专题12 平面向量-高中数学经典错题深度剖析及针对训练 含解析 精品

【标题 01】平行向量单位向量的概念理解不透彻忽略了一些特殊情况 【习题 01】给出下列命题: (1)向量 AB 与向量 BA 是共线向量,不是平行向量; (2)若向量 a 与向量 b 都是单位向量,则 a = b ; (3)若 AB = DC ,则 A, B, C , D 四点构成平行四边形; (4) l , m 为实数,若 l a = mb ,则 a 与 b 共线.其中错误的命题的序号是 【经典错解】 (1) (2) ??? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? . 【习题 01 针对训练】下列命题正确的是( ) A. 若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线. B. 任意两个相等的非零向量的起点和终点是一个平行四边形的四个顶点. C. 向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量. D. 有相同起点的两个非零向量不平行. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【标题 02】把“ cos < a, b >< 0 ? ? ? ? ? a, b > 是钝角”当作了真命题 ??? ? ??? ? 【习题 02】已知直线 y ? 2 x 上一点 P 的横坐标为 a , A(?1,1) , B(3,3) ,则使向量 PA 与 PB 的夹角为钝 角的充要条件是 . 【经典错解】由题意知 P 点的坐标为( a ,2 a ) , PA =(﹣1﹣ a ,1﹣2 a ) , PB =(3﹣ a ,3﹣2 a ) . 由向量 PA 与 PB 的夹角为钝角,得: PA ? PB =(﹣1﹣ a ,1﹣2 a )?(3﹣ a ,3﹣2 a )=(﹣1﹣ a ) (3 ﹣ a )+(1﹣2 a ) (3﹣2 a )= 5a 2 ? 10a ? 0 ,∴ 0 ? a ? 2 ,则向量 PA 与 PB 的夹角为钝角的充要条件是 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 0 ? a ? 2. 【习题 02 针对训练】已知 i 和 j 是两个互相垂直的单位向量, a ? i ? 2 j 为锐角,则实数 ? 的取值范围是 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? i ? ? j ,且 a 与 b 的夹角 【标题 03】向量加法和减法的三角形法则运用错误 【习题 03】在 ? ABCD 中,错误的式子是( A. AD ? AB ? BD C. AB ? BC ? AC ) B. AD ? AB ? DB D. AD ? AB ? AC ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ,所以选择A. 【经典错解】 因为AD ? AB ? DB 【详细正解】根据平行四边形法则知,错误的为 B .在向量的加法运算中,第一个向量的终点和第二个向量 ???? ??? ? ??? ? 的起点相同时,可得第一个向量的起点指向第二个的终点,如 AB ? BC ? AC ,在向量的减法运算中,两 向量的起点相同,则由第二个向量的终点指向第一个的起点,如 AD ? AB ? BD ,对于 D 选项,利用平行 四边形法则结合图像可得 AD ? AB ? AC . ???? ??? ? ??? ? 【习题 03 针对训练】如图,空间四边形 OABC 中, OA = a , OB = b , OC = c .点 M 在 OA 上,且 ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ???? ? OM ? 2MA , N 为 BC 的中点,则 MN 等于( ) 1 2 1 C. 2 A. ? 2 a- 3 ? 1 a+ 2 ? 1 b+ 2 ? 2 b- 3 ? c ? c 2 ? 1 ? 1 ? a+ b+ c 3 2 2 2 ? 2 ? 1 ? a+ b- c D. 3 3 2 B.- 【标题 04】把向量平行的充要条件记成了 x1 x2 - y1 y2 = 0 ? ? ? ? 【习题 04】已知 a ? (1, 2) , b ? (2 x, ?3) 且 a ∥ b ,则 x ? ? ? . 【经典错解】根据 a ∥ b 有 x1 x2 - y1 y2 = 0 ,所以 1? 2 x - 2? (- 3) = 0 \ x = 3 【详细正解】根据 a ∥ b 有 x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 ,可知 1 ? ( ?3) ? 2 ? 2 x ? 0 ,得 x ? ? ? ? 3 4 【深度剖析】 (1) 经典错解错在把向量平行的充要条件记成了 x1 x2 - y1 y2 = 0 . (2)a || b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 , 不是 x x - y y = 0 ,可以记为“斜乘相减等于零”. a ^ b ? 1 2 1 2 ? ? ? ? x1x2 y1 y2 = 0 ,可以记为“竖乘相加等于 零”.这两个公式是向量运算里经常要用到的,大家要区分并记牢. 【习题 04 针对训练】已知 a =(-3,2) ,b =(-1,0) ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为 ? ? ? ? . 【标题 05】求模时没有开方 ? ? ? ? 【习题 05】已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 | a ? 3b | 等于 . ? ? 1 2 ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? ? 1 b + 9b = 1 + 9 - 6? = 7 ,所以 | a ? 3b |? 7 . 【详细正解】 | a - 3b | = a - 6a ? 2 2 b + 9b = 1 + 9 - 6? = 7 ,所以 | a ? 3b |? 7 . 【经典错解】 | a - 3b | = a - 6a

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