本校学生的每周课外阅读时间,采用随机抽样的方式进行了问卷调查,调查结果分为“2 小时以 内”、“2 小时~3 小时”、“3 小时~4 小时”和“4 小时以上”四个等级,分别用 A、B、C、D 表 示,根据调查结果绘制了如图所示的统计图,由图中所给出的信息解答下列问题: (1)求出 x 的值,并将不完整的条形统计图补充完整; (2)在此次调查活动中,初三(1)班的两个学习小组内各有 2 人每周课外阅读时间都是 4 小时以 上,现从中任选 2 人去参加学校的知识抢答赛.用列表或画树状图的方法求选出的 2 人来自不同小 组的概率.

25.“铁路建设助推经济发展”,近年来我国政府十分重视铁路建设,渝利铁路通车前,从重庆到 上海的铁路全程为 1920 千米,渝利铁路通车后,比原铁路全程缩短了 320 千米,且列车设计运行时 速比原来的设计运行时速提高了 120 千米/每小时,全程设计运行时间比原来设计运行时间少用 16 小时. (1)渝利铁路通车后,重庆到上海的列车设计运行时速是多少千米/小时? (2)专家建议:从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计运行时速减少 m%,以便于有充足的时 间应对突发事件,这样,从重庆到上海的实际运行时间将增加 m 小时,求 m 的值.

26.如图,在正方形 ABCD 中,G 为 AB 边的中点,∠BAD 的平分线交 DG 于 M,过点 B 作 BE⊥BD 交 DG 的延长线于点 E,再过点 A 作 AF⊥DG,交 BC 边于点 F,交 BD 边于点 N. (1)求证:AM=BN; (2)求证:AN=2EG; (3)连接 MN,若正方形 ABCD 的边长为 2,求 MN 的长.

5

27.已知:如图,?ABCD 中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点 P 从点 A 出发,沿 AD 方向匀速运动, 速度为 3cm/s;点 Q 从点 C 出发,沿 CD 方向匀速运动,速度为 1cm/s,连接并延长 QP 交 BA 的延长 线于点 M,过 M 作 MN⊥BC,垂足是 N,设运动时间为 t(s) (0<t<1) 解答下列问题: (1)当 t 为何值时,四边形 AQDM 是平行四边形? 2 (2)设四边形 ANPM 的面积为 y(cm ) ,求 y 与 t 之间的函数关系式: (3)是否存在某一时刻 t,使四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半?若存在,求出 相应的 t 值;若不存在,说明理由. (4)连接 AC,是否存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 求出相应的 t 值;若不存在,说明理由. :1 的两部分?若存在,

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重庆市巴蜀中学 2016 届九年级上学期入学数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:每题 4 分,共 48 分。

1.分式

的值为零,则 x 的值为(



A.3 B.﹣3 C.±3 D.任意实数 【考点】分式的值为零的条件. 【分析】分式的值为零:分子等于零,且分母不等于零. 【解答】解:依题意,得 |x|﹣3=0 且 x+3≠0, 解得,x=3. 故选:A. 【点评】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件: (1)分子为 0; (2)分母不为 0.这两个条件缺一不可.

2.方程 x ﹣

2

=0 的根的情况为(



A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个相等的实数根 【考点】根的判别式. 【分析】要判定方程根的情况,首先求出其判别式,然后判定其正负情况即可作出判断. 【解答】解:∵x ﹣
2 2

=0=0,

∴△=b ﹣4ac=8﹣8=0, ∴方程有两个相等的实数根. 故选 D. 【点评】此题利用了一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根. 3.一个正多边形,它的每一个外角都是 45°,则该正多边形是( ) A.正六边形 B.正七边形 C.正八边形 D.正九边形 【考点】多边形内角与外角. 【专题】数形结合. 【分析】多边形的外角和是 360 度,因为是正多边形,所以每一个外角都是 45°,即可得到外角的 个数,从而确定多边形的边数. 【解答】解:360÷45=8,所以这个正多边形是正八边形. 故选 C. 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理.已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容.正 多边形的各个内角相等,各个外角也相等.

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4.在一张由复印机放大复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原来的 1cm 变成了 4cm,那么这次 复印的面积变为原来的( ) A.不变 B.2 倍 C.3 倍 D.16 倍 【考点】相似图形. 【分析】复印前后的多边形按照比例放大与缩小,因此它们是相似多边形,本题按照相似多边形的 性质求解. 【解答】解:由题意可知,相似多边形的边长之比=相似比=1:4, 2 所以面积之比=(1:4) =1:16. 故选 D. 【点评】本题考查相似多边形的性质.相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比,而面积之比 等于相似比的平方. 5.如图,以正方形 ABCD 的对角线 AC 为一边作菱形 AEFC,且点 E 在 AB 的延长线上,F 在 DC 的延长 线上,则∠FAB=( )

A.22.5° B.30° C.36° D.45° 【考点】正方形的性质;菱形的性质. 【 分 析 】 由 正 方 形 的 性 质 得 出 ∠BAC= ∠BAC=45° , 由 菱 形 的 对 角 线 平 分 一 组 对 角 得 出 ∠FAB= ∠BAC=22.5°即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠BAD=90°,∠BAC= ∠BAC=45°, ∵四边形 AEFC 是菱形, ∴∠FAB=∠FAC= ∠BAC=22.5°. 故选:A. 【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的性质;熟练掌握正方形和菱形的性质,并能进行推理论 证与计算是解决问题的关键. 6.下列 4×4 的正方形网格中,小正方形的边长均为 1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC 相似 的三角形所在的网格图形是( )

8

A.

B.

C.

D.

【考点】相似三角形的判定. 【专题】网格型. 【分析】根据勾股定理求出△ABC 的三边,并求出三边之比,然后根据网格结构利用勾股定理求出 三角形的三边之比,再根据三边对应成比例,两三角形相似选择答案. 【解答】解:根据勾股定理,AB= BC= AC= = = , , :2 : = =1:2: , , =3 ,三边之比为 2: :3 = : :3, =2 ,

所以△ABC 的三边之比为

A、三角形的三边分别为 2, 故 A 选项错误; B、三角形的三边分别为 2,4, C、三角形的三边分别为 2,3, D、三角形的三边分别为 =

=2 = ,

,三边之比为 2:4:2 ,三边之比为 2:3: = ,4,三边之比为

=1:2:

,故 B 选项正确;

,故 C 选项错误; : :4,故 D 选项错误.

故选:B. 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识,根据网格结构分别求出各三角形的 三条边的长,并求出三边之比是解题的关键.

7.对于反比例函数 y= ,下列说法正确的是( ) A.图象经过点(1,﹣1) B.图象位于第二、四象限 C.图象是中心对称图形 D.当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大 【考点】反比例函数的性质. 【专题】探究型. 【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可. 【解答】解:A、∵1×(﹣1)=﹣1≠1,∴点(1,﹣1)不在反比例函数 y= 的图象上,故本选项 错误; B、∵k=1>0,∴反比例函数 y= 的图象在一、三象限,故本选项错误; C、∵函数 y= 是反比例函数,∴此函数的图象是中心对称图形,故本选项正确; D、∵k=1>0,∴此函数在每一象限内 y 随 x 的增大而减小,故本选项错误.

9

故选:C. 【点评】本题考查的是反比例函数的性质,熟知反比例函数的性质是解答此题的关键,即反比例函 数的性质: (1)反比例函数 y= (k≠0)的图象是双曲线; (2)当 k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而减小; (3)当 k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而增大. 8.目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生 389 元,今年上半年发放了 438 元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x,则下面列出的方程 中正确的是( ) 2 2 2 2 A.438(1+x) =389 B.389(1+x) =438 C.389(1+2x) =438 D.438(1+2x) =389 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【专题】增长率问题. 【分析】先用含 x 的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数,再表示出今年上半年 发放的钱数,令其等于 438 即可列出方程. 【解答】解:设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x,则去年下半年发放给每个经济困难学生 2 389(1+x)元,今年上半年发放给每个经济困难学生 389(1+x) 元, 2 由题意,得:389(1+x) =438. 故选 B. 【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为 a,变化后的量为 b,平均变化率为 x, 2 则经过两次变化后的数量关系为 a(1±x) =b. 9.如图,在?ABCD 中,E 为 CD 上一点,连接 AE、BD,且 AE、BD 交于点 F,S△DEF:S△ABF=4:25,则 DE:EC=( )

A.2:5 B.2:3 C.3:5 D.3:2 【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 【分析】 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF, 再根据 S△DEF: S△ABF=4: 25 即可得出其相似比,由相似三角形的性质即可求出 DE:AB 的值,由 AB=CD 即可得出结论. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠EAB=∠DEF,∠AFB=∠DFE, ∴△DEF∽△BAF, ∵S△DEF:S△ABF=4:25, ∴DE:AB=2:5, ∵AB=CD, ∴DE:EC=2:3. 故选 B. 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质,熟知相似三角形边长的比等 于相似比,面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

10

10.如图,矩形 ABCD 中,点 G 是 AD 的中点,GE⊥CG 交 AB 于 E,BE=BC,连 CE 交 BG 于 F,则∠BFC 等于( )

A.45° B.60° C.67.5° D.72° 【考点】矩形的性质. 【分析】判断出△BCE 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠BCE=∠BEC=45°,根 据同角的余角相等求出∠AGE=∠DCG,然后根据两组角对应相等的两三角形相似求出△AGE 和△DCG 相似,根据相似三角形对应边成比例可得 = = ,再判断出△CDG 和△CGE 相似,根据相似三角 形对应角相等可得∠DCG=∠GCE,然后求出∠DCG=22.5°,再根据矩形的对称性可得∠ABG=∠DCG, 然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解. 【解答】解:∵BE=BC,∠ABC=90°, ∴△BCE 是等腰直角三角形, ∴∠BCE=∠BEC=45°, ∵GE⊥CG, ∴∠AGE+∠CGD=90°, ∵∠DCG+∠CGD=90°, ∴∠AGE=∠DCG, 又∵∠A=∠D=90°, ∴ = , ∵G 是 AD 的中点, ∴AG=DG, ∴ = , ∵∠D=∠CGE=90°, ∴△CDG∽△CGE, ∴∠DCG=∠GCE= (90°﹣45°)=22.5°, ∵G 是 AD 的中点, ∴由矩形的对称性可知∠ABG=∠DCG=22.5°, 由三角形的外角性质得,∠BFC=∠ABG+∠BEC=22.5°+45°=67.5°. 故选:C. 【点评】本题考查了矩形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,难点 在于判断出相似三角形然后求出∠DCG=22.5°. 11.如图, 在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°, BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,若 AC=2, 则 AD 的长是( )

11

A.

B.

C.

﹣1

D.

+1

【考点】黄金分割. 【专题】压轴题. 【分析】根据两角对应相等,判定两个三角形相似.再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出 BD 的长. 【解答】解:∵∠A=∠DBC=36°,∠C 公共, ∴△ABC∽△BDC, 且 AD=BD=BC. 设 BD=x,则 BC=x,CD=2﹣x. 由于 = ,



= .
2

整理得:x +2x﹣4=0, 解方程得:x=﹣1± ∵x 为正数, ∴x=﹣1+ 故选 C. . ,

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质,先用两角对应相等判定两个三角形相似,再用相 似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出 BD 的长. 12.如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 AC⊥BD,顺次连接四边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点,得到四边形 A2B2C2D2,?,如此进行下去,得到四边 形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( )

12

①四边形 A2B2C2D2 是矩形; ②四边形 A4B4C4D4 是菱形; ③四边形 A5B5C5D5 的周长是

, ④四边形 AnBnCnDn

的面积是



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】中点四边形. 【专题】规律型. 【分析】首先根据题意,找出变化后的四边形的边长与四边形 ABCD 中各边长的长度关系规律,然后 对以下选项作出分析与判断: ①根据矩形的判定与性质作出判断; ②根据菱形的判定与性质作出判断; ③由四边形的周长公式:周长=边长之和,来计算四边形 A5B5C5D5 的周长; ④根据四边形 AnBnCnDn 的面积与四边形 ABCD 的面积间的数量关系来求其面积. 【解答】解:①连接 A1C1,B1D1. ∵在四边形 ABCD 中,顺次连接四边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A1B1C1D1, ∴A1D1∥BD,B1C1∥BD,C1D1∥AC,A1B1∥AC; ∴A1D1∥B1C1,A1B1∥C1D1, ∴四边形 A1B1C1D1 是平行四边形; ∵AC 丄 BD,∴四边形 A1B1C1D1 是矩形, ∴B1D1=A1C1(矩形的两条对角线相等) ; ∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2(中位线定理) , ∴四边形 A2B2C2D2 是菱形; 故本选项错误; ②由①知,四边形 A2B2C2D2 是菱形; ∴根据中位线定理知,四边形 A4B4C4D4 是菱形; 故本选项正确; ③根据中位线的性质易知,A5B5= A3B3= A1B1= AC,B5C5= B3C3= B1C1= BD, ∴四边形 A5B5C5D5 的周长是 2× (a+b)= , 故本选项正确; ④∵四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 AC 丄 BD, ∴S 四边形 ABCD=ab÷2; 由三角形的中位线的性质可以推知,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,

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四边形 AnBnCnDn 的面积是 故本选项正确. 综上所述,②③④正确. 故选 C.



【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理(三角形的 中位线平行于第三边且等于第三边的一半) .解答此题时,需理清菱形、矩形与平行四边形的关系是 最关键的. 二、填空题:每题 4 分,共 32 分。 13.已知菱形两条对角线的长分别为 6cm 和 8cm,则这个菱形一边上的高为 cm. 【考点】菱形的性质;勾股定理. 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得对角线的一半分别是 3cm、4cm,再利用勾股定理列式 求出菱形的边长, 然后根据菱形的面积等于底乘以高与对角线的乘积的一半列式进行计算即可得解. 【解答】解:∵菱形两条对角线的长分别为 6cm 和 8cm, ∴对角线的一半分别是 3cm、4cm, 根据勾股定理,菱形的边长= 设这个菱形一边上的高为 xcm, 则菱形的面积=5x= ×6×8, 解得 x= . =5cm,

故答案为: . 【点评】本题考查了菱形的性质,勾股定理,主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质,熟记 性质是解题的关键.

14.若

,则

= ﹣



【考点】分式的化简求值. 【分析】先根据 ﹣ =2 得出 a﹣b=﹣2ab,再代入代数式进行计算即可.

14

【解答】解:∵ ﹣ =2, ∴a﹣b=﹣2ab,

∴原式=

=

=﹣ .

故答案为:﹣ . 【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

15.如图,平行四边形 ABCD 中,AB⊥AC,AB=1,BC=

,则 BD= 2



【考点】平行四边形的性质;勾股定理. 【分析】先由勾股定理求出 AC,再由平行四边形的性质得出 OA=1,OB= BD,在 Rt△AOB 中,由勾股 定理求出 OB,即可得出 BD. 【解答】解:∵AB⊥AC, ∴∠BAC=90°, ∴AC= = =2,

∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA= AC=1,OB= BD, 在 Rt△AOB 中,由勾股定理得: OB= ∴BD=2OB=2 故答案为:2 = ; . = ,

【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理;熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理,并能 进行推理计算是解决问题的关键. 16.如图,A 是反比例函数图象上一点,过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B,点 P 在 x 轴上,△ABP 面积为 2, 则这个反比例函数的解析式为 .

15

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【专题】数形结合;转化思想. 【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等,所以△AOB 的面积=△ABP 的面积=2,然后根据反比 例函数 中 k 的几何意义,知△AOB 的面积= |k|,从而确定 k 的值,求出反比例函数的解析式.

【解答】

解:设反比例函数的解析式为



∵△AOB 的面积=△ABP 的面积=2,△AOB 的面积= |k|, ∴ |k|=2, ∴k=±4; 又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限, ∴k>0. ∴k=4. ∴这个反比例函数的解析式为 . 中 k 的几何意义.这

【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数 里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解 k 的几何意义.

17.将边长分别为 2、3、5 的三个正方形按图所示的方式排列,则图中阴影部分的面积为



【考点】平行线分线段成比例;正方形的性质. 【专题】压轴题. 【分析】因为阴影部分的面积=S 正方形 BCQW﹣S 梯形 VBCF,根据已知求得梯形的面积即不难求得阴影部分的 面积了.

16

【解答】解:∵VB∥ED,三个正方形的边长分别为 2、3、5, ∴VB:DE=AB:AD,即 VB:5=2: (2+3+5)=1:5, ∴VB=1, ∵CF∥ED, ∴CF:DE=AC:AD,即 CF:5=5:10 ∴CF=2.5, ∵S 梯形 VBFC= (BV+CF)?BC= , .

∴阴影部分的面积=S 正方形 BCQW﹣S 梯形 VBCF= 故答案为:

【点评】本题利用平行线分线段成比例的性质,正方形的性质求解.

18.已知 a,b 是关于 x 的一元二次方程 x +2x﹣1=0 的两实数根,则式子 【考点】根与系数的关系. 【分析】根据根与系数的关系,求出两根之积与两根之和的值,然后将 之和的形式,最后代入两根之积与两根之和的值进行计算. 2 【解答】解:∵a,b 是关于 x 的一元二次方程 x +2x﹣1=0 的两实数根, ∴a+b=﹣2,ab=﹣1;

2

的值是

﹣6 .

化简成两根之积与两根



=

=

=

=﹣6.

【点评】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常 使用的解题方法.

19.从﹣3,﹣2,﹣1,0,4 这五个数中随机抽取一个数记为 a,a 的值既是不等式组

的解,又在函数 y=

的自变量取值范围内的概率是



【考点】概率公式;解一元一次不等式组;函数自变量的取值范围.

【分析】由 a 的值既是不等式组

的解,又在函数 y=

的自变量取值范围内的

17

有﹣3,﹣2,可直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解:∵不等式组

的解集是:﹣

<x< ,

∴a 的值既是不等式组

的解的有:﹣3,﹣2,﹣1,0,

∵函数 y=

的自变量取值范围为:2x +2x≠0,

2

∴在函数 y=

的自变量取值范围内的有﹣3,﹣2,4;

∴a 的值既是不等式组 ﹣2;

的解,又在函数 y=

的自变量取值范围内的有:﹣3,

∴a 的值既是不等式组

的解, 又在函数 y=

的自变量取值范围内的概率是: .

故答案为: . 【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 20.如图,正方形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC、BD 的交点,点 E 在 CD 上,且 DE=2CE,连接 BE,过 点 C 作 CF⊥BE 于 F,连接 OF,已知 EF=1,则 OF 的长为 3 .

【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】首先在 BE 上截取 BG=CF,连接 OG,证明△OBG≌△OCF,则可证得△OFG 是等腰直角三角形, 设 CE=x,利用勾股定理可得 BE 的长,由射影定理列方程,求得 EF 与 CF 的长,继而求得 FG 的长, 则可求得答案. 【解答】解:如图,在 BE 上截取 BG=CF,连接 OG, ∵Rt△BCE 中,CF⊥BE, ∴∠EBC=∠ECF, ∵∠OBC=∠OCD=45°, ∴∠OBG=∠OCF, 在△OBG 与△OCF 中,

18

, ∴△OBG≌△OCF(SAS) , ∴OG=OF,∠BOG=∠COF,BG=CF, ∴OG⊥OF, 设 CE=x,则 DE=2EC=2x, ∴BC=CD=3x, 在 Rt△BCE 中, ∴BE= ∵EF=1, 2 ∵CE =EF?BE, ∴x = ∴x= ∴CE=
2 2

=

x,

x, , ,BF=BE﹣EF=10﹣1=9,

∵CF =BF?EF=9, ∴CF=3, ∴BG=3, ∴FG=BE﹣BG﹣EF=10﹣3﹣1=6, ∴OF= FG=3 . .

故答案为:3

【点评】此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及射影定理.注意准确作 出辅助线是解此题的关键. 三、解答题:共 70 分。 21.解方程:

(1) (2)4x(x﹣3)=x ﹣9. 【考点】解分式方程;解一元二次方程-因式分解法.
2

19

【专题】计算题. 【分析】 (1)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分 式方程的解; (2)方程整理后,利用因式分解法求出解即可. 【解答】解: (1)去分母得:1+3x﹣6=x﹣1, 解得:x=2, 经检验 x=2 是增根,分式方程无解; 2 (2)方程整理得:x ﹣4x+3=0, 分解因式得: (x﹣1) (x﹣3)=0, 解得:x1=1,x2=3. 【点评】此题考查了解分式方程,以及解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握运算法则是解本题 的关键. 22.化简:

(1)

(2) (

)÷



【考点】分式的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】 (1)原式第二项利用除法变形,约分后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果; (2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得 到结果.

【解答】解: (1)原式=



?

=



=



(2)原式=

?

=﹣

?

=﹣



【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 23.阅读材料,解答问题:

我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如

的二元二次方程组,实质是二

元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解.其解法如下: 解:由②得:y=2x﹣5, 2 2 ③,将③代入①得:x +(2x﹣5) =10 2 整理得:x ﹣4x+3=0, 解得:x1=1,x2=3, 再将 x1=1,x2=3 代入③得 y1=1×2﹣5=﹣3,y2=2×3﹣5=1

20

∴原方程组的解为





请你根据材料代入消元法解二元二次方程组:



【考点】高次方程. 【专题】阅读型. 【分析】根据材料给出的解二元二次方程组的一般步骤,运用代入消元法求解即可. 【解答】解:由①得,y=2x﹣3③, 2 2 将③代入②得: (2x﹣3) ﹣4x +6x﹣3=0, 整理得:6x=6, 解得:x=1, 再将 x=1,代入③得 y=﹣1,

故原方程组的解为



【点评】本题考查的是阅读材料问题、代入消元法解二元二次方程组,代入消元法的一般步骤是: 先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程,把求得结果代入一个较简单的方程中即 可. 24.减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措.某中学“阅读与演讲社团”为了了 解本校学生的每周课外阅读时间,采用随机抽样的方式进行了问卷调查,调查结果分为“2 小时以 内”、“2 小时~3 小时”、“3 小时~4 小时”和“4 小时以上”四个等级,分别用 A、B、C、D 表 示,根据调查结果绘制了如图所示的统计图,由图中所给出的信息解答下列问题: (1)求出 x 的值,并将不完整的条形统计图补充完整; (2)在此次调查活动中,初三(1)班的两个学习小组内各有 2 人每周课外阅读时间都是 4 小时以 上,现从中任选 2 人去参加学校的知识抢答赛.用列表或画树状图的方法求选出的 2 人来自不同小 组的概率.

【考点】条形统计图;扇形统计图;列表法与树状图法. 【分析】 (1)利用 100%减去 A、C、D 所占百分比,即可算出 X 的值;再利用 A 中的人数÷所占百分 比=总人数,再利用总人数各乘以 B、C 所占百分比即可算出人数,再补全图形即可;

21

(2)根据已知画出树状图,进而利用概率公式求出即可. 【解答】解: (1)x%=1﹣45%﹣10%﹣15%=30%,故 x=30, 总人数是:180÷45%=400(人) , B 等级的人数是:400×30%=120(人) , C 等级的人数是:400×10%=40(人) ; (2)设两组分别为 A,B,其中 4 个人分别为:A1,A2,B1,B2, 根据题意画树状图得出:

, 则选出的 2 人来自不同小组的情况有 8 种, 故选出的 2 人来自不同小组的概率为: = .

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,以及概率求法,读懂统计图,从不同 的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形 统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 25.“铁路建设助推经济发展”,近年来我国政府十分重视铁路建设,渝利铁路通车前,从重庆到 上海的铁路全程为 1920 千米,渝利铁路通车后,比原铁路全程缩短了 320 千米,且列车设计运行时 速比原来的设计运行时速提高了 120 千米/每小时,全程设计运行时间比原来设计运行时间少用 16 小时. (1)渝利铁路通车后,重庆到上海的列车设计运行时速是多少千米/小时? (2)专家建议:从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计运行时速减少 m%,以便于有充足的时 间应对突发事件,这样,从重庆到上海的实际运行时间将增加 m 小时,求 m 的值. 【考点】分式方程的应用. 【分析】 (1)设渝利铁路通车后,重庆到上海的列车设计运行时速是 x 千米/小时.利用“从重庆到 上海比原铁路全程缩短了 320 千米, 列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了 l20 千米/小时, 全程设计运行时间只需 8 小时,比原铁路设计运行时间少用 16 小时”,列出分式方程并解答; (2)根据题意得出: (80+120) (1﹣m%) (8+ m)=1600 进而求出即可.

22

【解答】解: (1)设渝利铁路通车后,重庆到上海的列车设计运行时速是 x 千米/小时,则



=16,

解得:x1=200,x2=﹣60(舍去) , 经检验 x=200 是原方程的解;

(2)由题意可得出: (80+120) (1﹣m%) (8+ m)=1600, 解得:m1=20,m2=0(不合题意舍去) , 答:m 的值为 20. 【点评】此题主要考查了分式方程的应用,利用分式方程解应用题时,一般题目中会有两个相等关 系,这时要根据题目所要解决的问题,选择其中的一个相等关系作为列方程的依据,而另一个则用 来设未知数. 26.如图,在正方形 ABCD 中,G 为 AB 边的中点,∠BAD 的平分线交 DG 于 M,过点 B 作 BE⊥BD 交 DG 的延长线于点 E,再过点 A 作 AF⊥DG,交 BC 边于点 F,交 BD 边于点 N. (1)求证:AM=BN; (2)求证:AN=2EG; (3)连接 MN,若正方形 ABCD 的边长为 2,求 MN 的长.

【考点】四边形综合题. 【分析】 (1)根据全等三角形的判定和性质得出∠BAG=∠ADM,再证明△ABN 与△DAM 全等,进而证 明即可; (2)由 ASA 证明△BEG 与△AGM 全等,再利用全等三角形的性质得出 GM=GE,AM=BE,再证明△AMD 与△AEB 全等即可; (3)利用相似三角形的判定和性质进行解答即可. 【解答】证明: (1)∵正方形 ABCD, ∴AB=AD,∠ABF=∠DAG=90°, ∵AF⊥DG, ∴∠BAF+∠AGD=90°, ∵∠AGD+∠ADG=90°, ∴∠BAF=∠ADG, 在△ADG 与△BAF 中,


23

∴△ADG≌△BAF(AAS) , ∴∠BAG=∠ADM, ∵∠ABN=∠DAM=45°,AB=AD, 在△ABN 与△DAM 中

, ∴△ABN≌△DAM(AAS) , ∴AM=BN,DM=AN; (2)连接 AE,如图:

∵∠GAM=∠GBE=45°,∠AGM=∠BGE,AG=BG, ∴△BEG≌△AGM(ASA) , ∴GM=GE,AM=BE, ∵∠ABE=∠DAM=45°,BE=AM,AB=AD, ∴△ABE≌△DAM, ∴∠BAE=∠ADM,DM=AE, ∴∠EAM=∠EAB+45°=∠ADM+45°=∠AME, ∴AE=ME, ∴AN=DM=AE=2GM; (3)连接 MN,如图 3

∵∠ADN=∠NBF,∠BNF=∠AND, ∴△ADN~△FBN, ∴ 由(2)得: , ,

24

∴ , ∵∠MDN=∠GDB, ∴△MDN∽△GDB, ∴ ,

∴ . 【点评】此题考查正方形的性质和全等三角形判定以及性质,关键是根据全等三角形的判定和性质 解答. 27.已知:如图,?ABCD 中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点 P 从点 A 出发,沿 AD 方向匀速运动, 速度为 3cm/s;点 Q 从点 C 出发,沿 CD 方向匀速运动,速度为 1cm/s,连接并延长 QP 交 BA 的延长 线于点 M,过 M 作 MN⊥BC,垂足是 N,设运动时间为 t(s) (0<t<1) 解答下列问题: (1)当 t 为何值时,四边形 AQDM 是平行四边形? 2 (2)设四边形 ANPM 的面积为 y(cm ) ,求 y 与 t 之间的函数关系式: (3)是否存在某一时刻 t,使四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半?若存在,求出 相应的 t 值;若不存在,说明理由. (4)连接 AC,是否存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 求出相应的 t 值;若不存在,说明理由. :1 的两部分?若存在,

【考点】相似形综合题. 【专题】压轴题. 【分析】 (1)根据平行四边形的对角线互相平分得出 AP=DP,代入求出即可; (2)求出 AP 和 MN 的值,根据三角形的面积公式求出即可; (3)假设存在某一时刻 t,四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半.根据(2)中求 出的关系式,列方程求出 t 的值; (4)假设存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 得出 = ,代入求出即可. 【解答】解: (1)连结 AQ,MD. ∵当 AP=PD 时,四边形 AQDM 是平行四边形, 即 3t=3﹣3t, t= , 的两部分,证△APW∽△CNW,

25

∴当 t= s 时,四边形 AQDM 是平行四边形. (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴△AMP∽△DQP, ∴ = ,



=



∴AM=t, ∵MN⊥BC, ∴∠MNB=90°, ∵∠B=45°, ∴∠BMN=45°=∠B, ∴BN=MN, ∵BM=1+t, 在 Rt△BMN 中,由勾股定理得:BN=MN= ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∵MN⊥BC, ∴MN⊥AD, ∴y= ×AP×MN = ?3t? (1+t) t+
2

(1+t) ,

即 y 与 t 之间的函数关系式为 y=

t(0<t<1) .

(3)假设存在某一时刻 t,四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半. 此时 t+ t= ×3× 2 整理得:t +t﹣1=0,
2



解得 t1=

,t2=

(舍去)

∴当 t=

s 时,四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半.

(4)存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成

的两部分,

26

理由是:假设存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴△APW∽△CNW, ∴ = ,

的两部分,



=



=



∴t=





∵两数都在 0<t<1 范围内,即都符合题意,

∴当 t=

s或

s 时,NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成

的两部分.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,平行四边形的性质,解直角三角形,勾股定理的应 用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,本题综合性比较强,有一定的难度.

27


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