保山市腾冲市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析


2015-2016 学年云南省保山市腾冲市高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的. 1.已知 A={1,2,3},B={x∈N||x|=3},那么 A∩B=( ) A.3 B.﹣3 C.{﹣3,1,2,3} D.{3} 2.计算:cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值为( ) A.0 B.1 C. D. )

3.已知象限角 α 的终边经过点( , ) ,则 sinα=( A. B. C. D.

4.方程 2x=x2 的实数解的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.两直线 3x﹣4y﹣5=0 与 3x﹣4y+5=0 的距离为( A.0 B. C.1 D.2



6.向量| |=3,| |=2, ( A.﹣1 B.﹣ C.3

+2 )⊥( ﹣2 ) ,则向量 与 的数量积等于( D.4 )



7.以(0,3)为圆心且与 y= x 相切的圆与单位圆的位置关系为(

A.外离 B.内含 C.相交 D.相切 8. 一个几何体的三视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形, 则这个几何体的表面积为 ( A.6+2 B.2 C.6 D.



9.已知体积为

的长方体的八个顶点都在球面上,在这个长方体中,有两个面的面积分别 为 、 ,那么球 O 的表面积等于( ) A.π B. π C.6π D.9π 10.已知一条 3m 长的线段,从中任取一点,使其到两端的距离大于 1m 的概率为( ) A. B. C. D. cos2ωx 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ,则实数

11.若函数 f(x)=sin2ωx﹣ ω 的值为( A. B.3 ) C.±

D.±3 +x) ,a=f( ) ,b=f(2 ) ,c=﹣f(2﹣π) ,下列

12.已知 f(x)=ex﹣e﹣x+ln(

结论正确的是( ) A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>a 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分、共 20 分.
第 1 页(共 16 页)

13.某工厂生产的甲、乙、丙三种不同型号的产品数量之比为 1:3:5,为了解三种产品的 质量, 现用分层抽样的方法从该工厂生产的甲、 乙、 丙三种产品中抽出样本容量为 n 的样本, 若样本中乙型产品有 27 件,则 n 值为 . 14.若运行如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为 .

15.统计某小区 100 户人家 1 月份用水量,制成条形统计图如图,则 1 月份用水量的平均数



t.

16.给出 5 名同学的数学成绩和物理成绩,计算其数学成绩和物理成绩的相关系数 γ,

γ=

,判断其关系为



序号 A

数学 60
第 2 页(共 16 页)

物理 50

B C D E

70 80 90 100

40 70 80 80

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 f(x)=sinx,先把 f(x)的横纵坐标各伸长 2 倍后,再向右平移 y=g(x) . (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g(x)的单调增区间. 18.如图,将一副三角板拼接,使他们有公共边 BC,且使这两个三角形所在的平面互相垂 直,∠BAC=∠CBD=90°,AB=AC,∠BCD=30°,BC=6. (Ⅰ)证明:DB⊥AB; (Ⅱ)求点 C 到平面 ADB 的距离. 个单位,得到

19.甲袋有 1 个白球、2 个红球、3 个黑球;乙袋有 2 个白球、3 个红球、1 个黑球,所有球 除颜色有区别外,其余都相同,现从两袋中各取一球. (Ⅰ)求出所有可能出现的情况; (Ⅱ)求两球颜色相同的概率. 20.有根木料长 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高比为 1:2,问怎样 利用木料, 才能使光线通过窗框面积最大?并求出最大面积. (中间木挡的面积可忽略不计)

21.在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到点 D(2,3)的距离为 4,设点 P 的轨迹为 C. (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点,当 k 为何值时, ⊥ ,此时| |的值是多 少? 22.设函数 f(x)=2kax+(k﹣3)a﹣x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数.
第 3 页(共 16 页)

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 f(2)<0,试判断函数 f(x)的单调性,并求使不等式 f(x2﹣x)+f(tx+4)<0 恒成立的 t 的取值范围.

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2015-2016 学年云南省保山市腾冲市高一(下)期末数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的. 1.已知 A={1,2,3},B={x∈N||x|=3},那么 A∩B=( ) A.3 B.﹣3 C.{﹣3,1,2,3} D.{3} 【考点】交集及其运算. 【分析】列举出 B 中的元素,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:∵A={1,2,3},B={x∈N||x|=3}={3}, ∴A∩B={3}, 故选:D. 2.计算:cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值为( A.0 B.1 C. D. )

【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】利用两角和差的余弦公式进行化简即可. 【解答】解:cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos(75°+15°)=cos90°=0, 故选:A.

3.已知象限角 α 的终边经过点( , ) ,则 sinα=( A. B. C. D.



【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】根据题意,设 P 的坐标为( , ) ,由两点间距离公式可得 r=|OP|的值,进而由 任意角正弦的定义计算可得答案. 【解答】解:根据题意,设 P( , ) , 则 r=|OP|=1, ∴sinα= = , 故选:A. 4.方程 2x=x2 的实数解的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】指数函数的图象与性质. )

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【分析】要求方程 2x=x2 的实数解的个数,根据方程的根与函数零点个数的关系,可将问题 转化为求函数零点个数问题,利用函数图象交点法,我们在同一坐标系中画出 y=2x 与 y=x2 的图象,分析图象交点的个数即可得到答案. 【解答】解:在同一坐标系中画出函数 y=2x 与 y=x2 的图象 如图所示:由图象可得,两个函数的图象共有 3 个交点 故方程 2x=x2 的实数解的个数是 3 个 故选 D

5.两直线 3x﹣4y﹣5=0 与 3x﹣4y+5=0 的距离为( A.0 B. C.1 D.2



【考点】两条平行直线间的距离. 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可. 【解答】解:两平行直线 3x﹣4y﹣5=0 与 3x﹣4y+5=0 的距离是: 故选:D. 6.向量| |=3,| |=2, ( A.﹣1 B.﹣ C.3 +2 )⊥( ﹣2 ) ,则向量 与 的数量积等于( D.4 ) =2

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用向量垂直,数量积为 0,得到关于数量积的等式解之即可. 【解答】解:因为向量| |=3,| |=2, ( +2 )⊥( ﹣2 ) , 所以向量( +2 )?( ﹣2 )=0,即 所以 所以 ;
第 6 页(共 16 页)



=﹣10,

故选:B.

7.以(0,3)为圆心且与 y= x 相切的圆与单位圆的位置关系为( A.外离 B.内含 C.相交 D.相切 【考点】圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系.



【分析】求出以(0,3)为圆心且与 y= x 相切的圆的圆的半径,即可得出结论.

【解答】解:圆心(0,3)到 y= x 的距离为

= ,

∵两圆圆心距为 3>1+ , ∴以(0,3)为圆心且与 y= x 相切的圆与单位圆的位置关系为外离, 故选:A. 8. 一个几何体的三视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形, 则这个几何体的表面积为 ( A.6+2 B.2 C.6 D. )

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体可知几何体是正方体的一个角,棱长为 2,求 出该几何体的表面积即可. 【解答】解:由几何体的三视图知, 该几何体有两个面是直角边为 2 的等腰直角三角形, 三视图复原的几何体是三棱锥, 根据三视图数据, 可知几何体是正方体的一个角, 棱长为 2, 其表面积是三个等腰直角三角形的面积,以及一个边长为 2 的正三角形面积的和,如图 所示; 所以,该三棱锥的表面积为 S=3× ×2×2+ 故选 A. ×(2 )2=6+2 .

9.已知体积为

的长方体的八个顶点都在球面上,在这个长方体中,有两个面的面积分别 为 、 ,那么球 O 的表面积等于( ) A.π B. π C.6π D.9π 【考点】球的体积和表面积.
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【分析】设长方体的长宽高分别为 a,b,c,则由题意,abc= ,ab= ,bc= 求出 a, b,c,利用长方体的对角线为球 O 的直径,求出球 O 的半径,即可求出球 O 的表面积. 【解答】解:设长方体的长宽高分别为 a,b,c,则由题意,abc= ,ab= ,bc= , ∴a= ,b=1,c= = , ∴长方体的对角线长为 ∵长方体的对角线为球 O 的直径, ∴球 O 的半径为 , =6π.

∴球 O 的表面积等于 故选:C.

10.已知一条 3m 长的线段,从中任取一点,使其到两端的距离大于 1m 的概率为( A. B. C. D.



【考点】几何概型. 【分析】由题意可得,属于与区间长度有关的几何概率模型,试验的全部区域长度为 3,基 本事件的区域长度为 1,代入几何概率公式可求. 【解答】解:设“长为 3m 的线段 AB”对应区间[0,3] “与线段两端点 A、B 的距离都大于 1m”为事件 A,则满足 A 的区间为[1,2] 根据几何概率的计算公式可得,P= 故选:A. = .

11.若函数 f(x)=sin2ωx﹣ ω 的值为( A. B.3 ) C.±

cos2ωx 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为

,则实数

D.±3

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】利用辅助角公式化积,再由题意求得周期,结合周期公式求得实数 ω 的值. 【解答】解:f(x)=sin2ωx﹣ ∵函数 f(x)=sin2ωx﹣ ∴ ,则 T= , cos2ωx= , ,

cos2ωx 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为





则 故选:C.



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12.已知 f(x)=ex﹣e﹣x+ln(

+x) ,a=f(

) ,b=f(2

) ,c=﹣f(2﹣π) ,下列

结论正确的是( ) A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>a 【考点】不等式的基本性质. 【分析】先判断出函数为单调增函数和奇函数,再根据函数的性质比较大小即可 【解答】解:易知函数 f(x)为增函数, 又因为 f(﹣x)=e﹣x﹣ex+ln( 所以 f(x)为奇函数, c=﹣f(2﹣π)=f(π﹣2) , 因为 2 所以 2 所以 f(2 = ≈1.414,π﹣2≈3.14﹣2=1.14, , ) , < =0.5, ﹣x)=ex﹣e﹣x﹣ln( +x)=﹣f(x) ,

>π﹣2>

)>f(π﹣2)>f(

所以 b>c>a, 故选:D. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分、共 20 分. 13.某工厂生产的甲、乙、丙三种不同型号的产品数量之比为 1:3:5,为了解三种产品的 质量, 现用分层抽样的方法从该工厂生产的甲、 乙、 丙三种产品中抽出样本容量为 n 的样本, 若样本中乙型产品有 27 件,则 n 值为 81 . 【考点】分层抽样方法. 【分析】求出抽样比,然后求解 n 的值即可. 【解答】解:某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为 1:3:5, 分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本, 则乙被抽的抽样比为: = , =81,

样本中乙型产品有 27 件,所以 n=27 故答案为:81.

14.若运行如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为 2500 .

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【考点】程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的算式 S,分析程序运行的最后 一次循环,即可得出输出的 S 值. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的算式是 S=1+3+5+…+99, 当 i=99 时,不满足条件 i≥101,计算 S=1+3+5+…+99= 当 i=101 时,满足条件 i≥101,输出 S=2500. 故答案为:2500. 15.统计某小区 100 户人家 1 月份用水量,制成条形统计图如图,则 1 月份用水量的平均数 =2500;

为 6.16 t.

【考点】频率分布直方图. 【分析】根据频率分布直方图,利用组中值乘以相对应的频率即可. 1×2×0.05+3×2×0.06+5×2×0.12+7×2×0.15+9×2×0.06+11×2×0.06=6.16, 【解答】 解:
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故答案为:6.16. 16.给出 5 名同学的数学成绩和物理成绩,计算其数学成绩和物理成绩的相关系数 γ,

γ=

,判断其关系为 有很强的正相关关系. .

序号 数学 物理 A 60 50 B 70 40 C 80 70 D 90 80 E 100 80 【考点】相关系数. 【分析】分别令:x1=60,x2=70,x3=80,x4=90,x5=100.y1=50,y2=40,y3=70,y4=80, y5=80.可得 =80, =64.分别计算: , ,

,代入相关系数计算公式可得 r,进而判断出结论. 【解答】解:分别令:x1=60,x2=70,x3=80,x4=90,x5=100.y1=50,y2=40,y3=70,y4=80, y5=80. 可得 = =80, = =64.

=﹣20×(﹣14)+(﹣10)×(﹣24)+0+10×16+20×16=1000.

=(﹣20)2+102+0+102+202=1000, =142+242+62+162+162=1000. ∴r= =1.

∴其数学成绩和物理成绩的相关关系为:有很强的正相关关系. 故答案为:有很强的正相关关系. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 f(x)=sinx,先把 f(x)的横纵坐标各伸长 2 倍后,再向右平移 y=g(x) . (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g(x)的单调增区间. 【考点】正弦函数的图象;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
第 11 页(共 16 页)

个单位,得到

【分析】 (Ⅰ)利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. (Ⅱ)根据正弦函数的单调性,求得函数 g(x)的单调增区间. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=sinx,先把 f(x)的横纵坐标各伸长 2 倍后,可得 y=2sin x 的图象; 再向右平移 个单位,得到 y=g(x)=2sin (x﹣ ) . ≤x≤4kπ+ ,可得函数的增区 )=2sin( ﹣ )的图象,

∴函数 g(x)的解析式为 g(x)=2sin( ﹣ (Ⅱ)令 2kπ﹣ 间为[4kπ﹣ ≤ ﹣ ,4kπ+ ≤2kπ+ ],k∈Z.

,求得 4kπ﹣

18.如图,将一副三角板拼接,使他们有公共边 BC,且使这两个三角形所在的平面互相垂 直,∠BAC=∠CBD=90°,AB=AC,∠BCD=30°,BC=6. (Ⅰ)证明:DB⊥AB; (Ⅱ)求点 C 到平面 ADB 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)利用平面 BCD⊥平面 ABC,证明 BD⊥平面 ABC,可证 DB⊥AB; (Ⅱ)利用等体积,能求出 C 到平面 ADB 的距离. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵平面 BCD⊥平面 ABC,BD⊥BC,平面 BCD∩平面 ABC=BC ∴BD⊥平面 ABC, ∵AB? 平面 ABC, ∴DB⊥AB; (Ⅱ)解:由(I)BD⊥平面 ABC, ∵S△ ABC= ∴VD﹣ABC= =9,DB= =6 =2 , =3 .
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∵△ADB 是直角三角形,AB= ∴S△ ADB= =3

,DB=2



设点 C 到平面 ADB 的距离为 h,则 ∴h=3 , ∴点 C 到平面 ADB 的距离为 3





19.甲袋有 1 个白球、2 个红球、3 个黑球;乙袋有 2 个白球、3 个红球、1 个黑球,所有球 除颜色有区别外,其余都相同,现从两袋中各取一球. (Ⅰ)求出所有可能出现的情况; (Ⅱ)求两球颜色相同的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (Ⅰ)根据题意列出即可; (Ⅱ)两球颜色相同包含一是从两个口袋中都取得白球,二是从两个口袋中都取得黑球,三 是从两个口袋都取得红球,这三种情况是互斥的,在两个口袋中取得球是相互独立事件,根 据概率公式得到结果. 【解答】解: (Ⅰ)所有可能出现的情况为: (白,白) , (白,红) , (白,黑) , (红,白) , (红,红) , (红,黑) , (黑,白) , (黑,红) , (黑,黑) , 共 9 种情况; (Ⅱ)由题意知本题是一个等可能事件的概率, ∵两球颜色相同包含一是从两个口袋中都取得白球,二是从两个口袋中都取得黑球, 三是从两个口袋都取得红球.这三种情况是互斥的, 在两个口袋中都取得球是相互独立事件, ∴两球颜色相同的概率是 P= × + × + × = .

20.有根木料长 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高比为 1:2,问怎样 利用木料, 才能使光线通过窗框面积最大?并求出最大面积. (中间木挡的面积可忽略不计)

【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】求出窗框的高为 3x,宽为 .推出窗框的面积,利用二次函数的最值,求解

即可. 【解答】解:如图设 x,则竖木料总长=3x+4x=7x,三根横木料总长=6﹣7x, ∴窗框的高为 3x,宽为 .…

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即窗框的面积 y=3x?

=﹣7x2+6x. ( 0<x< ) …

配方:y=﹣7(x﹣ )2+ ( 0<x<2 ) … …. ∴当 x= 米时, 即上框架高为 米、 下框架为 米、 宽为 1 米时, 光线通过窗框面积最大.

21.在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到点 D(2,3)的距离为 4,设点 P 的轨迹为 C. (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点,当 k 为何值时, ⊥ ,此时| |的值是多 少? 【考点】直线与圆的位置关系;轨迹方程. 【分析】 (Ⅰ)设动点 P 坐标为(x,y) ,利用两点间的距离公式列出曲线 C 的方程即可; (Ⅱ)利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 y=kx+1 的距离 d,根据 ⊥ ,且两向 量的模为半径,求出 d 的值,进而求出 k 与| |的值即可. 【解答】解: (Ⅰ)设动点 P 的坐标为(x,y) , 根据题意得: =4,

整理得: (x﹣2)2+(y﹣3)2=16, 则曲线 C 的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=16; (Ⅱ)圆心(2,3)到直线 y=kx+1 的距离 d= ∵ ⊥ ,| |=| r= |=r=4, ×4=2 , ,

∴d= |AB|=



=2

, |=4 , ⊥ ,此时|

解得:k=﹣1,| 则当 k=﹣1 时,

|=4



22.设函数 f(x)=2kax+(k﹣3)a﹣x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 f(2)<0,试判断函数 f(x)的单调性,并求使不等式 f(x2﹣x)+f(tx+4)<0 恒成立的 t 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 【分析】 (1)运用 f(0)=0 求解. (2)根据单调性得出不等式 x2﹣x>﹣tx﹣4,即 x2+(t﹣1)x+4>0 恒成立.
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【解答】解: (1)因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,所以 f(0)=0, 所以 2k+(k﹣3)=0,即 k=1, 检验知,符合条件; (2)f(x)=2(ax﹣a﹣x) (a>0 且 a≠1) 因为 f(2)<0,a2﹣ <0,又 a>0 且 a≠1,所以 0<a<1

因为 y=ax 单调递减,y=a﹣x 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减. 不等式化为 f(x2﹣x)<f(﹣tx﹣4) 所以 x2﹣x>﹣tx﹣4,即 x2+(t﹣1)x+4>0 恒成立, 所以△=(t﹣1)2﹣16<0,解得﹣3<t<5.

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2016 年 8 月 26 日

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