2019高中数学人教A版必修一 第一章 集合与函数概念 学业分层测评8 Word版含答案



学业分层测评(八) 分段函数及映射
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题
2 ?1-x ?x≤1? ? 1 ? 1.设函数 f(x)=? 2 则 f?f?2??的值为( ? ? ?x +x-2?x>1?,

)

15 A.16 8 C.9

27 B.-16 D.18 1 1 = ,当 f?2? 4

【解析】 当 x>1 时,f(x)=x2+x-2,则 f(2)=22+2-2=4,∴ x≤1 时,f(x)=1-x2, 1 15 ? 1 ? ?1? ∴f?f?2??=f?4?=1-16=16.故选 A. ? ? ? ? 【答案】 A

2.设集合 A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在下图中能表示从集合 A 到集 合 B 的映射的是( )

【导学号:97030042】

【解析】 故 A 不成立;

在 A 中,当 0<x<1 时,y<1,所以集合 A 到集合 B 不成映射,

在 B 中,当 1≤x≤2 时,y<1,所以集合 A 到集合 B 不成映射,故 B 不成立; 在 C 中,当 0≤x≤1 时,任取一个 x 值,在 0≤y≤2 内,有两个 y 值与之相 对应,所以构不成映射,故 C 不成立; 在 D 中,当 0≤x≤1 时,任取一个 x 值,在 0≤y≤2 内,总有唯一确定的一 个 y 值与之相对应,故 D 成立.故选 D. 【答案】 D )

?x-5?x≥6? 3.已知 f(x)=? 则 f(3)=( ?f?x+2??x<6?, A.2 C.4 【解析】 B.3 D.5 由题意,得 f(3)=f(5)=f(7),

∵7≥6,∴f(7)=7-5=2.故选 A. 【答案】 A

4.(2016· 杭州高一检测)在映射 f:A→B 中,A=B={(x,y)|x,y∈R},且 f: (x,y)→(x-y,x+y),则与 B 中的元素(-1,1)对应的 A 中的元素为( A.(0,1) B.(1,3) )

C.(-1,-3) 【解析】 【答案】

D.(-2,0)

?x-y=-1 由题意,? 解得 x=0,y=1,故选 A. ?x+y=1, A

2?x≤-1? ?x+ 2 5.设 f(x)=?x ?-1<x<2? ?2x?x≥2?, 【导学号:97030043】 A. 3 C.-1 或 3

若 f(x)=3,则 x=(

)

B.± 3 D.不存在

【解析】

2?x≤-1? ?x+ 2 ∵f(x)=?x ?-1<x<2? ?2x?x≥2?,

f(x)=3,

2 ?x+2=3 ?x =3 ?2x=3 ∴? 或? 或? ∴x∈?或 x= 3或 x∈?,∴x= 3. ?x≤-1 ?-1<x<2 ?x≥2,

【答案】 二、填空题

A

2x+2,-1≤x<0 ? ? 1 6.设 f(x)=?-2x,0<x<2 ? ?3,x≥2,

? ? ? 3??? 则 f?f?f?-4??? ??? ???

的值为________,f(x)的定义域是________. 【解析】 3 ∵-1<-4<0,

1 1 ? 3? ? 3? ∴f?-4?=2×?-4?+2=2.而 0<2<2, ? ? ? ? 1 1 1 ?1? ∴f?2?=-2×2=-4. ? ?
? ? ? 3??? 3 1 3 ? 1? ? 1? ∵-1<-4<0,∴f?-4?=2×?-4?+2=2.因此 f?f?f?-4???=2. ? ? ? ? ??? ???

函数 f(x)的定义域为{x|-1≤x<0}∪{x|0<x<2}∪{x|x≥2}={x|x≥-1 且 x≠0}.

【答案】

3 2

{x|x≥-1 且 x≠0}

7.已知函数 f(x)的图象如图 123 所示,则 f(x)的解析式是______.

图 123

【解析】

由题图可知,图象是由两条线段组成,

?-a+b=0 当-1≤x<0 时,设 f(x)=ax+b,将(-1,0),(0,1)代入解析式,则? ?b=1, ?a=1 ∴? 即 f(x)=x+1; ?b=1, 当 0<x<1 时,设 f(x)=kx,将(1,-1)代入,则 k=-1,即 f(x)=-x. ?x+1,-1≤x<0 综上,f(x)=? ?-x,0≤x≤1. 【答案】 ?x+1,-1≤x<0 f(x)=? ?-x,0≤x≤1

?b,a≥b 8.若定义运算 a⊙b=? 则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域为________. ?a,a<b, 【解析】 ?2-x,x≥1 由题意得 f(x)=? ?x,x<1,

画出函数 f(x)的图象得值域是(-∞,1].

【答案】 三、解答题

(-∞,1]

9.画出函数 y=|x+1|+|x-3|的图象,并写出其值域. 【导学号:97030044】

【 解 】



y = |x + 1| + |x - 3| =

?-2x+2,x≤-1 ?4,-1<x≤3 ?2x-2,x>3,
∴函数图象如图, 由图象易知函数的值域为[4,+∞). 10.如图 124,动点 P 从边长为 4 的正方形 ABCD 的顶点 B 开始,顺次经 C、 D、A 绕周界运动,用 x 表示点 P 的行程,y 表示△APB 的面积,求函数 y=f(x)的 解析式.

图 124 【解】 1 当点 P 在 BC 上运动,即 0≤x≤4 时,y=2×4×x=2x;

1 当点 P 在 CD 上运动,即 4<x≤8 时,y=2×4×4=8; 1 当点 P 在 DA 上运动,即 8<x≤12 时,y=2×4×(12-x)=24-2x.

?2x,0≤x≤4 综上可知,f(x)=?8,4<x≤8 ?24-2x,8<x≤12.
[能力提升] 1. 设 f: x→x2 是集合 A 到集合 B 的映射, 如果 B={1,2}, 则 A∩B 一定是( A.? C.{1} B.?或{1} D.? )

【解析】 由题意可知,集合 A 中可能含有的元素为:当 x2=1 时,x=1,- 1;当 x2=2 时,x= 2,- 2.所以集合 A 可为含有一个、二个、三个、四个元素 的集合.无论含有几个元素,A∩B=?或{1}.故选 B. 【答案】 B )

2 ?x ,x<0 2.下列图形是函数 y=? 的图象的是( ?x-1,x≥0

【解析】

由于 f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1);当 x<0 时,y

=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在 y 轴左侧的部分.因此只有图形 C 符合. 【答案】 C

?2x+a,x<1 3.(2016· 常州高一检测)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1 ?-x-2a,x≥1, -a)=f(1+a),则 a 的值为________. 【导学号:97030045】 【解析】 3 a=-2(舍去). 3 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1,∴-1+a-2a=2+2a+a,解得 a=-4. 【答案】 3 -4 当 a>0 时,1-a<1,1+a>1,∴2(1-a)+a=-1-a-2a,解得

4.“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源,竟然到了严重制约我 国经济发展,严重影响人民生活的程度.因为缺水,每年给我国工业造成的损失

达 2 000 亿元,给我国农业造成的损失达 1 500 亿元,严重缺水困扰全国三分之二 的城市.为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定每季度每人用水量不 超过 5 吨时,每吨水费 1.2 元,若超过 5 吨而不超过 6 吨时,超过的部分的水费加 收 200%,若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部分的水费加收 400%,如果某人本 季度实际用水量为 x(x≤7)吨,试计算本季度他应交的水费 y(单位:元). 【解】 由题意可知:①当 x∈[0,5]时,f(x)=1.2x.

②若超过 5 吨而不超过 6 吨时,超过部分的水费加收 200%,即当 x∈(5,6]时, f(x)=1.2×5+(x-5)×3.6=3.6x-12. ③当 x∈(6,7]时,f(x)=1.2×5+1×3.6+(x-6)×6=6x-26.4.

?1.2x,x∈[0,5] ∴f(x)=?3.6x-12,x∈?5,6] ?6x-26.4,x∈?6,7].


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