高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课后训练新人教B版选修1_1

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3.3.3 导数的实际应用
课后训练 1.把长为 80 cm 的铁丝分为两段,分别围成正方形,要使两个正方形面积之和最小, 则两段铁丝的长分别为( ) A.20 cm 和 60 cm B.30 cm 和 50 cm C.35 cm 和 45 cm D.40 cm 和 40 cm 2.用边长为 36 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四个角各截去一个面 积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊接成一个铁盒.要使所做的铁盒容积最大,在 四角截去的正方形的边长为( ) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 3.容积为 108 升的底面为正方形的长方体无盖水箱,要使用料最省,它的高为( ) A.2 分米 B.3 分米 C.4 分米 D.6 分米 4. 设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V, 那么其表面积最小时, 底面边长为( ) A. 3 V B. 3 2V C. 3 4V D. 2 3 V )

5.已知圆柱的表面积为定值 S,则当圆柱的容积 V 最大时,圆柱的高 h 的值为( A.

πS π

B.

6 πS 3π

C.

πS 3

D.

πS 3π
2

6.已知矩形的两个顶点 A,D 位于 x 轴上,另两个顶点 B,C 位于抛物线 y=4-x 在 x 轴上方的曲线上,则这个矩形的面积最大时的边长分别为__________. 7.某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可 以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元,0≤x≤30)的平方成 正比.已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 8.“过低碳生活,创造绿色家园”.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房 屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热 层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位: cm)满足关系: C (x ) ?

k (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 3x ? 5

f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)求隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求出最小值.

1

参考答案 1. 答案:D 2. 答案:A 3. 答案:B 设水箱的底面边长为 a 分米,高为 h 分米,则 V=a h=108,即 h ?
2

108 . a2

用料最省,即表面积最小.

108 432 2 =a + . 2 a a 432 432 S 表′=2a- 2 ,令 S 表′=2a- 2 =0,解得 a=6,此时 h=3(分米). a a
S 表=S 底+S 侧=a2+4ah=a2+4a×
4. 答案: C 设底面边长为 x ,则表面积 S (x) ?

3 2 4 3 x ? V (x > 0) , S′(x) = 2 x

3 x
2

(x -4V),令 S′(x)=0,得唯一极值点 x ?
3

3

4V .
2

5. 答案:B 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 S=2π r +2π rh.

S ? 2πr 2 ∴h ? . 2πr
又圆柱的体积 V(r)=π r h=
2

r rS ? 2πr 3 2 (S-2π r )= . 2 2

而 V' (r ) ?

S ? 6πr 2 , 2
2

令 V′(r)=0,得 S=6π r ,∴h=2r, 又r ?

S S 6πS ,∴ h ? 2 . ? 6π 6π 3π
6 πS . 3π
2

即当圆柱的容积 V 最大时,圆柱的高 h 为

6. 答案:

4 3 8 , 3 3

设矩形的边长 AD=2x,则 AB=4-x ,
2 3

∴矩形面积为 S=2x(4-x )=8x-2x (0<x<2). 2 ∴S′=8-6x . 令 S′=0,解之,得 x1 ?

2 3 2 3 , x2 ? ? (舍去). 3 3

当 0<x<

2 3 2 3 时,S′>0;当 <x<2 时,S′<0. 3 3
2

∴当 x ?

2 3 32 3 时,S 取最大值为 . 3 9 4 3 8 , 时,矩形的面积最大. 3 3

∴矩形的边长分别是

7. 答案: 分析: 由每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位: 元, 0≤x≤30) 2 的平方成正比, 可得多卖出商品件数为 kx .又由商品单价降低 2 元时, 一星期多卖出 24 件. 可 得 k=6.从而得到商品利润与 x 之间的函数关系,进而用导数求利润的最大值. 2 解: (1)设商品降价 x 元, 则多卖出的商品数为 kx , 若记商品在一个星期的获利为 f(x), 则依题意,有 f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2). 2 又由已知条件,24=k·2 ,于是有 k=6, 3 2 所以 f(x)=-6x +126x -432x+9 072,x∈[0,30]. 2 (2)根据(1),有 f′(x)=-18x +252x-432=-18(x-2)(x-12).

x f′(x) f(x)

[0,2) -

2 0 8 664

(2,12) +

12 0 11 664

(12,30] -

故 x=12 时,f(x)达到极大值,因为 f(0)=9 072,f(12)=11 664,所以定价为 30- 12=18(元)时能使一个星期的商品销售利润最大. 8. 答案:分析:由于不建隔热层时,每年能源消耗费用为 8 万元,可得 C(0)= 即 k=40.再由题意得到 f(x)=6x+20× 其最小值. 解:(1)由题意知,C(0)= 故 C (x ) ?

k =8, 5

40 800 =6x+ (0≤x≤10), 进而利用导数求 3x ? 5 3x ? 5

k =8,解得 k=40. 5

k . 3x ? 5 40 800 =6x+ (0≤x≤10). 3x ? 5 3x ? 5

所以 f(x)=6x+20× (2) f' (x) ? 6 ?

2400 .令 f′(x)=0, ? 3 x ? 5? 2

即6?

2400 ?0, ? 3 x ? 5? 2
25 (舍去). 3

解得 x=5, x ? ?

当 0<x<5 时,f′(x)<0; 当 5<x<10 时,f′(x)>0. 故当 x=5 时,有 f(x)最小值=f(5)=6×5+

800 =70. 3? 5 ? 5

所以当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小,最小值为 70 万元.
3


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