[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第五章 第1讲 数列的概念与简单表示法[配套课件]_图文

第五章 数列、推理与证明
第1讲 数列的概念与简单表示法

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、
通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个

数叫做这个数列的项.数列可以看作是定义域为 N*的非空子集
的函数,其图象是一群孤立的点.

2.数列的分类
分类原则 按项数分类 按项与项之 间的大小关 系分类 按其他 标准分类 类型 有穷数列 满足条件 项数有限 无限 项数______ an+1>an < an an+1____ 其中n∈N*

无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 摆动数列

an+1=an 存在正数M,使|an|≤M an的符号正负相间,如1, -1,1,-1,…

3. 数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.

4.数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个 公式 an=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

5.Sn 与 an 的关系
已知 Sn,则
? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2. ? ?an≥an-1, an 最大,则? an+1 ? ?an≥

在数列{an}中,若

.



an-1 ? ?an≤ an 最小,则? ? ?an≤an+1.



1.数列 1,2,4,8,16,32,…的一个通项公式是( B ) A.an=2n-1 C.an=2n A.an=2n-1 C.an=(-1)n(2n-1) B.an=2n-1 D.an=2n+1 B.an=(-1)n+1(2n-1)

2.数列 1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为( B ) D.an=(-1)n(2n+1) 1 1 3.在数列{an}中,若 a1= ,an= (n≥2,n∈N*), 2 1-an-1 则 a20=( D ) A.1 B.-1 1 C.2 D.2

4.如图 5-1-1 所示的是用同样规格的黑、白两色正方形瓷 砖铺设的若干图案.若按此规律铺设,则第 n 个图案中需用黑 色瓷砖的块数为(用含 n 的代数式表示)( D )

图 5-1-1 A.4n C.4n-3 B.4n+1

D.4n+8

考点 1 由数列的前几项写数列的通项公式 例 1:分别写出下列数列的一个通项公式,数列的前 4 项

已给出.
22-1 32-1 42-1 52-1 (1) , , , ,…; 2 3 4 5 1 1 1 1 (2)-2,6,-12,20,…; (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…; (4)5,4,5,4,….

解:(1)该数列第 1,2,3,4 项的分母分别为 2,3,4,5,恰好比项 数多 1.分子中的 22,32,42,52,恰是分母的平方,-1 不变,故它 ?n+1?2-1 的一个通项公式为 an= . n+1 (2)该数列各项符号是正负交替变化的,需有一个因子(-1)n, 分子均为 1 不变, 分母 2,6,12,20 可分解为 1 ×2,2×3,3×4,4×5, 1 故它的一个通项公式为 an=(-1) · . n?n+1?
n

(3)∵0.9=1-0.1,0.99=1-0.01,0.999=1-0.001 ,0.999 9 =1-0.000 1, 又 0.1=10-1,0.01=10-2,0.001=10-3,0.000 1=10-4,∴它的 一个通项公式为 an=1-10-n. (4)∵这个数列前 4 项构成一个摆动数列,奇数项是 5,偶 数项是 4. 1+?-1?n 1 ∴它的一个通项公式为 an=4+ = 2
- - ? 5,n为奇数, 9+?-1?n 1? ?或者a =? ? n ? 2 ? ?4,n为偶数 ?

? ?. ? ?

【规律方法】对于一个公式能否成为一个给出的前 n 项的 数列的通项公式,需逐项加以验证,缺一不可. 根据数列{an}的前 n 项求通项公式,我们常常取其形式上 较简便的一个即可.另外,求通项公式,一般可通过观察数列

中各项的特点,进行分析、概括,然后得出结论,必要时可加
以验证. 已知数列的前几项求通项公式,主要从以下几个方面来考 虑:

①负号用(-1)n 与(-1)n+1[或(-1)n-1]来调节;

②分数形式的数列,分析分子、分母的特征,且充分借助 分子、分母的关系; ③相邻项的变化特征; ④拆项后的特征; ⑤对于比较复杂的通项公式,要借助于等差数列,等比数 列(后面专门学习)和其他方法解决; ⑥此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠观察 (观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差 或等比数列)等方法.

【互动探究】

1.已知数列{an}的前 4 项分别为 1,0,1,0,则下列各式可作
为数列{an}的通项公式的个数有(
1-?-1?n ①an= ; 2 1-cosnπ * ③an= , ( n ∈ N ); 2
? ?1 ④an=? ? ?0

)
②an=sin 2 ;
2nπ

?n为正偶数?, ?n为正奇数?;

1 ⑤an=2[1+(-1)n+1]+(n-1)(n-2).

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

解析:由三角函数公式知,②和③实质上是一样的,不难 验证,它们是已知数列 1,0,1,0 的通项公式;对于④,易看出, 它不是数列{an}的通项公式;对于⑤,将 n=3 代入,a3=3≠1, 故⑤不是{an}的通项公式;①显然是数列{an}的通项公式.综上 所述,可作为数列{an}的通项公式有 3 个.故选 C. 答案:C

2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,

如图 5-1-2.

图 5-1-2

他们研究过图 5-1-2(1)中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够 表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 5-1-2(2)中的 1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又 是正方形数的是( C ) A.289 B.1024 D.1378

C.1225

1 解析:第 n 个三角形数可表示为 n(n+1),第 n 个四边形 2 数可表示为 n2.故选 C.

考点2

由递推关系式求数列的通项公式

例 2:已知数列{an}满足 an+1=2an+1,n∈N*. (1)若 a1=-1,写出此数列的前 4 项,并推测该数列的通 项公式;

(2)若 a1=1,写出此数列的前 4 项,并推测该数列的通项
公式.

解:(1)a1=a2=a3=a4=-1,

可推测该数列{an}的通项公式为 an=-1.
(2)方法一:a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,

a4=2×7+1=15,
可推测该数列{an}的通项公式为 an=2n-1. 方法二:由an+1=2an+1?an+1+1=2(an+1)?an+1+1=(a1 +1)2n-1?an+1=2n-1.

【规律方法】数列的递推公式是由递推关系式?递推?和首 项?基础?两个因素所确定的,即使递推关系完全一样,而首项 不同就可得到两个不同的数列;适当配凑是本题进行归纳的前 提,从整体把握是现代数学的重要手段,加强类比是探索某些 规律的常用方法之一.

【互动探究】
1 1 3.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=1-a (n≥2),则 a2014 n 1 2 =________.

1 1 1 解析:由题知,a2=1-a =-1,a3=1-a =2,a4=1-a 1 2 3 1 =2,∴此数列是以 3 为周期的周期数列.又∵2014=671×3 1 +1,∴a2014=a1=2.

考点3

利用an 与 Sn 的关系求数列的通项公式

例3:已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,按照下列条件求数列 的通项公式. (1)若 Sn=2n2-n,求数列{an}的通项公式; (2)若 Sn=n2+n+1,求数列{an}的通项公式. 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3. 经检验,当 n=1 时,a1=1 也适合 an=4n-3.

∴数列{an}的通项公式是 an=4n-3.

(2)当 n=1 时,a1=S1=3, 当 n≥2 时,an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n. ∴数列{an}的通项公式是
? ?3 an=? ? ?2n

?n=1?, ?n≥2?.

【规律方法】已知 an 求 Sn 的方法多种多样,但已知 Sn 求

an 的方法却是高度统一,化简关系式用 Sn 表示出 an 是关键.
当 n≥2 时,若由 an=Sn-Sn-1 求出的 an 对 n=1 也成立, 则 an=Sn-Sn-1,否则就分段表示.

【互动探究】 4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an-1),则 a3= ( A ) A.8 C.2

B.4
D.1

解析:由 S1=2(a1-1)=a1,得 a1=2.由 S2=2(a2-1),得

a2=4.由 S3=2(a3-1),得 a3=8.

●思想与方法● ⊙用函数的思想探讨数列的单调性 例题:已知单调递增数列{an},an=n2-kn(n∈N*),求实数

k 的取值范围.
解:∵an=n2-kn(n∈N*), ∴an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k. ∵数列{an}单调递增, ∴an+1-an>0,即 2n+1-k>0 恒成立. ∴k<2n+1,即 k<3.

【规律方法】函数的单调性与数列的单调性既有联系又有 区别,若数列所对应的函数单调,则数列一定单调;反之,若 数列单调,则其所对应的函数不一定单调.因为数列是定义域 为正整数集的特殊函数,所以数列的单调性一般要通过比较an+1 与an 的大小来判断.若an+1>an,则数列为递增数列;若an+1 <an,则数列为递减数列.解本题易出现的错误是 an 是关于n

的二次函数,其定义域为正整数集,若数列{an}递增,则必有

k ≤1,故k≤2. 2


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