高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有_图文

第一章 常用逻辑用语

1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 1.4.3 含有一个量词的命题的否定

学习目标:1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词 的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的 判定.(重点,难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点,易 混点)

[自 主 预 习· 探 新 知]
1.全称量词与全称命题

全称量词 ,并用符 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________ ? ”表示. 号“___ 全称量词 的命题叫做全称命题,通常将含有变量 x 的语句用 (2)含有___________
p(x),q(x),r(x),…表示,变量 x 的取值范围用 M 表示,那么全称命题“对

?x∈M,p(x) . M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为_____________

2.存在量词与特称命题

存在量词 , (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做___________ ? ”表示. 并用符号“___ 存在量词 的命题,叫做特称命题,特称命题“存在 M 中的元 (2)含有___________ ?x0∈M,p(x0) ”. 素 x0,使 p(x0)成立”,可用符号简记为“_______________

思考:(1)“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是特称命题还是全 称命题?请改写成相应命题的形式. (2)“不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立”是特 称命题还是全称命题?请改写成相应命题的形式.

[提示] (1)是特称命题,可改写为“存在x0∈R,使ax2 0+2x0+1=0” (2)是全称命题,可改写成:“?x∈R,(m+1)x2-(m-1)x+3(m- 1)<0”.

3.含有一个量词的命题的否定 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:
?x0∈M, p(x0) ; 全称命题 p:?x∈M,p(x),它的否定 p:_________________ ?x∈M, p(x) 特称命题 p:?x0∈M,p(x0),它的否定 p:___________________ .

全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.

[基础自测] 1.思考辨析 (1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题. (2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题. ( ( ) ) )

(3)命题:?x∈R,x2-3x+3>0 的否定是?x? R,x2-3x+3≤0. (

[答案] (1)√ (2)× (3)×

2.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则“ p” 形式的命题是( )

A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根

[答案]

C

3.下列四个命题中的真命题为( A.?x0∈Z,1<4x0<3 B.?x0∈Z,5x0+1=0 C.?x∈R,x2-1=0 D.?x∈R,x2+x+2>0

) 【导学号:97792031】

D [当x∈R时,x

2

? 1?2 7 +x+2=?x+2? +4>0,故选D.] ? ?

[合 作 探 究· 攻 重 难]
全称命题和特称命题的概念及真假判断

指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假. (1)?x∈N,2x+1是奇数; 1 (2)存在一个x0∈R,使 =0; x0 -1 (3)能被5整除的整数末位数是0; (4)有一个角α,使sin α>1

[解] (1)是全称命题,因为?x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命 题. 1 (2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使 =0成立,所以该命题是假 x0-1 命题. (3)是全称命题.因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该命题是假 命题. (4)是特称命题,因为?α∈R,sin α∈[-1,1],所以该命题是假命题.

[规律方法] 1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词; (2)分析量词是全称量词还是存在量词; (3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断.

2.全称命题与特称命题真假的判断方法 (1)要判定全称命题“? x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素 x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那 么这个全称命题就是假命题. (2)要判定特称命题“? x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个 元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那 么这个特称命题就是假命题.

[跟踪训练] 1.(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 1 D.存在一个负数x,使x >2 )

B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;B中x=0时,x2 =0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为 3+(- 3)=0,所以C是假 1 命题;D中对于任一个负数x,都有x <0,所以D是假命题.]

(2)下列命题中,真命题是(

) 【导学号:97792032】

? π? A.?x∈?0,2?,sin ? ?

x+cos x≥2

B.?x∈(3,+∞),x2>2x+1 C.?x∈R,x2+x=-1
?π ? D.?x∈?2,π?,tan ? ?

x>sin x

B [(1)对于选项A, sin x+cos x=
? π? 2sin?x+4?≤ ? ?

2,∴此命题不成立;

对于选项B,x2-2x-1=(x-1)2-2,当x>3时,(x-1)2-2>0,∴此命 题成立; 对于选项C,x
2

? 1?2 3 +x+1=?x+2? +4>0,∴x2+x=-1对任意实数x都不成 ? ?

立,∴此命题不成立;
?π ? 对于选项D,当x∈?2,π?时,tan ? ?

x<0,sin x>0,命题显然不成立.故选B.]

含有一个量词的命题的否定

(1)命题“?x∈R,x2≠x”的否定是( A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,x2=x C.?x?R,x2≠x D.?x∈R,x2=x

)

(2)写出下列命题的否定,并判断其真假: 1 ①p:?x∈R,x -x+4≥0;
2

②p:所有的正方形都是菱形; ③p:至少有一个实数x0,使x3 0+1=0. [思路探究] 加以否定. 先判定命题是全称命题还是特称命题,再针对不同的形式

(1)[解析] 原命题的否定为?x∈R,x2=x,故选D.
[答案] D

(2)[解]

1 2 ①綈p:?x0∈R,x0-x0+ <0,假命题. 4

1 ? 1?2 因为?x∈R,x -x+4=?x-2? ≥0恒成立. ? ?
2

② p:至少存在一个正方形不是菱形,假命题. ③ p:?x∈R,x3+1≠0,假命题. 因为x=-1时,x3+1=0.

[规律方法]

对全称命题和特称命题进行 否定的步骤与方法

(1)确定类型:是特称命题还是全称命题. (2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的 全称量词. (3)否定结论:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不 是”“没有”“不存在”“不成立”等. 提醒:无量词的全称命题要先补回量词再否定.

[跟踪训练] 2.(1)命题“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( A.?x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.?x?(0,+∞),ln x=x-1 C.?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 D.?x0?(0,+∞),ln x0=x0-1 )

A [特称命题的否定是全称命题,故原命题的否定是?x∈(0,+∞), ln x≠x-1.]

(2)写出下列命题的否定,并判断其真假. ①p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根; ②q: 存在一个实数x0,使得x2 0+x0+1≤0; ③r:等圆的面积相等,周长相等; ④s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.

[解] ①这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0 有实数根”,其否定形式是 根”. 1 注意到当Δ=1+4m<0时,即m<-4时,一元二次方程没有实数根,所 以 p是真命题. ②这一命题的否定形式是 q:“对所有的实数x,都有x2+x+1>0”, 利用配方法可以证得 q是真命题. p:“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数

③这一命题的否定形式是

r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长

不相等”,由平面几何知识知 r是假命题. ④这一命题的否定形式是 命题s是真命题,所以 是假命题. s:“存在α∈R,sin2α+cos2α≠1”,由于

由全称(特称)命题的真假确定参数的范围

[探究问题] 1.若含参数的命题p是假命题,如何求参数的取值范围?

提示:先求 p,再求参数的取值范围.
2.全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关 系?
提示:全称命题与恒成立问题对应,特称命题与存在性问题对应.

(1)若命题p“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取 值范围是________. (2)已知命题p:?x∈R,9x-3x-a=0,若命题p是真命题,求实数a的取 值范围. 【导学号:97792033】 [思路探究] (1)先求 p,再求参数的取值范围.

(2)令3x=t,看作一元二次方程有解问题.

[解析] (1)

p:?x∈R,2x2-3ax+9≥0为真命题.

则Δ=9a2-72≤0,解得-2 2≤a≤2 2

[答案]

[-2 2,2 2]

(2)设3x=t,由于x∈R,则t∈(0,+∞), 则9x-3x-a=0?a=(3x)2-3x?a=t2-t,t∈(0,+∞), 设f(t)=t2-t,t∈(0,+∞),
? 1?2 1 则f(t)=?t-2? -4, ? ?

1 1 当t=2时,f(t)min=-4,
? 1 ? 则函数f(t)的值域是?-4,+∞?, ? ? ? 1 ? 所以实数a的取值范围是?-4,+∞?. ? ?

母题探究:1.(变条件)若将本例题(2)条件“?x∈R”,改为“? x∈[0,1]”,其他不变,试求实数a的取值范围.

[解]

设3x=t,x∈[0,1],∴t∈[1,3].

a=t2-t, ∵t
2

? 1? 2 1 -t=?t-2? -4,∴a=t2-t在t∈[1,3]上单调递增. ? ?
? ?

∴t2-t∈??0,6??.
? ?. 0 , 6 即a的取值范围是 ? ? ? ?

? π? 2.(变条件)将本例题(2)换为“?x∈ ?0,4? ,tan ? ?

x≤m是真命题”,试求

m的最小值.

[解] 由已知可得m≥tan

x

? ? π?? ?x∈?0, ?? 4?? ? ?

恒成立.设f(x)=tan π 4 =1,由

? ? ?π? π?? x ?x∈?0,4?? ,显然该函数为增函数,故f(x)的最大值为f ?4? =tan ? ?? ? ? ?

不等式恒成立可得m≥1,即实数m的最小值为1.

[规律方法] 应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题 对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利用代入体现集合中 相应元素的具体性质中求解;也可以根据函数等数学知识来解决. (2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存 在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后 从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存 在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.

[当 堂 达 标· 固 双 基]
1.下列命题中是全称命题,且为假命题的是( A.存在x0∈R,sin x0+cos x0=2 B.偶函数图象关于y轴对称 C.?m∈R,x2+mx+1=0无解 D.?x∈N,x3>x2 )

D [A,C中命题是特称命题,故排除.B为省略量词的全称命题,且 为真命题.D为全称命题.当x=0或1时,x3=x2,故D中命题是假命题.]

2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数

)

D [全称命题的否定为相应的特称命题,即将“所有”变为“存 在”,并且将结论进行否定.]

3.命题p:?x0∈R,x 2 0 +2x0+5<0是________(填“全称命题”或“特 称命题”),它是________命题(填“真”或“假”),它的否定为綈p:

________. 【导学号:97792034】

特称命题 假 ?x∈R,x2+2x+5≥0 [命题p:?x0∈R,x 2 0 +2x0+5 <0是特称命题.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒成立,所以命题p为假命 题. 命题p的否定为:?x∈R,x2+2x+5≥0.]

1 4.命题“?x∈R, >0”的否定是________. 2x+4
1 ?x0∈R, ≤0 2x0+4 1 [“?x∈R, >0”的否定是“?x0∈R, 2x+4

1 1 1 <0或 =0”即?x0∈R, ≤0] 2x0+4 2x0+4 2x0+4

5.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假; (1)对某些实数x,有2x+1>0; (2)?x∈{3,5,7},3x+1是偶函数; (3)?x0∈Q,x2 0=3

[解] (1)命题中含有存在量词“某些”,因此是特称命题,真命题. (2)命题中含有全称量词的符号“?”,因此是全称命题.
把3,5,7分别代入3x+1,得10,16,22,都是偶数,因此,该命题是真命题.

(3)命题中含有存在量词的符号“?”,因此是特称命题. 由于使x2=3成立的实数只有± 3 ,且它们都不是有理数,因此,没有一个有 理数的平方等于3,所以该命题是假命题.

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