2017届高三数学理一轮总复习课时跟踪检测:19三角函数的图象与性质(江苏专用).doc

课时跟踪检测(十九) 三角函数的图象与性质 ?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.函数 y= 解析:∵cos x- cos x- 3 的定义域为________. 2

3 3 π π ≥0,得 cos x≥ ,∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2 6 6

π π 2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 答案:? 6 6? ? 2.函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为________. 解析:y=2cos2x+5sin x-4 =2(1-sin2x)+5sin x-4 =-2sin2x+5sin x-2 5?2 9 =-2? ?sin x-4? +8. 故当 sin x=1 时,ymax=1,当 sin x=-1 时,ymin=-9, 故 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为[-9,1]. 答案:[-9,1] π? π π 3.函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象相邻的两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 f? 4?的值是 ? 4 4 ________. π π π 解析:由题意知,T= ,所以 = ,所以 ω=4, 4 ω 4 π? 所以 f(x)=tan 4x,所以 f? ?4?=0. 答案:0 4.函数 f(x)=sin(-2x)的单调增区间是____________. 解析:由 f(x)=sin(-2x)=-sin 2x, π 3π π 3π 2kπ+ ≤2x≤2kπ+ 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 2 4 4 π 3π? 答案:? ?kπ+4,kπ+ 4 ?(k∈Z) π? 5.函数 y=3-2cos? ?x+4?的最大值为________,此时 x=______. π? π 3π 解析: 函数 y=3-2cos? 此时 x+ =π+2kπ, 即 x= +2kπ(k ?x+4?的最大值为 3+2=5, 4 4 ∈Z). 答案:5 3π +2kπ(k∈Z) 4

?二保高考,全练题型做到高考达标

π? 1.函数 y=tan? ?2x+4?的图象与 x 轴交点的坐标是_______________________________. π kπ π 解析:由 2x+ =kπ(k∈Z)得,x= - (k∈Z). 4 2 8 π? ?kπ π ? ∴函数 y=tan? ?2x+4?的图象与 x 轴交点的坐标是? 2 -8,0?,k∈Z. kπ π ? 答案:? ? 2 -8,0?,k∈Z π? 2.(2016· 苏锡常镇四市调研)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+ 3cos(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?的最 小正周期为 π,且满足 f(-x)=-f(x),则函数 f(x)的单调增区间为________. π?? π? 解析:因为 f(x)=sin(ωx+φ)+ 3cos(ωx+φ)=2sin? ?ωx+φ+3??ω>0,|φ|<2?的最小正周 π 期为 π ,且满足 f( - x) =- f(x) ,所以 ω = 2 , φ =- ,所以 f(x) = 2sin 2x ,令 2x ∈ 3

?2kπ-π,2kπ+π?(k∈Z),解得函数 f(x)的单调增区间为?kπ-π,kπ+π?(k∈Z). 2 2? 4 4? ? ?
π π? 答案:? ?kπ-4,kπ+4?(k∈Z) π π? 3.已知函数 y=tan ωx 在? ?-2,2?内是减函数,则 ω 的取值范围是________. π π? π 解析:因为 y=tan ωx 在? ?-2,2?内是减函数,所以 ω<0 且|ω|≥π,则-1≤ω<0. 答案:[-1,0) π? π 4.若函数 f(x)=sin? ?ωx+6?(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2,且该函数图 π? 象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈? ?0,2?,则 x0=________. π? T π π kπ π 解析: 由题意得 = , T=π, ω=2.又 2x0+ =kπ(k∈Z), x0= - (k∈Z), 而 x0∈? ?0,2?, 2 2 6 2 12 5π 所以 x0= . 12 5π 答案: 12 π? ?π 2π? 5.若函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?ω>0,且|φ|<2?在区间?6, 3 ?上是单调减函数,且函数值 π? 从 1 减少到-1,则 f? ?4?=________. 2π π? 解析:由题意得函数 f(x)的周期 T=2? ? 3 -6?=π,所以 ω=2,此时 f(x)=sin(2x+φ), π ? π? π? π? π ?π ? ? 将点? 所以 φ= , 所以 f(x)=sin? 于是 f? ?6,1?代入上式得 sin?3+φ?=1?|φ|<2?, ?2x+6?, ?4?= 6

π π? π 3 sin? ?2+6?=cos6= 2 . 答案: 3 2

π ? 6.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意 x 都有 f? ?6+x? π ? ?π? =f? ?6-x?,则 f?6?的值为________. π ? ?π ? 解析:∵f? ?6+x?=f?6-x?, π ∴x= 是函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴. 6 π? ∴f? 2. ?6?=± 答案:2 或-2 3π ? 7.(2015· 南通调研)已知 f1(x)=sin? ? 2 +x?cos x,f2(x)=sin xsin(π+x),若设 f(x)=f1(x)- f2(x),则 f(x)的单调增区间是________. 解析:由题意知,f1(x)=-cos2x,f2(x)=-sin2x,f(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,令 2x∈ π? π? ? [2kπ,2kπ+π](k∈Z),即 x∈? ?kπ,kπ+2?(k∈Z),故 f(x)的单调增区间为?kπ,kπ+2?(k∈Z). π? 答案:? ?kπ,kπ+2?(k∈Z) π? 8.已知 x∈(0,π],关于 x 的方程 2 sin? ?x+3?=a 有两个不同的实数解,则实数 a 的取 值范围为________. π? ? π? 解析:令 y1=2sin? ?x+3?,x∈(0,π],y2=a,作出 y1 的图象如图所示.若 2sin?x+3?= a 在(0,π]上有两个不同的实数解,则 y1 与 y2 应有两个不同的交点,所以 3<a<2. 答案:( 3,2) π? 9.已知 f(x)= 2sin? ?2x+4?. (1)求函数 f(x)图象的对称轴方程; (2)求 f(x)的单调增区间; π 3π? (3)当 x∈? ?4, 4 ?时,求函数 f(x)的最大值和最小值. π? 解:(1)f(x)= 2sin? ?2x+4?, π π kπ π 令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,则 x= + ,k∈Z. 4 2 2 8

kπ π ∴函数 f(x)图象的对称轴方程是 x= + ,k∈Z. 2 8 π π π (2)令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π π 则 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 3π π? 故 f(x)的单调增区间为? ?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. π 3π? 3π π 7π (3)当 x∈? ?4, 4 ?时, 4 ≤2x+4≤ 4 , π? 2 ∴-1≤sin? ?2x+4?≤ 2 ,∴- 2≤f(x)≤1, π 3π? ∴当 x∈? ?4, 4 ?时,函数 f(x)的最大值为 1,最小值为- 2. 2π 0<φ< ?的最小正周期为 π. 10.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? 3? ? (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; π 3 (2)若 f(x)的图象过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. ?6 2 ? 2π 解:∵f(x)的最小正周期为 π,则 T= =π,∴ω=2. ω ∴f(x)=sin(2x+φ). (1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x). ∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ), 将上式展开整理得 sin 2xcos φ=0, 由已知上式对? x∈R 都成立, 2π π ∴cos φ=0,∵0<φ< ,∴φ= . 3 2 π 3 π 3 ? (2)f(x)的图象过点? , ?时,sin? ?2×6+φ?= 2 , ?6 2 ? π 3 +φ?= . 即 sin? 3 ? ? 2 2π π π 又∵0<φ< ,∴ < +φ<π. 3 3 3 π 2π π ∴ +φ= ,φ= . 3 3 3 π 2x+ ?. ∴f(x)=sin? 3? ? π π π 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2

5π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 5π π? ∴f(x)的单调递增区间为? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 π? π ? π ? 1.已知函数 f(x)=sin? ?2x+6?,其中 x∈?-6,α?.当 α=3时,f(x)的值域是______;若 1 ? f(x)的值域是? ?-2,1?,则 a 的取值范围是______. π π π π 5π 解析:若- ≤x≤ ,则- ≤2x+ ≤ , 6 3 6 6 6 π? 1 此时- ≤sin? ?2x+6?≤1, 2 1 ? 即 f(x)的值域是? ?-2,1?. π π π π 若- ≤x≤α,则- ≤2x+ ≤2α+ . 6 6 6 6 π π π 7π 因为当 2x+ =- 或 2x+ = 时, 6 6 6 6 π? 1 ? 1 ? sin? ?2x+6?=-2,所以要使 f(x)的值域是?-2,1?, π π 7π π 则 ≤2α+ ≤ ,即 ≤2α≤π, 2 6 6 3 π π? π π 所以 ≤α≤ ,即 α 的取值范围是? ?6,2?. 6 2 1 ? ?π π? 答案:? ?-2,1? ?6,2? π ? 2.对于函数 f(x)= 2(sin x+cos x),给出下列四个命题:①存在 α∈? ?-2,0?,使 f(α) π? = 2;②存在 α∈? ?0,2?,使 f(x-α)=f(x+α)恒成立;③存在 φ∈R,使函数 f(x+φ)的图象 3π 关于坐标原点成中心对称; ④函数 f(x)的图象关于直线 x=- 对称; ⑤函数 f(x)的图象向左 4 π 平移 个单位就能得到 y=-2cos x 的图象.其中正确的命题是______.(填序号) 4 π? 2 ? π? 解析:f(x)= 2(sin x+cos x)=2sin? ?x+4?,对于①,由 f(α)= 2,得 sin?α+4?= 2 , π ? π ? π π? ? π? 2 因为 α∈? ?-2,0?,所以 α+4∈?-4,4?,此时 sin?α+4?= 2 不成立,所以①错误;对于 π? π? π ? ②,由 f(x-α)=f(x+α)恒成立,得 sin? ?x-α+4?=sin?x+α+4?恒成立,所以 x-α+4=x+ π π π x+α+ ?+2kπ(k∈Z)恒成立,即 α=kπ(k∈Z),由于 α∈ α+ +2kπ(k∈Z)或 x-α+ =π-? 4? ? 4 4

?0,π?,所以②错误;对于③,f(x+φ)=2sin?x+φ+π?的图象关于坐标原点成中心对称,所 4? ? 2? ?
π? π π 以 φ+ =kπ(k∈Z),即 φ=- +kπ(k∈Z),所以③正确;对于④,由 f(x)=2sin? ?x+4?知, 4 4 π 3π 函数 f(x)的对称轴为 x= +kπ(k∈Z),函数 f(x)的图象关于直线 x=- 对称,所以④正确; 4 4 π? π 对于⑤,函数 f(x)的图象向左平移 个单位后得到函数 y=2sin? ?x+2?=2cos x 的图象,所以 4 ⑤错误. 答案:③④
2x ? 3.(2016· 盐城调研)已知函数 f(x)=a? ?2cos 2+sin x?+b.

(1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 x∈[0,π]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值. 解:f(x)=a(1+cos x+sin x)+b π? = 2asin? ?x+4?+a+b. π? (1)当 a=-1 时,f(x)=- 2sin? ?x+4?+b-1, π π 3π 由 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 π 5π 得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 4 4 π 5π 2kπ+ ,2kπ+ ?,k∈Z. ∴f(x)的单调增区间为? 4 4? ? (2)∵0≤x≤π, π π 5π ∴ ≤x+ ≤ , 4 4 4 ∴- π? 2 ≤sin ? ?x+4?≤1,依题意知 a≠0. 2

①当 a>0 时,?

? 2a+a+b=8, ? b= 5,

∴a=3 2-3,b=5.

?b=8, ②当 a<0 时,? ? 2a+a+b=5.
∴a=3-3 2,b=8. 综上所述,a=3 2-3,b=5 或 a=3-3 2,b=8.


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