2017版高考数学一轮复习 集合与常用逻辑用语 第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”或“非”课件 理


第 3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”或“非 ”

最新考纲

1. 了解逻辑联结词 “ 且 ” “ 或 ”“ 非 ”

的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确

地对含有一个量词的命题进行否定.

知识梳理 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的 且 、 或 、 非 叫作逻辑联结词.

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p且q 真 假 假 假 p或q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真

2.全称量词与存在量词 (1) 常 见 的 全 称 量 词 有 : “ 任 意 一 个 ” “ 一 切 ” “ 每 一 个”“任给”“所有的”等. (2) 常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有

些”“有一个”“某个”“有的”等.
3.全称命题与特称命题 全称 量词的命题叫全称命题. (1)含有_________ 存在 量词的命题叫特称命题. (2)含有_________

4.含有一个量词的命题的否定 命题 任意x∈M,p(x) 存在x∈M,p(x) 命题的否定
存在 x∈M,綈 p(x)
任意 x∈M,綈 p(x)

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)命题“5>6或5>2”是真命题( √ ) (2)命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题.( × )

(3)若命题p,q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.(√ ) (4)已知命题p:存在n∈N,2n>1 000,则綈p:存在n∈N,
2n≤1 000. ( 0”.(× ) ) × (5) 命题“任意 x ∈ R , x2≥0”的否定是“任意 x ∈ R , x2 <

2.(2015· 湖北卷)命题“存在 x∈(0,+∞),ln x=x-1”的 否定是( )

A.任意 x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.任意 x?(0,+∞),ln x=x-1 C.存在 x∈(0,+∞),ln x≠x-1 D.存在 x?(0,+∞),ln x=x-1

解析

该命题的否定是将存在量词改为全称量词,等

号改为不等号即可,故选A. 答案 A

3.(2015· 合肥模拟)命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q: x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( A.P或q
解析

) D.綈p

B.p且q

C.q

∵当 sin x>sin y 时,无法推出 x>y,∴命题 p

是假命题.命题 q 是真命题,∴p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,綈 p 是真命题.故选 B.

答案 B

4.若命题“任意x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是________.

解析 当 a=0 时,不等式显然成立;当 a≠0 时,由题
? ?a<0, 意知? 解得-8≤a<0.综上,-8≤a≤0. 2 ? ?Δ=a +8a≤0,

答案 [-8,0]

5.(北师大选修 1-1P13 练习改编)给出下列命题: ①任意 x∈N,x3>x2; ②所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0; ③存在 x∈R,x2-x+1≤0; ④存在一个四边形,它的对角线互相垂直. 则上述命题的否定中,真命题的序号为________.

答案 ①②③

考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断 【例1】 (1)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.

设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范
围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可 表示为( ) B.p或(綈q) D.p或q A.(綈p)或(綈q) C.(綈p)且(綈q)

(2)(2016· 济南模拟)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:
若x>y,则x2>y2.在命题①p且q;②p或q;③p且(綈q); ④(綈p)或q中,真命题是( A.①③ 解析 B.①④ ) D.②④ C.②③

(1) 命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 包

含以下三种情况:“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降

落在指定范围,乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范
围,甲没有降落在指定范围 ”,故可表示为(綈p)或(綈q).或 者,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命 题“甲、乙均降落在指定范围”的否定,即“p且q”的否定. 选A.

(2) 由不等式的性质可知,命题 p 是真命题,命题 q 为假命题, 故①p且q为假命题,②p或q为真命题,③綈q为真命题,则

p且(綈q)为真命题,④綈p为假命题,则(綈p)或q为假命题,
所以选C. 答案 (1)A (2)C 规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真

假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假, 再依据 “ 或 ”—— 一真即真, “ 且 ”—— 一假即假,

“非”——真假相反,做出判断即可.

【训练 1】 (1)若命题 p:函数 y=x2-2x 的单调递增区间 1 是[1,+∞),命题 q:函数 y=x-x 的单调递增区间 是[1,+∞),则( A.p 且 q 是真命题 C.綈 p 是真命题 ) B.p 或 q 是假命题 D.綈 q 是真命题

(2)“p 或 q” 为 真 命 题 是 “p 且 q” 为 真 命 题 的 ________条件.

解析

(1)因为函数 y=x2-2x 的单调递增区间是[1,+∞),所

1 以 p 是真命题;因为函数 y=x- x的单调递增区间是(-∞,0) 和(0,+∞),所以 q 是假命题.所以 p 且 q 为假命题,p 或 q 为 真命题,綈 p 为假命题,綈 q 为真命题,故选 D.

(2)若命题“p或q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题.

若命题“p且q”为真命题,则p,q都为真命题,因此“p或q”
为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件.

答案 (1)D (2)必要不充分

考点二 全(特)称命题的否定及其真假判定 【例 2】 (1)(2015· 浙江卷)命题“任意 n∈N+,f(n)∈N+且 f(n) ≤n”的否定形式是( )

A.任意 n∈N+,f(n)?N+且 f(n)>n B.任意 n∈N+,f(n)?N+或 f(n)>n C.存在 n∈N+,f(n)?N+且 f(n)>n D.存在 n∈N+,f(n)?N+或 f(n)>n (2)(2015· 太原二模)下列命题中的假命题是( A.存在 x∈R,lgx=1 C.任意 x∈R,x3>0 )

B.存在 x∈R,sin x=0 D.任意 x∈R,2x>0

解析

(1)“f(n)∈N+ 且 f(n)≤n” 的否定为 “f(n) ? N+ 或 f(n) >

n”,全称命题的否定为特称命题,故选 D. (2)当 x=10 时,lg 10=1,则 A 为真命题;当 x=0 时,sin 0 =0,则 B 为真命题;当 x<0 时,x3<0,则 C 为假命题;由 指数函数的性质知,任意 x∈R,2x>0,则 D 为真命题,故选 C.

答案 (1)D (2)C

规律方法

(1)对全(特)称命题进行否定的两步操作:①找到

命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词, 再改变量词;②对原命题的结论进行否定 .(2)判定全称命题 “任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x, 证明p(x)成立;要判定一个全称命题是假命题,只要举出集

合 M 中的一个特殊值 x ,使 p(x) 不成立即可 .要判断特称命题
是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个 x ,使 p(x) 成 立即可,否则就是假命题.

【训练 2】 (1)(2015· 全国Ⅰ卷)设命题 p: 存在 n∈N, n2>2n, 则綈 p 为( ) B.存在 n∈N,n2≤2n D.存在 n∈N,n2=2n )

A.任意 n∈N,n2>2n C.任意 n∈N,n2≤2n

(2)(2016· 沈阳质量监测)下列命题中为真命题的是( A.任意 x∈R,x2>0 C.存在 x∈R,2x<0 B.任意 x∈R,-1<sin x<1 D.存在 x∈R,tan x=2

解析

(1) 根据特称命题的否定为全称命题,知 綈 p :任意

n∈N,n2≤2n. (2)任意x∈R,x2≥0,故A错;任意x∈R,-1≤sin x≤1, 故B错;任意x∈R,2x>0,故C错,故选D. 答案 (1)C (2)D

考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题 【例 3】 (1)设 p:关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x<0};q: 函数 y= ax2-x+a的定义域为 R.若 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,则实数 a 的取值范围是__________. (2)已知 p:存在 x∈R,mx2+1≤0,q:任意 x∈R,x2+mx +1>0,若 p 或 q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( A.[2,+∞) C.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-∞,-2] D.[-2,2] )

解析

(1)根据指数函数的单调性,可知命题 p 为真命题时,

实数 a 的取值集合为 P={a|0<a<1}, 对于命题 q:函数的定义域为 R 的充要条件是 ax2-x+a≥0 恒成立. 当 a=0 时,不等式为-x≥0,解得 x≤0,显然不成立; 当 a≠0 时,不等式恒成立的条件是
? ?a>0, ? ,解得 2 ? ?Δ=(-1) -4a×a≤0

1 a≥ . 2
? ? 1? Q=?a?a≥2?. ? ? ?

所以命题 q 为真命题时,a 的取值集合为

由“p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题”,可知命题 p,q 一 真一假, 当 p 真 q 假时,a 的取值范围是
? ? 1? ? ? 1? P∩(?RQ)={a|0<a<1}∩?a?a<2?=?a?0<a<2?; ? ? ? ? ? ?

当 p 假 q 真时, a 的取值范围是 (?RP)∩Q = {a|a≤0 或
? ? 1? a≥1}∩?a?a≥2?={a|a≥1}. ? ? ?

综上,a

? 1? 的取值范围是?0,2?∪[1,+∞). ? ?

(2)依题意知,p,q 均为假命题.当 p 是假命题时,mx2+1>0 恒成立,则有 m≥0;当 q 是假命题时,则有 Δ=m2-4≥0, m≤-2 或 m≥2.因此由 p,q 即 m≥2.
? ?m≥0, 均为假命题得? ? ?m≤-2或m≥2,

答案

? 1? (1)?0,2?∪[1,+∞) ? ?

(2)A

规律方法

以命题真假为依据求参数的取值范围

时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据 “p 或 q”“p 且 q” “ 綈 p” 形式命题的真假,列 出含有参数的不等式(组)求解即可.

【训练 3】 (1)已知命题 p:“任意 x∈[1,2],x2-a≥0”, 命题 q: “存在 x∈R, 使 x2+2ax+2-a=0”, 若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.{a|a≤-2 或 a=1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2} B.{a|a≥1} D.{a|-2≤a≤1} )

(2)已知命题“存在 x∈R,x2+ax-4a<0”为假命题,则 实数 a 的取值范围为( A.[-16,0] ) C.[-4,0] D.(-4,0)

B.(-16,0)

解析 (1)由题意知,p:a≤1,q:a≤-2或a≥1,
∵“p且q”为真命题,∴p、q均为真命题, ∴a≤-2或a=1. (2)由题意可知“任意x∈R,x2+ax-4a≥0”为真命题, ∴Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0,故选A. 答案 (1)A (2)A

[思想方法] 1. 把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现

“且” “或”“非”字眼,要结合语句的含义理解.
2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p或q→见真即真, p且q→见假即假,p与綈p→真假相反. 3.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命 题,再对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结 论”.

[易错防范]
1.命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加 以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论; “命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论. 2.几点注意: (1) 注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题 的否定的前提; (2) 注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命 题的含义显现量词,再进行否定; (3) 注意“或”“且”的否定,“或”的否定为“且”,

“且”的否定为“或”.


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