2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2.1双曲线的简单性质课后演练提升北师大版选修2-1资料

2016-2017 学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.2.1 双曲线 的简单性质课后演练提升 北师大版选修 2-1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程 为( ) A.y=± 2x 2 C.y=± x 2 B.y=±2x 1 D.y=± x 2

x2 y2 a b

解析: 由题意知,2b=2,2c=2 3,则 b=1,c= 3,a= 2;双曲线的渐近线方程 2 为 y=± x. 2 答案: C 2 2 2.双曲线 mx +y =1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m=( ) 1 A.- B.-4 4 1 C.4 D. 4 解析: 由题意知 m<0,方程化为 y - =1, 1 -
2

x2

m

1 2 2 2 2 ∴a =1,b =- ,又 a=2b,∴a =4b .

m

4 ∴1=- ,∴m=-4.

m

答案: B 5 3.焦点在 x 轴上,虚轴长为 12,离心率为 的双曲线标准方程是( 4 A. C. - =1 64 144 - =1 64 16 )

x2 y
2

y2
2

B. D.

- =1 36 64 - =1 64 36

x2 x2

y2 y2

x

c 5 解析: ∵b=6, = ,∴a=8 a 4
又焦点在 x 轴上,∴方程为 - =1. 64 36 答案: D 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛 物线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为( A. C. - =1 36 108 - =1 108 36
2

x2

y2

x2 y2 a b

) B. - =1 9 27 D. - =1 27 9

x

2

y

2

x2

y2

x

2

y

2

x2

y2

解析: ∵渐近线方程是 y= 3x,∴ = 3.①

b a

1

∵双曲线的一个焦点在 y =24x 的准线上,∴c=6.② 2 2 2 又 c =a +b ,③ 2 2 由①②③知,a =9,b =27, 此双曲线方程为 - =1. 9 27 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2011·江西卷)若双曲线 - =1 的离心率 e=2,则 m=________. 16 m c2 16+m 2 2 2 解析: 由 a =16,b =m,∴c =16+m, 2= =4, a 16 ∴m=48. 答案: 48 6.双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为________. 4 12 解析: 双曲线 - =1 的焦点为(4,0)或(-4,0).渐近线方程为 y= 3x 或 y=- 3 4 12

2

x2

y2

y2

x2

x2

y2

x2

y2

x.由双曲线的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等,d=
答案: 2 3 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求适合下列条件的双曲线的标准方程. 5 (1)顶点在 x 轴,两顶点的距离为 8,离心率是 ; 4 (2)离心率 e= 2,且过点(4, 10). 解析: (1)由已知设双曲线的标准方程为

|4 3+0| =2 3. 3+1

x2 y2 - =1(a>0,b>0). a2 b2 则 2a=8,∴a=4. c 5 由 e= = 得 c=5. a 4 2 2 2 2 2 ∴b =c -a =5 -4 =9. x2 y2

∴所求双曲线方程为 - =1. 16 9 (2)e= 2,可设双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0), ∵过点(4, 10),∴λ =16-10=6, ∴双曲线方程为 - =1. 6 6 8.直线 x=t 过双曲线 2- 2=1 的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于 A、B 两点, 若原点在以 AB 为直径的圆内,求双曲线离心率的取值范围. 解析: 双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2bc 由 x=t=c 可得|AB|= ,
2 2

x2 y2

x2 y2 a b

b a

a

又∵原点在以 AB 为直径的圆内, ∴c< ,∴a<b,∴ >1,

bc a

b a

2

∵e= =

c a

1+ 2,∴e> 2,

b2 a

∴离心率 e 的取值范围是( 2,+∞). ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9. (10)已知双曲线的中心在原点, 焦点 F1、 F2 在坐标轴上, 离心率为 2且过点(4, - 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3)求△F1MF2 的面积. 解析: (1)∵离心率 e= 2, 2 2 2 ∴设所求双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0),则由点(4,- 10)在双曲线上,知 λ =4 2 -(- 10) =6, 2 2 ∴双曲线方程为 x -y =6, 即 - =1. 6 6 2 2 2 (2)证明:若点 M(3,m)在双曲线上,则 3 -m =6,∴m =3. 2 2 由双曲线 x -y =6 知,F1(2 3,0),F2(-2 3,0), → → ∴MF1·MF2=(2 3-3,-m)·(-2 3-3,-m) 2 2 =9-(2 3) +m =0. → → ∴MF1⊥MF2,故点 M 在以 F1F2 为直径的圆上. 1 (3)S△F1MF2= ×2c×|m|=c|m|=2 3× 3=6. 2

x2 y2

3


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