3-5解析函数的高阶导数精品资料_图文

§5

解析函数的高阶导数

定理 阶导数为:
f

解析函数的导数仍是解析函数, 它的 n

(n)

n! f ( z) ( z0 ) ? dz n ?1 ? 2?i C ( z ? z0 )

(3.5.1)

其中 C 为函数 f ( z ) 的解析域内的环绕 z0 正向简单闭 曲线,且 C 的内部仍在 f ( z ) 的解析域内。

C [证] 设 z0 为 f ( z ) 的解析域 D 内任意一点,
为 D 内环绕 z0 的一条正向简单闭曲线,且 C 的内部仍 在 D 内,我们先证 n ? 1 情况, 即

1 f (z) f ?( z 0 ) ? 2 dz ? 2?i C ( z ? z0 )

根据定义

f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) f ?( z0 ) ? lim ?z ? 0 ?z
由柯西积分公式 1 f (z) f ( z0 ) ? dz ? 2?i C z ? z0 1 f (z) f ( z0 ? ?z ) ? dz ? 2?i C z ? z0 ? ?z 其中 z0 ? ?z 在曲线 C 的内部。从而有

1 f (z) f (z) f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) ? [ ? ]dz ? 2?i?z C z ? z0 ? ?z z ? z0 ?z 1 f (z) ? dz ? 2?i C ( z ? z0 )( z ? z0 ? ?z ) 1 f (z) 1 ?zf ( z ) ? dz ? dz 2 2 ? ? 2?i C ( z ? z0 ) 2?i C ( z ? z0 ) ( z ? z0 ? ?z )


1 f ( z ) ?z I? dz 2 ? 2?i ( z ? z0 ) ( z ? z0 ? ?z )


1 | f ( z ) || ?z | ds |I|? 2 ? 2? C | z ? z0 | | z ? z0 ? ?z |

设 d 为 z0 到 C 上的点的最短 d 距离,选取适当小的 ?z, 使| ?z |? 2 由于 f ( z ) 在 C 上连续,从而在 C

C

z0 ? d

上有界,即存在正数 M 使得: D | f ( z ) |? M ( z ? C ) 1 | f ( z ) || ?z | ds | I |? 2 ? 2? C | z ? z0 | | z ? z0 ? ?z | 因此,当 z ? C 时,有 d | z ? z0 |? d | z ? z0 ? ?z |? | z ? z0 | ? | ?z | ? 2 ML 所以 | I |?| ?z | 3 ?d 其中 L 为 C 的弧长,令?z ? 0, 则 I ? 0, 从而

f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) f ?( z0 ) ? lim ?z ? 0 ?z 1 f ( z) ? dz 2 ? 2?i C ( z ? z0 )
求极限

(3.5.2)

同理,我们可以利用 (3.5.2) 及其 (3.5.2) 的推导方法

f ?( z0 ? ?z ) ? f ?( z0 ) lim ?z ? 0 ?z



2! f (z) dz f ??( z0 ) ? 3 ? 2?i C ( z ? z0 )

至此,我们已经导出:解析函数的导数仍是解析函数。

利用归纳法,类似 (3.5.2) 的推导可得: n! f ( z) (n) dz . f ( z0 ) ? n ?1 ? 2?i C ( z ? z0 )

高阶导数公式的作用,不是在于通过积分求导, 说明:
而是通过求导而求积分。 例1 计算下列积分 ez ? 1 | z |? 1 1) ? z 4 dz 其中C 为正向圆周: C 2?i z (e ? 1)??? 解 1) 原式 ? z ?0 3! ?i z ? ?i ? e 3 z ?0 3

1 | z |? 4 2) ? ( z ? 2)2 z dz 其中C 为正向圆周: C 解 利用复合闭路定理得

原式 ?

1 1 ( z ? 2)2 z dz ? ? dz ? ? 2 z ( z ? 2 ) | z | ?1 |z ? 2|?1
1 1 ? 2?i[ ? ( )? ] 2 ( z ? 2) z ? 0 z z?2

|z|?1

?

?

|z ? 2|?1

?

1 1 ? 2?i[ ? ] ? 0 4 4

ez 3) ? z ( z ? 2)2 dz |z ? 2|?1
ez 所以 解 由于 f ( z ) ? 在 | z ? 2 |? 1 上解析, z ez ez z ? z( z ? 2)2 dz ? ? ( z ? 2)2 dz |z ? 2|?1 |z ? 2|?1

ez ze z ? e z ? 2?i ( )? ? 2? i[ ] 2 z z?2 z z?2
?

?
2

e 2i

例2 求 f ( z ) ?

3 d? . ? (? ? z ) |? ? z| ? 2

?e?



令 g(? ) ? ?e? , 则由高阶导数公式知

2! g(? ) g??( z ) ? 3 d? , ? 2?i |? ? z|? 2 (? ? z )
所以
f ( z ) ? ?ig??( z ) ? ?i( ze z )?? ? ?i (e z ? ze z )?

? ?i ( ze z ? 2e z )


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