2016年普通高等学校招生全国统一考试理数试题(浙江卷)(解析版)

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一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选 项中只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 P ? x ? R 1 ? x ? 3 , Q ? x ? R x 2 ? 4 , 则 P ? (?R Q ) ? ( A . [2,3] D . (??, ?2] ? [1, ??) 【答案】B B . ( -2,3 ]

?

?

?

?

) C . [1,2)

考点:1、一元二次不等式;2、集合的并集、补集. 【易错点睛】解一元二次不等式时, x 的系数一定要保证为正数,若 x 的系数是负数,一 定要化为正数,否则很容易出错. 2. 已知互相垂直的平面 ?,? 交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥? , n⊥?,则( A.m∥l D.m⊥n 【答案 】C 【解析】 试题分析:由题意知 ? ? ? ? l ,? l ? ? ,? n ? ? ,? n ? l .故选 C. 考点:空间点、线、面的位置关系. 【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题,一般是借助长方体(或正方体), 能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系. 3. 在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.由区域 B.m∥n ) C.n⊥l
2 2

?x ? 2 ? 0 ? 中的点在直线 x+y ? 2=0 上的投影构成的线段记为 AB, 则│AB│= ( ?x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?
A.2



2

B.4

C.3

2

第1页

江西金太阳好教育云平台——资源中心 D. 6 【答案】C 【解析】

考点:线性规划. 【思路点睛】先根据不等式组画出可行域,再根据题目中的定义确定 ?? 的值.画不等式 组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证,防止出现错误. 4. 命题“ ?x ? R,?n ? N ,使得 n ? x ”的否定形式是(
* 2


* 2

A.?x ? R,?n ? N , 使得 n ? x
*

2

B.?x ? R,?n ? N , 使得 n ? x D.?x ? R,?n ? N , 使得 n ? x
*

C.?x ? R,?n ? N , 使得 n ? x
*

2

2

【答案】D 【解析】 试题分析: ? 的否定是 ? , ? 的否定是 ? , n ? x 的否定是 n ? x .故选 D.
2 2

考点:全称命题与特称命题的否定. 【方法点睛】 全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题. 对含有存在 (全称) 量词 的命题进行否定需要两步操作:①将存在(全称)量词改成全称(存在)量 词;②将

第2页

江西金太阳好教育云平台——资源中心 结论加以否定. 5. 设函数 f ( x) ? sin x ? b sin x ? c ,则 f ( x) 的最小正周期(
2



A.与 b 有关,且与 c 有关 C.与 b 无关,且与 c 无关 【答案】B

B.与 b 有关,但与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关

考点:1、降幂公式;2、三角函数的最小正周期. 【思路点睛】先利用三角恒等变换(降幂公式)化简函数 f ? x ? ,再判断 b 和 c 的取值是否 影响函数 f ? x ? 的最小正周期. 6. 如图, 点列{An}, {Bn}分别在某锐角的两边上, 且 An An ?1 ? An ?1 An ? 2 , An ? An ? 2 , n ? N ,
*

Bn Bn ?1 ? Bn ?1 Bn ? 2 , Bn ? Bn ? 2 , n ? N* ,( P ? Q表示点P与Q不重合 ).
若 d n ? An Bn ,S n 为△An Bn Bn ?1的面积,则 ( )

A. {S n } 是等差数列 C. {d n } 是等差数列 【答案】A 【解析】

2 B. { S n } 是等差数列 2 D. {d n } 是等差数列

试题分析: S n 表示点 An 到对面直线的距离(设为 hn )乘以 Bn Bn ?1 长度一半,即

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Sn ?

1 hn Bn Bn ?1 ,由题目中条件可知 Bn Bn ?1 的长度为定值,那么我们需要知道 hn 的关系 2

式,过 A1 作垂直得到初始距离 h1 ,那么 A1 , An 和两个垂足构成了等腰梯形,那么

hn ? h1 ? An A n ?1 ? tan ? ,其中 ? 为两条线的夹角,即为定值,那么

1 1 S n ? (h1 ? A1 A n ? tan ? ) Bn Bn ?1 , S n ?1 ? (h1 ? A1 A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,作差后: 2 2 1 S n ?1 ? S n ? ( An A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,都为定值,所以 S n ?1 ? S n 为定值.故选 A. 2
考点:等差数列的定义. 【思路点睛】先求出 ?? n ? n ? n ?1 的高,再求出 ?? n ? n ? n ?1 和 ?? n ?1? n ?1? n ? 2 的面积 S n 和

S n ?1 ,进而根据等差数列的定义可得 S n ?1 ? S n 为定值,即可得 ?S n ? 是等差数列.
7. 已知椭圆 C1: C2 的离心率,则( A. m>n 且 e1e2>1 且 e1e2<1 【答案】A ) B. m>n 且 e1e2<1 C. m<n 且 e1e2>1 D. m<n

x2 2 x2 2 + y =1( m >1) 与双曲线 C : –y =1(n>0)的焦点重合,e1,e2 分别为 C1, 2 m2 n2

考点:1、椭圆的简单几何性质;2、双曲线的简单几何性质. 【易错点睛】计算椭圆 C1 的焦点时,要注意 c ? a ? b ;计算双曲线 C 2 的焦点时,要注
2 2 2

意 c ? a ? b .否则很容易出现错误.
2 2 2

8. 已知实数 a,b,c(



A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则 a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1,则 a2+b2+c2<100

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江西金太阳好教育云平台——资源中心 C.若|a+b+c2|+| a+b–c2|≤1,则 a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1,则 a2+b2 +c2<100 【答案】D 【解析】 试 题分析:举反例排除法: A.令 a ? b ? 10, c ? ?110 ,排除此选项, B.令 a ? 10, b ? ?100, c ? 0 ,排除此选项, C.令 a ? 100, b ? ?100, c ? 0 ,排除此选项,故选 D. 考点:不等式的性质. 【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题,一般采用举反例排除法.解答本题时能够对四个 选项逐个利用赋值的方式进行排除,确认成 立的不等式.

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.
9.若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是_______. 【答案】 9 【解析】 试题分析: xM ? 1 ? 10 ? xM ? 9 考点:抛物线的定义. 【思路点睛】 当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时, 一般会想到转化为抛物线上的点 到准线的距离.解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离,进而可得点到 y 轴的距离. 10. 已知 2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则 A=______,b=________. 【答案】 2

1

考点:1、降幂公式;2、辅助角公式. 【 思 路 点 睛 】 解 答 本 题 时 先 用 降 幂 公 式 化 简 cos x , 再 用 辅 助 角 公 式 化 简
2

cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ,进而对照 ? sin ?? x ? ? ? ? b 可得 ? 和 b .

第5页

江西金太阳好教育云平台——资源中心 11. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm .
3

cm ,体积是

2

【答案】 72 【解析】

32

试题分 析:几何体为两个相同长方体组合,长方体的长宽高分别为 4,2,2 ,所以体积为

2 ? (2 ? 2 ? 4) ? 32 ,由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形,所以表面积为 2(2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 4) ? 2(2 ? 2) ? 72
考点:1、三视图;2、空间几何体的表面积与体积. 【方法点睛】解决由三视图求空间 几何体的表面积与体积问题,一般是先根据三视图确定 该几何体的结构特征,再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体 积. 12. 已知 a>b>1.若 logab+logba= 【答案】 4

5 ,ab=ba,则 a= 2

,b=

.

2

考点:1、指数运算;2、对数运算. 【易错点睛】在解方程 log a b ? log b a ? 方程

5 时,要注意 log b a ? 1 ,若没注意到 log b a ? 1 , 2

log a b ? log b a ?

5 的根有两个,由于增根导致错误. 2
,S5= .

13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈ N*,则 a1= 【答案】 1 【解析 】

121

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江西金太阳好教育云平台——资源中心 试题分析: a1 ? a2 ? 4, a2 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1, a2 ? 3 , 再由 an ?1 ? 2 S n ? 1, an ? 2 S n ?1 ? 1(n ? 2) ? an ?1 ? an ? 2an ? an ?1 ? 3an (n ? 2) ,又 a2 ? 3a1 , 所以 an ?1 ? 3an (n ? 1),S5 ?

1 ? 35 ? 121. 1? 3

考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的前 n 项和. 【易错点睛】由 an ?1 ? 2 S n ? 1 转化为 an ?1 ? 3an 的过程中,一定要检验当 n ? 1 时是否满足

an ?1 ? 3an ,否则很容易出现错误.
14. 如图,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D,满足 PD=DA,PB=BA,则四面体 PBCD 的体积的最大值是 .

【答案】

1 2

由余弦定理可得 cos ?BPD ?

PD 2 ? PB 2 ? BD 2 x 2 ? 22 ? ( x 2 ? 2 3x ? 4) 3 ? ? , 2 PD ? PB 2? x?2 2

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江西金太阳好教育云平台——资源中心 所以 ?BPD ? 30 .
?

P C

E D A B

过 P 作直线 BD 的垂线,垂足为 O .设 PO ? d

1 1 BD ? d ? PD ? PB sin ?BPD , 2 2 1 2 1 即 x ? 2 3 x ? 4 ? d ? x ? 2sin 30? , 2 2
则 S ?PBD ? 解得 d ?

x x 2 ? 2 3x ? 4

.

而 ?BCD 的面积 S ?

1 1 1 CD ? BC sin ?BCD ? (2 3 ? x) ? 2sin 30? ? (2 3 ? x) . 2 2 2

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(2)当 3 ? x ? 2 3 时,有 | x ? 3 |? x ? 3 ? t 2 ? 1 , 故 x ? 3 ? t ?1 .
2

此时, V ?

1 ( 3 ? t 2 ? 1)[2 3 ? ( 3 ? t 2 ? 1)] 6 t

1 4 ? t2 1 4 ? ? ? ( ? t) . 6 t 6 t
由(1)可知,函数 V (t ) 在 (1, 2] 单调递减,故 V (t ) ? V (1) ? 综上,四面体 PBCD 的体积的最大值为

1 4 1 ( ? 1) ? . 6 1 2

1 . 2

考点:1、空间几何体的体积;2、用导数研究函数的最值. 【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积,再对 x 的取值范围讨论,用导数研究函数
第9页

江西金太阳好教育云平台——资源中心 的单调性,进而可得四面体的体积的最大值. 15. 已知向量 a、 b, |a| =1, |b| =2, 若对任意单位向量 e, 均有 |a· e|+|b· e| ? 则 a· b 的最大值是 【答案】 .

6 ,

1 2

考点:平面向量的数量积. 【易错点睛】在 a ? b ?

?

?

?2 ?2 ? ? 6 两边同时平方,转化为 a ? b ? 2a ? b ? 6 的过程中,很容易

忘记右边的 6 进行平方而导致错误.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
16. (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+ c=2a cos B. (I)证明:A=2B;

a2 (II)若△ABC 的面积 S = ,求角 A 的大小. 4
【答案】(I)证明见解析;(II)

?
2



?
4



试题分析: (I)先由正弦定理可得 sin ? ? sin C ? 2sin ? cos ? ,进而由两角和的正弦公式 可得 sin ? ? sin ? ? ? ? ? ,再判断 ? ? ? 的取值范围,进而可证 ? ? 2? ;(II)先由三角

形的面积公式可得

1 a2 ab sin C ? ,进而由二倍角公式可得 sin C ? cos ? ,再利用三角形 2 4

的内角和可得角 ? 的大小. 试题解析:(I)由正弦定理得 sin ? ? sin C ? 2sin ? cos ? , 故 2sin ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? , 于是 sin ? ? sin ? ? ? ? ? .

第 10 页

江西金太阳好教育云平台——资源中心 又 ? , ? ? ? 0, ? ? ,故 0 ? ? ? ? ? ? ,所以

? ? ? ? ? ? ? ?? 或 ? ? ? ? ? ,
因此 ? ? ? (舍去)或 ? ? 2? , 所以, ? ? 2? .

考点:1、正弦定理;2、两角和的正弦公式;3、三角形的面积公式;4、二倍角的正弦公式. 【思路点睛】(I)用正弦定理将边转化为角,进而用两角和的正弦公式转化为含有 ? , ? 的式子, 根据角的范围可证 ? ? 2? ; (II) 先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有 ? ,

C 的式子,再利用三角形的内角和可得角 ? 的大小.
17. (本题满分 15 分)如图,在三棱台 ABC ? DEF 中,平面 BCFE ? 平面

ABC , ?ACB =90? ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证:EF⊥平面 ACFD; (II)求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值.

【答案】(I)证明见解析;(II)

3 . 4

第 11 页

江西金太阳好教育云平台——资源中心 【解析】 试题分析:(I)先证 ?F ? ?C ,再证 ?F ? C? ,进而可证 ?F ? 平面 ?CFD ;(II)方 法一: 先找二面角 ? ? ?D ? F 的平面角, 再在 Rt??QF 中计算, 即可得二面角 ? ? ?D ? F 的平面角的余弦值; 方法二: 先建立空间直角坐标系,再计算平面 ?C? 和平面 ??? 的法向量,进而可得二面角

? ? ?D ? F 的平面角的余弦值.

(II)方法一: 过点 F 作 FQ ? ?? ,连 结 ?Q . 因为 ?F ? 平面 ?C? ,所以 ?F ? ?? ,则 ?? ? 平面 ?QF ,所以 ?Q ? ?? . 所以, ??QF 是二面角 ? ? ?D ? F 的平面角. 在 Rt??C? 中, ?C ? 3 , C? ? 2 ,得 FQ ?

3 13 . 13

第 12 页

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在 Rt??QF 中, FQ ?

3 13 3 , ?F ? 3 ,得 cos ??QF ? . 13 4 3 . 4

所以,二面角 ? ? ?D ? F 的平面角的余弦值为 方法 二:

如图,延长 ?D , ?? , CF 相交于一点 ? ,则 ??C? 为等边三角形. 取 ?C 的中点 ? ,则 ?? ? ?C ,又平面 ?CF? ? 平面 ??C ,所以, ?? ? 平面 ??C . 以点 ? 为原点,分 别以射线 ?? , ?? 的方向为 x , z 的正方向, 建立空间直角坐标系 ?xyz . 由题意得

? ?1, 0, 0 ? , C ? ?1, 0, 0 ? , ? 0, 0, 3 ,

?

?

?1 ? 1 3? 3? ? ? ?1, ?3, 0 ? , ? ? ? 2 , 0, 2 ? ? , F? ? ? 2 , 0, 2 ? ?. ? ? ? ?
因此,

??? ? ??? ? ???? ?C ? ? 0,3, 0 ? , ?? ? 1,3, 3 , ?? ? ? 2,3, 0 ? .

?

?

第 13 页

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考点:1、线面垂直;2、二面角. 【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角,否则很容易出现错误.证 明线面垂直的关键是证明线线垂直,证明线线垂直常用的方法是 直角三角形、等腰三角形 的“三线合一”和菱形、正方形的对角线. 18. (本小题 15 分)已知 a ? 3 ,函数 F(x)=min{2|x?1|,x2?2ax+4a?2},
? p,p ? q, 其中 min{p,q}= ? ?q, p > q.

(I)求使得等式 F(x)=x2?2ax+4a?2 成立的 x 的取值范围; (II)(i)求 F(x)的最小值 m(a); (ii)求 F(x)在区间[0,6]上的最大值 M(a). 【 答 案 】 ( I ) ? 2, 2a ? ; ( II ) ( i ) m ? a ? ? ?

? ?0,3 ? a ? 2 ? 2
2 ? ??a ? 4a ? 2, a ? 2 ? 2

; ( ii )

?34 ? 8a,3 ? a ? 4 ? ?a? ? ? . ?2, a ? 4

第 14 页

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(II)(i)设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 , g ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2 ,则
2

f ? x ?min ? f ?1? ? 0 , g ? x ?min ? g ? a ? ? ?a 2 ? 4a ? 2 ,
所以,由 F ? x ? 的定义知 m ? a ? ? min f ?1? , g ? a ? ,即

?

?

? ?0,3 ? a ? 2 ? 2 . m?a? ? ? 2 ? a ? 4 a ? 2, a ? 2 ? 2 ? ?
(ii)当 0 ? x ? 2 时,

F ? x ? ? f ? x ? ? max ? f ? 0 ? , f ? 2 ?? ? 2 ? F ? 2 ? ,
当 2 ? x ? 6 时,

F ? x ? ? g ? x ? ? max ? g ? 2 ? , g ? 6 ?? ? max ?2,34 ? 8a? ? max ?F ? 2 ? , F ? 6 ?? .
所以,

?34 ? 8a,3 ? a ? 4 ? ?a? ? ? . ?2, a ? 4
考点:1、函数的单调性与最值;2、分段函数;3、不等式. 【思路点睛】 (I)根据 x 的取值范围化简 F ? x ? ,即可得使得等式 F ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2
2

第 15 页

江西金太阳好教育云平台——资源中心 成立的 x 的取值范围;(II)(i)先求函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的最小值,再根据 F ? x ? 的定义可 得 m ? a ? ;(ii)根据 x 的取值 范围求出 F ? x ? 的最大值,进而可得 ? ? a ? .

x2 2 19. (本题满分 15 分)如图,设椭圆 2 ? y ? 1 (a>1). a
( I)求直线 y= kx+1 被椭圆截得的线段长 (用 a、 k 表示);学 .科网 ( II)若任意以点 A( 0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取 值范围 .

【答案】(I)

2a 2 k 1? a k
2 2

? 1 ? k 2 ;(II) 0 ? e ?

2 . 2

第 16 页

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(II)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ? ,

Q ,满足
?? ? ?Q .
记直线 ?? , ?Q 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1 , k2 ? 0 , k1 ? k2 . 由(I)知,
2 2a 2 k1 1 ? k12 2a 2 k 2 1 ? k 2 , ?Q ? , ?? ? 2 1 ? a 2 k12 1 ? a 2 k2


2 2a 2 k1 1 ? k12 2a 2 k2 1 ? k2 , ? 2 1 ? a 2 k12 1 ? a 2 k2
2 2 2 2 2 2 2 2 所以 k1 ? k2 ?1 ? k1 ? k2 ? a 2 ? a k1 k2 ? ? 0 .

?

??

?

?

?

由于 k1 ? k2 , k1 , k2 ? 0 得
2 1 ? k12 ? k22 ? a 2 ? 2 ? a 2 ? k12 k2 ? 0,

因此

? 1 ?? 1 ? 2 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? ? 1 ? a ? a ? 2 ? , ? k1 ?? k2 ?



第 17 页

江西金太阳好教育云平台——资源中心 因为①式关于 k1 , k2 的方程有解的充要条件是

1 ? a2 ? a2 ? 2? ? 1 ,
所以

a? 2.
因此,任意以点 ? ? 0,1? 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为

1? a ? 2,
由e ?

c a2 ?1 2 得,所求离心率的取值范围为 0 ? e ? . ? a a 2

考点:1、弦长;2、圆与椭圆的位置关系;3、椭圆的离心率. 【思路点睛】(I)先联立 y ? kx ? 1 和

x2 ? y 2 ? 1 ,可得交点的横坐标,再利用弦长公式 2 a

可得直线 y ? kx ? 1 被椭圆截得的线段长; (II) 利用对称性及已知条件 可得任意以点 ? ? 0,1? 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点时, a 的取值范围,进而可得椭圆离心率的取值范围. 20.(本题满分 15 分)设数列 ?an ? 满足 an ? (I)证明: an ? 2
n

an ?1 ? 1 , n ? ?? . 2

n ?1

?a

1

? 2 ? , n ? ?? ;

(II)若 an ? ?

?3? ? ? ? , n ? ? ,证明: an ? 2 , n ? ? . ?2?

【答案】(I)证明见解析;(II)证明见解析.

第 18 页

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[来源:学§科§网]

(II)任取 n ? ? ,由(I)知,对于任意 m ? n ,

?

an am ? an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2 ? ? am ?1 am ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? m ?1 ? m ? 2n 2m ? 2n 2n ?1 ? ? 2n ?1 2n ? 2 ? 2 ? ?2
? 1 1 1 ? n ?1 ? ??? ? m ?1 n 2 2 2 1 ? n ?1 , 2



? 1 a ? n an ? ? n ?1 ? m ??2 2m ? ?2

? 1 1 ? ? n ?1 ? m 2 ? ?2
m

?3? ?? ? ?2?

m

? n ??2 ? ?

?3? ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?
从而对于任意 m ? n ,均有

?3? an ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?

m

第 19 页

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考点:1、数列;2 、累加法;3、证明不等式. 【思路点睛】( I )先利用三角形不等式及变形得

an an ?1 1 ? n ?1 ? n ,再用累加法可得 n 2 2 2

a1 an ? n ? 1 , 进 而 可 证 an ? 2n ?1 ? a1 ? 2 ? ; ( II ) 由 ( I ) 的 结 论 及 已 知 条 件 可 得 2 2
?3? an ? 2 ? ? ? ? 2n ,再利用 m 的任意性可证 an ? 2 . ?4?
m

第 20 页


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