函数的单调性与最值教案 理 新人教版


第2讲
3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围. 【复习指导】

函数的单调性与最值

1.考查求函数单调性和最值的基本方法.2.利用函数的单调性求单调区间.

本讲复习首先回扣课本,从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念,复习中重点掌握:(1)函数单调性的判断 及其应用;(2)求函数最值的各种基本方法;对常见题型的解法要熟练掌握.

基础梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意 两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>

f(x2),那么就说函数 f (x )
在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的

(2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做 f(x) 的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 条件 . ①对于任意 x∈I,都有

f(x)≤M;
②存在 x0∈I, 使得 f(x0) =M

f(x)≥M;
②存在 x0∈I,使得 f(x0)=

M. M 为最小值

结论

M 为最大值

1

一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y=

1

x

分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单

调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0, +∞),不能用“∪”连接. 两种形式

设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 ①

f? x1? -f? x2? f? x1? -f? x2? >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2

②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函 数. 两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 函数单调性的判断四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性.

考向一 常见函数的单调性 【例 1】? 求下列函数的单调区间并指出单调区间上是增函数还是减函数 (1) y ? 2 x ? 1 (2) y ?

5 x

(3) y ? x ? 2 x ? 3
2

小结: 考向二 函数单调性的判断或证明 【例 2】? 求证:函数 f ( x) ? x ?

1 在(0,1)上减函数 x

函数单调性的判断或证明步骤:设元 ? 作差 ? 变形 ? 判断符号 ? 给出结论 ( ).
2

考向三 求函数的单调区间 【例 3】? 求下列函的单调区间 (1) f ( x) ? ? x ? 3x ? 2
2

(2)

f ( x) ? 3 x

(3) f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3
2

考向四 复合函数单调性的判定

三、夯实双基
(一)选择题 1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( ) 1 A. y ? 3 ? x B. y ? x 2 ? 1 C. y ? x 2.设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数,则有( ) 1 1 1 A. a ? B. a ? C. a ? ? 2 2 2 A.-3 A. f (a) ? f (2a) B.13 C.7 B. f ( a 2 ) ? f ( a ) )

D. y ? ? | x |

D. a ?

1 2

3.函数 f ( x) ? 2 x 2 ? mx ? 3 ,当 x ?[?2,??) 时为增函数, x ? (??,?2] 时为减函数,则 f (1) 等于( ) D.由 m 而定 4.已知 f ( x) 是 (??,??) 上的减函数,若 a ? R ,则( ) C. f ( a 2 ? a ) ? f ( a ) D. f (a 2 ? 1) ? f (a) 5:函数 f(x)=x2+4ax+2 在区间(-∞,6]内递减,则 a 的取值范围是( A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 (二)填空题 6.函数 f(x)=2 x2-3|x|的单调减区间是___________.

( x ? 0) ?x 2 ? 1 7.已知函数 f ( x) ? ? 2 的单调递增区间是 ?? x ? 1 ( x ? 0)
(三)解答题



8.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y) ,f(3)=1,求解不等式 f(x)+f(x-2)>1.

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