蚌埠二中2010届高三8月份月考数学(理科)试题【北师大版】

蚌埠二中 2010 届高三 8 月份月考数学(理科)试题
(考试时间:120 分钟 试卷分值:150 分) 命题教师:朱士军 审题教师:魏国勇 温馨提示:本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。其中,第Ⅰ卷为选择题,所有答案必须用 2B 铅笔涂在 答题卡中的相应位置;第Ⅱ卷为非选择题,必须在答题卷上的相应位置作答。答案写在试卷 上均无效,不予记分。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知集合 M
? y y ? x

?

2

?, N ? ?y x

2

? y

2

? 2

? ,则 M ? N ?
C. [ 0 ,1 ]
? ac

A. {( 1,1), ( ? 1,1)}

B. {1}

D. ?0 ,

2

?

2、命题甲“ a 、 b 、 c 成等比数列”,命题乙“ b A.充分不必要条件 3、若数列 ?a n ? 满足 a 1 A.50 4、函数
f (x) ? a
x?b

”,那么甲是乙的

B.必要不充分条件
? 5 , a n ?1 ?
a n ?1 2a n
2

C.充要条件 D.既不充分又非必要条件 (n∈N+),则其 ?a n ? 的前 10 项和为 C.150 D.200

?

an 2

B.100

的图象如图,其中 a 、 b 为常数,则下列结论正确的是 B. a
? 1, b ? 0

A. a C. 0 5、已知函数

? 1, b ? 0 ? a ? 1, b ? 0

D. 0 ? a ? 1, b ? 0

f (x)

是 ( ?? , ?? ) 上的增函数,若对于任意 x1 , x 2 ? R 都恒有 成立,则必有 C. x 1
? x2 ? 0

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 )

A. x 1 6、函数 y
? e

? x2
? | x ?1|

B. x 1

? x2

D. x 1

? x2 ? 0

|ln x |

的图象大致是

7、等差数列{an}





本卷第 1 页(共 9 页)

a 3 ? a 7 ? a 10 ? 8 , a 11 ? a 4 ? 4 ,

记Sn

? a1 ? a 2 ? ? ? a n

,则 S 13 等于 C.78 D.152

A.168
?x

B.156 ,若方程

8、已知函数

? ? 1( x ? 0 ) ?2 f (x) ? ? ? f ( x ? 1 )( x ? 0 ) ?

f (x) ? x ? a

有且只有两个不相等的实数根,则实

数 a 的取值范围是 A. ? ? ? , 0 ? B. ?0 ,1? C. ? ? ? ,1 ? D. ?1, ?? ?
?q
2

9、若 a ? b ? c 、 b ? c ? a 、 c ? a ? b 和 a ? b ? c 依次成等比数列,公比为 q ,则 q 3
1

?q ?

A. 1 10、已知函数f(x)= A. a 1
? x ?1

B.2 ,设 a n
? f ?x n ? ? 2 xn

C. 2 ,若 ? 1 ?
x1 ? 0 ? x 2 ? x 3

D. ? 1 ,则
? a 2 ? a1

? a2 ? a3
?? n 2 ? f ?n ? ? ? 2 ?n ?

B. a 2

? a 3 ? a1

C. a 1

? a3 ? a2

D. a 3 ,则 a 1

11、已知函数 A.0

?n 为偶数 ? an ?n 为奇数 ? ,且
B.100

? f ?n ? ? f ?n ? 1?

? a 2 ? ? ? a 100 ?

C.-100
R

D.10200 ,满足 f ? 2 ? ?
2

12、已知f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的函数,且对于任意 a , b ?
f ? ab ? ? af ?b ? ? bf ? a ?

,

,记

an?

f 2 n

? ?,b
n

n

?

f 2 2

? ?
n n

,其中n∈N*。考查下列结论:①

f ( 0 ) ? f (1)

②f(x)是R上的偶函数 是 A.①

③ 数列 ?a n ? 为等比数列

④ 数列 ?b n ? 为等差数列,其中不正确的

B.②

C.③

D.④

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分) 13、若 x 2
? y
2

共90分)

? 1 ,则
1 2
x

y ?2 x ?1

的最小值是___
x
2

_______。 。

14、 已知 f ? x ? ? 15、已知 是

?1
x

? log

2

? ?x? ?

? ?1? ?
x

, f ?5 ? ? ? ? f ?1 ? ? f ?0 ? ? f ? ? 1 ? ? ? ? f ? ? 5 ? ? 则 ,当
f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 2

f ( x ) ? a ( a ? 1)

, g (x) ?

b ( b ? 1)

时,有 x 1

? x2

,则a、b的大小关系


a

16、若不等式 1 ? log

?10 ? a ? ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是
x



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三、解答题(本大题6小题,满分74分) 17、 (12分)设命题P:函数 y
? c
x

在R上单调递减;命题Q:不等式 x ? | x ? 2 c |? 1 的解集为R。

若P ? Q为真,P ? Q为假,求实数 c 的取值范围。

18、 (12分)设函数

f (x) ? x ? a

, g (x)

? ax ( a ? 0 )



⑴ 解关于 x 的不等式 ⑵ 设 F ( x) ?

f ( x) ? g (x)



f (x) ? g (x)

,若 F ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上有最小值,求 a 的取值范围。

本卷第 3 页(共 9 页)

19、 (12分)已知函数 f ? x ? 定义域是 ? x
?

?

x ?

k

? ,k ? Z, x ? R? 2 ?

,且 f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? 0 , f ? x ? 1 ? ?

?

1 f ?x ?





1 2

? x ?1

时: f ? x ? ?

3

x



⑴ 判断 f ? x ? 奇偶性,并证明; ⑵ 求 f ?x ? 在 ? 0,
? ? 1? ? 2?

上的表达式;
1 ? ? ? 2 k ? ,2 k ? 1 ? 2 ? ?

⑶ 是否存在正整数 k , 使得 x ?

时,log 3 f ? x ? ?

x

2

? kx ? 2 k

有解, 并说明理由。

20、 (12 分)某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 台 GH 型高科技产品的总任务。已知每 台 GH 型产品由 4 个 G 型装置和 3 个 H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工 6 个 G 型 装置或 3 个 H 型装置。现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置。设加工 .... G 型装置的工人有 x 人,他们加工完 G 型装置所需时间为 g ( x ) ,其余工人加工完 H 型装置 所需时间为 h ( x ) (单位:小时,可以不是整数) 。 ⑴ 写出 g ( x ), h ( x ) 解析式; ⑵ 比较 g ( x ) 与 h ( x ) 的大小,并写出这 216 名工人完成总任务的时间 ⑶ 应怎样分组,才能使完成总任务用的时间最少?
f (x)

的解析式;

本卷第 4 页(共 9 页)

21、 (12 分)已知函数
f (x) ? f ( y) ? f ( x? y 1 ? xy 1 f (a 2 ) )

f (x)

定义在区间 ( ? 1,1) 上,
? 1 2

f(

1 2

) ? ?1

,且当 x 、 y ? ( ? 1,1) 时,恒有 。

。又数列 { a n } 满足 a 1
1 f (a n )

, a n ?1

?

2a n 1? an
2

设bn

?

1 f (a1 )

?

??? ?



⑴ 证明: ⑵ 求

f (x)

在 ( ? 1,1) 上为奇函数;

f (a n )

的表达式;
N

⑶ 是否存在正整数 m ,使得对任意 n ? 小值;若不存在,请说明理由。

,都有 b n

?

m ?8 4

成立,若存在,求出 m 的最

本卷第 5 页(共 9 页)

22、 (14 分)设数列 ?a n ? 的各项都是正数,且对任意 n ? 记 S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和。 ⑴ 求证:
an ? 2S n ? an
2

N

*

都有 a 13

? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? ?S n
3 3 3

?2 ,



⑵ 求数列 ?a n ? 的通项公式; ⑶ 若 bn
n? N
*

? 3 ? ?? 1?
n

n ?1

? ?2

an

( ? 为非零常数,

n? N

*

), 问是否存在整数 ? , 使得对任意

,都有 b n ?1

? bn



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数学(理科)参考答案
一选择题

解集为 ? x |
?

?

a a ?1

? x ?

? ? 1? a ? a

(2) F ? x ? ? x ? a ? a x ? ?

? ?1 ? a ? x ? a ? ? ? ? a ? 1? x ? a ?

?x

? a? x ? a?

?0 ?

由于 a ? 0 ,F ? x ? 在 ? 0 , a ? 上为减函数, 因此, 要使 F ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上有最小值, 必须而且只需 F ? x ? 在 ? a , ? ? ? 上为常数函数或增函数,因此 1 ? a ? 0,? 0 ? a ? 1 19 解:(1) f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 1 ? 1 ? ? ?
1 f ? x ? 1? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 的周期为 2

所以 f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? 0 ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 为奇函数. (2) 任取 x ? ? 0 ,
? ? 1? 1 ? 1 ? ?1 ? , ? ? ? x ? ? ? , 0 ? , ? 1 ? x ? ? ,1 ? ? f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? 2? f ?1 ? x ? ? 2 ? ?2 ?

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? f ?x ? ? 3

1
1? x

? 3

x ?1

.

(3) 任取 x ? ? 2 k ?
?

?

1

? ?1 ? x?2k , 2 k ? 1 ? ? x ? 2 k ? ? ,1 ? ,? f ? x ? ? f ? x ? 2 k ? ? 3 2 2 ? ? ?

此时 2 1 6 - x ? 1 3 0 , 当 87 ? x ? 216 时, f ( x ) 递增,? 此时 216 ? x ? 129 ,
? f ( x ) min ? f ( 86 ) ? f ( 87 ) ? 1000 129 ,
f ( x ) ? f ( 86 ) ? 2000 216 ? 87 ? 1000 129 , ? f ( x ) min ? f ( 87 ),

∴加工 G 型装置,H 型装置的人数分别为 86,130 或 87,129. 21(1)令 x ? y ? 0 ? f ? 0 ? ? 0 ,再令 x ? 0 ? ? f ? y ? ? f ? ? y ? ,所以 f(x) 在(-1,1)上为奇函数;

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n n ? ? f? n ? ? 2 f ? a n ?, f ? a 1 ? ? f ? ? ? ? 1 , (2) f ? a n ? 1 ? ? f ? ? 1 ? a ?? a ? ? ?1? a2 ? ?2? n n ? ? n ? ?

? 2a

?

? a ? ?? a

?

?

?1?

所以 f ? a n ? ? ? ? 2 ?

n ?1


n
n

(3)由(2)得 b n

?1? 1? ? ? ?2? ? ? 1 1? 2

,所以 m ? 8 ? ?

?1? * ? 对 n ? N 恒成立,则 m ? 4 , ?2?

m

存在,最小值为 5。

22 证明:(1)在已知式中, 当 n ? 1 时, a 1 ? 1
a ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n ? ( S n ) ? ? a ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? ( S n ?1 ) ? ? 当 n ? 2 时, 1 ① 1 ②
3 3 3 3 2 3 3 3 2

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