高中数学第三章3.2立体几何中的向量方法第3课时空间向量与空间角距离课件新人教A版选修2_1_图文

新课标导学 数 学 选修2-1 ·人教A版 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角、距离 1 2 自主预习学案 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案 同学们可能经常谈论**同学是白羊座的,**同学是双子座的.可是你知道十 二星座的由来吗? 我们知道, 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”. 黄 道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为 23° 27′, 它与天球 相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽 8° 以内的区域 称为黄道带. 黄道带内有十二个星座, 称为“黄道十二宫”. 从 春分(节气)点起,每 30° 便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、 金牛座、双子座等等,这便是星座的由来.今天我们研究的问 题之一就是二面角的平面角问题. π (0,2] 异面直线所成的角取值范围是______________,两向量夹角的取值范围是 [0,π] ______________ ,设l1与l2是两异面直线,a、b分别为l1、l2的方向向量,l1、l2 相等 或________, 所成的角为θ,由向量夹角的定义及求法知〈a,b〉与θ________ 互补 ∴cosθ=________ |a· b| . |a|· |b| 1.异面直线所成角 2.求直线与平面所成的角 如图,设 l 为平面 α 的斜线,l∩α=A,a 为 l 的方向向量,n 为平面 α 的法向 |a· n| 量,φ 为 l 与 α 所成的角,θ=〈a,n〉 ,则 sinφ=|cosθ|=|cos〈a,n〉|=|a||n|. π [0,2] 直线与平面所成的角的取值范围是______________. 3.求二面角 平面 α 与 β 相交于直线 l,平面 α 的法向量为 n1,平面 β 的法向量为 n2,<n1, n2>=θ,则二面角 α-l-β 为 θ 或 π-θ.设二面角大小为 φ, |n1· n2| |cosθ| =____________ |n1|· |n2| 则|cosφ|=_________ . 由于两条直线所成的角,线面角都不大于直角,因此可直接通过绝对值来表 [0,π] 达,故可直接求出,而二面角的范围是______________ ,有时比较难判断二面角 是锐角还是钝角,因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断,故这是求二面 角的难点. 4.求点到平面的距离 如图所示,已知点 B(x0,y0,z0),平面 α 内一点 A(x1,y1,z1),平面 α 的一个 → → 法向量 n,直线 AB 与平面 α 所成的角为 φ,θ=〈n,AB〉 ,则 sinφ=|cos〈n,AB〉 → → → |=|cosθ|.由数量积的定义知, n· AB=|n||AB|cosθ, ∴点 B 到平面 α 的距离 d=|AB|· sinφ → |n· AB| → |n| . =|AB|· |cosθ|=______ 5.求异面直线间的距离 如右图,若 CD 是异面直线 a、b 的公垂线,A、B 分别为 a、b 上的任意两点, → → → → → → → 令向量 n⊥a,n⊥b,则 n∥CD.则由AB=AC+CD+DB得,AB· n=AC· n+CD· n → → → +DB· n,∴AB· n=CD· n. → | AB · n| → → → ∴|AB· n|=|CD|· |n|,∴|CD|= |n| . → |AB· n| |n| ∴两异面直线 a、b 间的距离为 d=________ . 6.求直线到平面的距离 设直线 a∥平面 α,A∈a,B∈α,n 是平面 α 的法向量,过 A 作 AC⊥α,垂足 → 为 C,则AC∥n, → → → → ∵AB· n=(AC+CB)· n=AC· n, → → ∴|AB· n|=|AC|· |n|. → |AB· n| → |n| ∴直线 a 到平面 α 的距离 d=|AC|=_________ . 7.求两平行平面间的距离 设 n 是两平行平面的一个法向量,A、B 分别是两平行平面上的任意两点,则 → |AB· n| |n| 两平行平面的距离 d=__________ . 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AA1与BCA 1所 成的角为 ( ) A.45° B.60° C.90° D.135° [解析] 如图,∵AA1∥BB1, ∴∠B1BC1即为异面直线AA1与BC1所成的角. 又∠B1BC1=45°,故选A. 2.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=4,CC1=2,则直线 BC1 和平 面 DBB1D1 所成角的正弦值为 3 A. 2 5 B. 2 ( C ) 10 10 C. 5 D. 10 [解析] 解法一:连接 A1C1 交 B1D1 于 O 点,由已知条件得 C1O⊥B1D1,且平 面 BDD1B1⊥平面 A1B1C1D1,所以 C1O⊥平面 BDD1B1,连接 BO,则 BO 为 BC1 在 10 平面 BDD1B1 上的射影,∠C1BO 即为所求,通过计算得 sin∠C1BO= 5 ,故选 C. 解法二:以 A 为原点,AB、AD、AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, → → 则 B(4,0,0)、 B1(4,0,2)、 D(0,4,0)、 D1(0,4,2)、 C1(4,4,2), ∴BC1=(0,4,2)、 BD=(-4,4,0)、 → BB1=(0,0,2), 设平面 BDD1B1 的法向量为 n=(x,y,z),则 → ? ? ? ?n· BD=0 ?-4x+4y=0 ?y=x ? ,∴? ,∴? . ? ? → ?2z=0 ?z=0 ? n · BB = 0 ? 1 → 取 x=1,则 n=(1,1,0).又BC1=(0,4,2) → |n· BC1| 4 10 → 设所求线面角为 α,则 sinα=|cos

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