高中数学第三章概率3.3.1几何概型课时提升作业2新人教A版必修3

几何概型 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·湖南高考)在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( A. B. C. D. ) 【解析】 选 B.基本事件空间为区间[-2,3],它的度量是长度 5,X≤1 的度量是长度 3,所以所求概率为 . 2.(2013· 黄冈高一检测)设不等式组 则此点到坐标原点的距离小于等于 2 的概率是 ( A. B. C. 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点, ) D. 【解析】选 A.平面区域 D 的面积为 4,到坐标原点的距离小于等于 2 的点所在区域的面积为π ,由几 何概型的概率公式可知区域 D 内一个点到坐标原点的距离小于等于 2 的概率为 . 【举一反三】若在区域 D 内随机取一点,则此点到坐标原点的距离大于 1 的概率为 ( A. B.1C. D.1) 【解析】选 D.平面区域 D 的面积为 4,到坐标原点的距离小于等于 1 的点所在区域的面积为 ,由几 何概型的概率公式可知区域 D 内一个点到坐标原点的距离大于 1 的概率为 13.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取点则该点落在三棱锥 A1-ABC 内的概率是 ( A. B. C. D. ) . 【解析】选 B.体积型几何概型问题. P? VA1 ?ABC VABCD?A1B1C1D1 1 ? . 6 4.(2014·大庆高一检测)如图,在一个边长为 a,b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯 形上、下底分别为 与 ,高为 b.向该矩形内随机地投一点,则所投的点落在梯形内 部的概率为( ) -1- A. C. B. D. b= ab. 【解析】选 C.S 矩形=ab.S 梯形= 故所投的点落在梯形内部的概率 P= = = . 5.(2013· 汉中高一检测)在区间[0,10]内随机取出两个数,则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的 概率是 ( A. ) B. C. D. ,(a,b)构成区域的总面积为 100,而 a +b ≤10 2 2 【解析】 选 D.设取出的两个数为 a,b,则 a,b∈ 时,点(a,b)在以原点为圆心,以 为半径的圆位于第一象限的区域,面积为 π ,所以这两个数的 平方和也在区间[0,10]内的概率是面积之比,为 = . 6.(2013· 陕西高考)如图,在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无 其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点 ,则该地 点无信号的概率是 ( A.1C.2B. D. ) -1 【解题指南】 由几何概型的概率计算公式可知只需计算图中阴影部分的面积与矩形的面积之比即可. 【解析】选 A.由题设可知,矩形 ABCD 的面积为 2,曲边形 DEBF 的面积为 2- ,故所求概率为 = 1- . 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·深圳高一检测)在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为 【解析】[-1,2]的长度为 3,[0,1]的长度为 1,所以所求概率是 . . -2- 答案: 8.在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观察,则发现大肠 杆菌的概率为 . 【解析】 大肠杆菌在 400 毫升自来水中的位置是任意的,且结果有无限个,属于几何概型.设取出 2 毫 升水样中有大肠杆菌为事件 A,则事件 A 构成的区域体积是 2 毫升,全部试验结果构成的区域体积是 400 毫升,则 P(A)= 答案:0.005 9.在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的距离至少有一个小于 1 的概率 是 . =0.005. 【解题指南】解答本题从正面考虑较繁琐,所以从反面来解答,先计算事件“使点 P 到三个顶点的距 离都大于或等于 1”的概率,利用对立事件的概率公式计算. 【解析】边长为 2 的正三角形 ABC 内,到顶点 A 的距离小于 1 的点的集合为以点 A 为圆心,1 为半径, 圆心角为∠A=60°的扇形内.同理可知到顶点 B,C 的距离小于 1 的点的集合.故使点 P 到三个顶点的 距离都大于或等于 1 的概率为 =1,故所求的概率为 1= . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.甲、 乙两人约定在 6 时到 7 时之间的某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去, 求两人能会面的概率. 【解析】以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能 够会面的充要条件是 |x-y|≤15.在如图所示的平面直角坐标系下 ,(x,y)的 所有可能结果是边长为 60 的正方形区域,其面积用 S 表示,而事件 A“两人 能够会面” 的可能结果由图中的阴影部分表示,面积为 SA.由几何概型的概率 公式得:P(A)= = = . = . 所以,两人能会面的概率是 11.如图,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段 OB 上任取一点 C, -3- 试求:(1)△AOC 为钝角三角形的概率. (2)△AOC 为锐角三角形的概率. 【解析】如图,由平面几何知识: 当 AD⊥OB 时,OD=1; 当 OA⊥AE 时,OE=4,BE=1. (1)当且仅当点 C 在线段 OD 或 BE 上时,△AOC 为钝角三角形,记“△AOC 为钝 角三角形”为事件 M,则 P(M)= 率为 0.4. (2)当且仅当点 C 在线段 DE 上时,△AOC 为锐角三角形 ,记“△AOC 为锐角三角形”为事件 N,则 P(N)= = =0.6,即△AOC 为锐角三角形的概率为 0.6. = =0.4,即△AOC 为钝角三角形的概 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.若

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