定积分的概念ppt 人教课标版

定积分的概念 如果函数f ( x)在区间[a, b]上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xi?1 ? xi ? ? ? xn ? b 将区间[a, b]等分成n个小区间,在每个小区间 [ xi?1 , xi ]上任取一点?i (i ? 1,2,?, n), 作和式 b?a f (?i )?x ? ? f (?i ) ? n i ?1 i ?1 n n 当n ? ?时,上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫做函数f ( x)在区间[a, b]上的定积分, 记作? f ( x)dx,即 a b ? b a b?a f ( x)dx ? lim ? f (?i ) n?? n i ?1 n 这里,a和b分别叫做积分下限和 积分上限。区间[a, b]叫做积分区间, 函数f ( x)叫做被积函数,x叫做积分变量, f ( x)dx叫做被积式。 定积分 ? f ( x)dx 的几何意义: a b 如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0, 那么定积分 ? f ( x)dx 表示 a b 由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积。 例1 利用定积分的定义,计算? x dx的值。 3 0 1 解:令f ( x) ? x (1)分割 3 在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小 区间: i ?1 i 记第i个区间为[ , ](i ? 1,2,?, n), n n i i ?1 1 其长度为?x ? ? ? n n n (2)近似代替、作和 i 取?i ? (i ? 1,2,?, n), 则 n n n 1 i i 31 3 x dx ? S ? f ( ) ? x ? ( ) ? ? n ?0 n n i ?1 i ?1 n 1 1 2 1 n 3 2 ? 4 ? i ? 4 ? n (n ? 1) n 4 n i ?1 1 1 2 ? (1 ? ) 4 n (2)取极限 ? x dx ? lim S 3 0 n?? 1 n 1 1 2 1 ? lim (1 ? ) ? n?? 4 n 4 定积分的性质: ( 1 ) ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx(k为常数) a a b b (2) ? [ f1( x) ? f2 ( x)]dx ? ? f1( x)dx ? ? f2 ( x)dx a a a b b b (3) ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx a a c b c b (其中a ? c ? b) 1 2 3 15 例2 已知? x dx ? , ? x dx ? , 0 4 1 4 2 7 4 2 56 2 x dx ? , x dx ? , ?1 3 ?2 3 1 3 求( 1 ) ? 3x dx 3 0 2 (2) ? 6 x dx 2 1 4 (3) ? (3 x ? 2 x )dx 2 3 1 2 9 已知? dx ? 3, ? xdx ? , 0 0 2 3 3 81 2 3 ?0 x dx ? 9,?0 x dx ? 4 , 3 3 求 (1) ? (4 x ? 3x ? 6 x ? 8)dx 3 2 0 3 (2) ? (?8 x ? 21x ? 12 x ? 15)dx 3 3 0 3 有关的数学名言 ? ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动,以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明 ?

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