福建省莆田市第二十五中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及答案

莆田市第二十五中学 2015-2016 学年高二上学期期末考试 数学(文)
一、 选择题(每题 5 分,共 60 分) 1、命题“若 x>5,则 x>0”的否命题是( A.若 x≤5,则 x≤0 C.若 x>5,则 x≤0 )

B.若 x≤0,则 x≤5 D.若 x>0,则 x>5

2、若命题 p: 0 是偶数,命题 q: 2 是 3 的约数.则下列命题中为真的是( A.p 且 q C.非 p B.p 或 D.非 p 且非 q )

2 3、命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为( 2 A. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0 2 B. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 4 2 C. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0 2 D. ?x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0

2 4、抛物线 x ? ?

1 y 的准线方程是( 4
B. x ? ?1
2



A. x ? 1

C. y ?

1 16

D. y ? ?

1 16

5、一个物体的运动方程为 s ? ?t ? t ,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒 末的瞬时速度是 ( A、8 米/秒 ) B、7 米 / 秒 C 、6 米/秒 D、5 米/秒 ) D. 3 或- 3

3 6、若 f ( x) ? x , f ?( x0 ) ? 3, 则x0 的值为(

A.1

B.-1

C.1 或-1

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 m 的取值范围为( 7、若曲线 m 1? m



A. m ? 1

B. m ? 0

C. ?

1 ?m?0 2
'

D.

1 ? m ?1 2


8、已知二次函数 f ? x ? 的图象如图 1 所示 , 则其导函数 f

?x ? 的图象大致形状是(

9、抛物线 y=上点 P 的纵坐标是 4,则其焦点 F 到点 P 的距离为( A.3 B.4 C.5 D.6

)

3 2 10、函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a = (

)

A.2

B.3

C.4

D.5

? x2 y 2 ? 1 ( a ? 2 )的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为 11、已知双曲线 2 ? 3 a 2
( ) A.

2 3 3

B.

2 6 3

C. 3

D. 2

12、双曲线 mn 的值为( A.

x2 y2 ? =1 (mn≠0)离心率为 2,其中一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,则 m n
) B.

3 16

3 8

C.

16 3

D.

8 3

二.填空(共 20 分)
2 13、 " x ? 1" 是 " x ? 3x ? 2 ? 0" 的

条件(充分必要,充分不必要,必要不充分)

2 14、抛物线 x ? ay 的准线方程是 y ? 2 ,则 a ? _____.

15、椭圆 ______.

x2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 P、Q,则△PQF2 的周长为 25 9

16、函数 f(x)=x-lnx 的单调减区间为 三、解答题(共 70 分)



17、已知命题 p:x2-8x-20≤0,命题 q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若 要条件,求 a 的取值范围.

p 是 q 的充分不必

? ? x ? ( x ? 4 )( x ? a ) 18、已知 a 为实数, f
2

(1)求导数 (2)若

?; f ??x

? ? f? ? 1 ? 0 ,求 f ?x?在[-2,2]上的最大值和最小值;

19、已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, a 2 b2
3 2

并与双曲线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为 ( , 6) . (1)求抛物线的方程; (2)求双曲线的方程.

20、已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x.
2

(1)若函数 f ( x) 的图象在 ? 2, f (2) ? 处的切线斜率为 l,求实数 a 的值;

(2)求函数 f ( x) 的单调区间.

3 21、设函数 f ( x ) ? x ?

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间. (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有三个实根,求实数 a 的取值范围

22、设

分别为椭圆

的左、右两个焦点,若椭圆 C 上的点

A(1,

)到 F1,F2 两点的距离之和等于 4.

⑴写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; ⑵过点 P(1, )的直线与椭圆交于两点 D、E,若 DP=PE,求直线 DE 的方程;

⑶过点 Q(1,0)的直线与椭圆交于两点 M、N,若△OMN 面积取得最大,求直线 MN 的 方程.

参考答案 一、选择题 1-5 ABCCD 6-10 CBBCD 二、填空 13、充分不必要 三解答题 17、解:由已知 p:x>10 或 x<-2, 记 A={x|x<-2,或 x>10}. q:x≤1-a 或 x≥1+a, 记 B={x|x≤1-a,或 x≥1+a}(a>0). ∵ p 是 q 的充分不必要条件, 14、 ?8 15、20 16、 (0,1) 11-12 AA

∴A

?1 ? a ? ?2, ? B,∴ ?1 ? a ? 10, 解得 0<a≤3. ? a >0, ?
2 2 ? ? f ' x ? 2 x ( x ? a ) ? ( x ? 4 ) ? 3 x ? 2 ax ? 4

∴所求 a 的取值范围为 0<a≤3. 18、解: (1)

? ? ? 1 ? 0 (2)由 f? 得a ?
2

1 , 2
3

( x ) ? ( x ? 4 )( x ? ) ? x ? x ? 4 x ? 2 故f

1 2

1 2 2

4 2 ? ? f ' x ? 3 x ? x ? 4 ? x ? ? 1 , 或 x ? 3
( ? 2 ) ? f ( 2 ) ? 0 1 )? 由f , f (?

9 4 16 4 1 20 5 50 ( ) ? (? 4 )( ? ) ? ?? ? ? ,f 2 3 9 3 2 9 6 27

(x) ? , fmin (x ) ?? 故 fmax

9 2

50 27
3 2

19、解: (1)由题意知,抛物线的焦点在 x 轴上,又过点 ( , 6) ,

2 所以,设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,代入点 ( , 6) ,有 6 ? 3 p, 得 p ? 2 ,

3 2

所以,抛物线的方程为 y ? 4 x ,所以,所求双曲线的一个焦点为 (1, 0) , c ? 1
2

(2)设所求双曲线方程为

3 1 x2 y2 2 ? ? 1, 代入点 ( , 6) ,得 a ? 2 2 2 4 a 1? a

所以双曲线方程为

x2 y2 4 y2 ? ? 1, 即 4 x 2 ? ?1 1 3 3 4 4

20、解:(1) f '( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2a ? x x

由已知 f '(2) ? 1,解得 a ? ?3 . (2)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

① 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ; ② 当 a ? 0 时 f '( x) ?

2( x ? ?a )( x ? ?a ) . x

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下:

由上表可知,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ?a ) ;单调递增区间是 ( ?a , ??) . 21、解: (1)增区间(-∞,1)和(2,+∞) ,减区间为(1,2);(2) 2 ? a ?

5 2

2 试题分析: (1) f ??x? ? 3x ? 9x ? 6 , 解 f ??x ? ? 0 或 f ??x ? ? 0 的解集; (2) 先求极值点,

判断单调性,然后根据图形,判定 x 轴于图像有三个交点时的位置,从而列不等式.
2 试题解析: (1) f ??x? ? 3x ? 9x ? 6 ,当 f ??x ? ? 0 时, x ? 2 或 x ? 1 .当 f ??x ? ? 0 时,

1? x ? 2.

( 1,2) ? ?? 为增函数,根据函数的 (2)由(1)知,函数在(-∞,1)为增, 为减函数, ?2,

图像特征,判断 x 轴应在极值之间,由 ? 22、解:⑴椭圆 C 的焦点在 x 轴上,

5 ? f (1) ? 0 得, 2 ? a ? 2 ? f (2) ? 0

由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.; 得 b2=1,于是 c2=3; ,

又点 A(1,

) 在椭圆上,因此

所以椭圆 C 的方程为 ⑵∵P 在椭圆内,∴直线 DE 与椭圆相交, ∴设 D(x1,y1),E(x2,y2),代入椭圆 C 的方程得

x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得 2(x1-x2)+4× 2× (y1-y2)=0,∴斜率为 k=-1

∴DE 方程为 y-1= -1(x-

),即 4x+4y=5;

(3)直线 MN 不与 y 轴垂直,∴设 MN 方程为 my=x-1,代入椭圆 C 的方程得 (m2+4)y2+2my-3=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 y1+y2=, y1y2=,且△>0 成立.

又 S△OMN=

|y1-y2|=

×

=



设 t= 则 S△OMN=



, ,(t+ )′=1-t-2>0 对 t≥ 恒成立,

∴t=

时 t+ 取得最小,S△OMN 最大,

此时 m=0, ∴MN 方程为 x=1


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